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摘 要： 函数是中职数学的基石，掌握函数概念、性质及常见类型，对理解后续内容有举足轻重的影响。本文专注于函数教学内容、形式、技巧的探讨，力求把函数与学生所学专业及生活实践联系起来，深入浅出、融会贯通，从而激发学生的学习兴趣和学习积极性。
关键词： 中职数学教学 函数 教学技巧
函数是中职数学的基石，掌握函数概念、性质及常见类型，对理解后续内容有举足轻重的影响。然而，中职学生普遍对数学学习存在畏难情绪，觉得数学抽象难懂、枯燥乏味，难以与其他课程融合，更难以学以致用。笔者认为，在函数教学中，应把函数与学生所学专业及生活实践联系起来，深入浅出、融会贯通，从而激发学生的学习兴趣和学习积极性。下面我就函数教学内容、形式、技巧作探讨。
一、函数概念与表达形式
首先要让学生明白函数的引入是人类认识事物的自然发展与要求，可以从生活与哲学两方面引入。生活中可以用“日常生活中的一切事物都在不停地变化着，从街道上汽车的行驶到天空中的斗转星移，从人的出生到老年到世界人口不断膨胀，从银行存款利息的逐渐增加到各种股票指数的涨涨落落，从加热时壶中的水温由20度到100度到全球气候变暖”。我们关注身边的这些变化着的事物，在数学上就是变量，而变化着的事物之间的依存关系，在数学上就是函数。马克思主义哲学认为：事物是变化的，于是有了变量；事物不是孤立存在的，是相互联系的，于是有了函数。也可以进一步说明这种相互联系有两种，一种是确定的，称为函数关系；另外一种是不确定的统计关系，是偶然性与必然性的对立统一。两者都可以举一些生活中的例子加以说明，这样就引入了概率论和统计学，并且能够与函数概念相互区别。
函数的基本思想是：通过某一事物的变化推知另一事物的变化，它的基本手段是：将变化事物的关系抽象化（如用公式法表示）、形象化（如用图形法表示）、简单化（如用表格法表示）。为了理解三种表达方法的联系与区别及优缺点，可以用新产品定价和销量的调查举例：如果想了解新产品定价和销量的关系，以便定价后决定生产多少产品，避免产品滞销，则可以先用表格进行调查，即问受访者，各种价格条件下，所愿意购买的数量，可以做成表格，即表格法；为了直观形象，可以根据表格画出散点图，即图形法；对图形法中的散点图去描绘一条穿过散点的直线，并用公式表示，则是公式法。还可以举生活中的例子：某学生的家距离学校2.5公里，早晨7：30从家里骑自行车出发去上学，8：00上课。试问图1中四个图形和下述四件事相吻合，其中S表示离开家的距离，t表示时间。
（1）离开家后不久，自行车坏了，修好后再继续骑车，准时到达学校。显然和图1之（1）对应。
（2）离开家后不久，发现忘记带语文课本，立即回家取课本再去上学，结果迟到了。显然和图1之（2）对应。
（3）离家后想早点到学校便快速行驶，半路上遇到同学后边聊天边走，准时到达学校。显然和图1之（3）对应。
（4）离家后不久出了车祸，到附件医院治疗后打的回家。显然和图1之（4）对应。
从这个例子中可以看到图形来源于表格，而图形又可以表示成公式，即三者是等价的，只是表达形式不同而已。其中公式法最容易处理和运算，所以一般用公式法表达函数。公式法表达的函数有两要素，为对应法则f和定义域D，即此两要素可以决定函数。为了解释定义域，可以用上面两个例子，价格显然不会低于0，而时间和距离也一般是正数。所以两者的关系是有范围的，或者说自变量的不同取值范围和因变量的对应关系是可能变化的。这样就引入了分段函数。分段函数在生活中随处可见：寄包裹以本省外省、重量属于什么范围分类收费，居民用电的阶梯电价，个人所得税累进税率，手机闲时和忙时分时段收费。可见这种函数关系是有范围的，分段的，而不是放之四海而皆准的。函数可用于解决现实问题，往往来源于现实需求，而且解决方法也经常符合一般人的直觉，正如孔子说的“道不远人”。只是数学形成一个逻辑体系，对我们的直觉证实或证伪而已，于是更为严谨、简练、精确。当然，数学形式上更为抽象、深奥、晦涩。这样启发学生体验到自己本身就有这样的思维，而不是外在强行灌输的知识，则能融入内心，发乎自觉，自然而然。这样掌握的数学知识才能理解深刻、记忆牢靠、学以致用。
二、函数的基本性质
函数的两要素可以决定函数，正如人可以用肉体和精神两要素进行识别和区分一样，根据两要素识别人只是第一步，进一步可以了解其性格特征。函数具有四大性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。有界性可以使我们在考虑函数值变化时有一个参考范围，即最大不过多少，最小不过多少；或者最好不过怎么样，最差不过怎么样。可以形象比喻为西游记中孙悟空就像函数那样变化多端，但是无论如何翻筋斗云，都出不了如来佛的手掌，这就是界限，表示有界性。单调性可以表示变量间是否同方向变化，单调增表示同方向变化比如经济学中的供给函数，图形类似于走上坡路；单调减表示反方向变化，比如经济学中的需求函数，图形类似走下坡路。
奇偶性来源于自然界中很多事物呈现出各种各样的对称性，从人身体上的许多器官到建筑物的各种形状，函数中的奇偶性是一个最基本的反映。关于y轴对称的函数是偶函数，关于原点对称的是奇函数。化学上诸多化合物分子如甲烷、苯的分子结构是对称的。微生物中比如病毒的形状多为对称的，除流感病毒呈螺旋形外，其他如疱疹、牛痘、人体肉赘的病毒及腺病毒等皆为正20面体状。在物理上，许多晶体的外形及内部构造也都是对称的。用对称思维可以发现自然界中的许多奥秘。科学家赫谢尔于1800年在红光区域外侧发现了红外线后，人们根据对称思维猜测在紫光区域外侧也可能有一种看不见的射线。1801年，科学家里特果然在实验室中发现了这种射线，即紫外线。
周期性是自然界中许多现象的共性，从一年四季春夏秋冬周而复始到钟表指针转动，从人们的呼吸和心脏跳动及心电图到电流在导线中的传播无一不在做周期性运动。周期性可以使我们由局部推知全局，由现在推知未来。正如《推背图》中所言“一阴一阳，无终无始，终者自终，始者自始”，“茫茫天数此中求，世道兴衰不自由，万万千千说不尽，不如推背去归休”。19世纪，数学家约翰·傅里叶发现所有的乐声（器乐和声乐）都是周期正弦函数的和。在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面，周期函数是必不可少的。
三、反函数、复合函数、初等函数
在日常生活中，我们考虑问题有时候会从正反或者顺逆两方面考虑，比如新产品定价中要求价格做自变量，而需求量做因变量，即定价多少时候需求量是多少。如果有一批存货，要求销售出去，应该定什么价格的问题，就是逆过程。又比如温度计中的水银柱高度随着温度的不同而改变，即水银柱高度h是温度t的函数。而习惯上我们总是以相反的方式使用这个函数，即根据水银柱的高度h确定温度t，这时温度t又成为高度h的函数。因此哪个变量是自变量，哪个变量是因变量要根据问题的性质和目的决定。这就必然要求提出反函数，而且反函数与原函数关于直线y=x对称，具有对称性。
生活中有许多连锁反应，比如海洋中“大鱼吃小鱼，小鱼吃虾米”的现象，即表明大鱼的数量是小鱼数量的函数，而小鱼的数量又是虾米数量的函数；金属棒子在加热时，金属棒的长度是温度的函数，而温度又是时间的函数，等等。这种连锁反应现象的函数表达式，可以称为函数的函数，即函数套函数，内层函数值作为外层函数的自变量，即为复合函数。复合函数还可以比喻为生产流水线，每个函数都可以看作为一道工序，可以把自变量看作输入，因变量看作输出，每道工序完成一种操作或者说功能，然后得到操作结果进入外层函数的下一道工序，一直进行下去，就得到成品了。初等函数首先要介绍六大类基本初等函数，然后由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的函数统称为初等函数，因为初等函数有很多优良数学性质，比如后面要学的极限、连续性，所以微积分研究的主要对象就是初等函数。特别地，尽管分段函数的各段表达式一般是初等函数，分段函数是最常见的非初等函数。
参考文献：
[1]张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004.
[2]张祖锦.如何整体把握中职数学中的函数教学[J].课程教育研究，2012（20）.
[3]吴振奎，吴旻.数学中的美[M].上海：上海教育出版社，2004.
关键词： 中职数学教学 函数 教学技巧
函数是中职数学的基石，掌握函数概念、性质及常见类型，对理解后续内容有举足轻重的影响。然而，中职学生普遍对数学学习存在畏难情绪，觉得数学抽象难懂、枯燥乏味，难以与其他课程融合，更难以学以致用。笔者认为，在函数教学中，应把函数与学生所学专业及生活实践联系起来，深入浅出、融会贯通，从而激发学生的学习兴趣和学习积极性。下面我就函数教学内容、形式、技巧作探讨。
一、函数概念与表达形式
首先要让学生明白函数的引入是人类认识事物的自然发展与要求，可以从生活与哲学两方面引入。生活中可以用“日常生活中的一切事物都在不停地变化着，从街道上汽车的行驶到天空中的斗转星移，从人的出生到老年到世界人口不断膨胀，从银行存款利息的逐渐增加到各种股票指数的涨涨落落，从加热时壶中的水温由20度到100度到全球气候变暖”。我们关注身边的这些变化着的事物，在数学上就是变量，而变化着的事物之间的依存关系，在数学上就是函数。马克思主义哲学认为：事物是变化的，于是有了变量；事物不是孤立存在的，是相互联系的，于是有了函数。也可以进一步说明这种相互联系有两种，一种是确定的，称为函数关系；另外一种是不确定的统计关系，是偶然性与必然性的对立统一。两者都可以举一些生活中的例子加以说明，这样就引入了概率论和统计学，并且能够与函数概念相互区别。
函数的基本思想是：通过某一事物的变化推知另一事物的变化，它的基本手段是：将变化事物的关系抽象化（如用公式法表示）、形象化（如用图形法表示）、简单化（如用表格法表示）。为了理解三种表达方法的联系与区别及优缺点，可以用新产品定价和销量的调查举例：如果想了解新产品定价和销量的关系，以便定价后决定生产多少产品，避免产品滞销，则可以先用表格进行调查，即问受访者，各种价格条件下，所愿意购买的数量，可以做成表格，即表格法；为了直观形象，可以根据表格画出散点图，即图形法；对图形法中的散点图去描绘一条穿过散点的直线，并用公式表示，则是公式法。还可以举生活中的例子：某学生的家距离学校2.5公里，早晨7：30从家里骑自行车出发去上学，8：00上课。试问图1中四个图形和下述四件事相吻合，其中S表示离开家的距离，t表示时间。
（1）离开家后不久，自行车坏了，修好后再继续骑车，准时到达学校。显然和图1之（1）对应。
（2）离开家后不久，发现忘记带语文课本，立即回家取课本再去上学，结果迟到了。显然和图1之（2）对应。
（3）离家后想早点到学校便快速行驶，半路上遇到同学后边聊天边走，准时到达学校。显然和图1之（3）对应。
（4）离家后不久出了车祸，到附件医院治疗后打的回家。显然和图1之（4）对应。
从这个例子中可以看到图形来源于表格，而图形又可以表示成公式，即三者是等价的，只是表达形式不同而已。其中公式法最容易处理和运算，所以一般用公式法表达函数。公式法表达的函数有两要素，为对应法则f和定义域D，即此两要素可以决定函数。为了解释定义域，可以用上面两个例子，价格显然不会低于0，而时间和距离也一般是正数。所以两者的关系是有范围的，或者说自变量的不同取值范围和因变量的对应关系是可能变化的。这样就引入了分段函数。分段函数在生活中随处可见：寄包裹以本省外省、重量属于什么范围分类收费，居民用电的阶梯电价，个人所得税累进税率，手机闲时和忙时分时段收费。可见这种函数关系是有范围的，分段的，而不是放之四海而皆准的。函数可用于解决现实问题，往往来源于现实需求，而且解决方法也经常符合一般人的直觉，正如孔子说的“道不远人”。只是数学形成一个逻辑体系，对我们的直觉证实或证伪而已，于是更为严谨、简练、精确。当然，数学形式上更为抽象、深奥、晦涩。这样启发学生体验到自己本身就有这样的思维，而不是外在强行灌输的知识，则能融入内心，发乎自觉，自然而然。这样掌握的数学知识才能理解深刻、记忆牢靠、学以致用。
二、函数的基本性质
函数的两要素可以决定函数，正如人可以用肉体和精神两要素进行识别和区分一样，根据两要素识别人只是第一步，进一步可以了解其性格特征。函数具有四大性质：有界性、单调性、奇偶性、周期性。有界性可以使我们在考虑函数值变化时有一个参考范围，即最大不过多少，最小不过多少；或者最好不过怎么样，最差不过怎么样。可以形象比喻为西游记中孙悟空就像函数那样变化多端，但是无论如何翻筋斗云，都出不了如来佛的手掌，这就是界限，表示有界性。单调性可以表示变量间是否同方向变化，单调增表示同方向变化比如经济学中的供给函数，图形类似于走上坡路；单调减表示反方向变化，比如经济学中的需求函数，图形类似走下坡路。
奇偶性来源于自然界中很多事物呈现出各种各样的对称性，从人身体上的许多器官到建筑物的各种形状，函数中的奇偶性是一个最基本的反映。关于y轴对称的函数是偶函数，关于原点对称的是奇函数。化学上诸多化合物分子如甲烷、苯的分子结构是对称的。微生物中比如病毒的形状多为对称的，除流感病毒呈螺旋形外，其他如疱疹、牛痘、人体肉赘的病毒及腺病毒等皆为正20面体状。在物理上，许多晶体的外形及内部构造也都是对称的。用对称思维可以发现自然界中的许多奥秘。科学家赫谢尔于1800年在红光区域外侧发现了红外线后，人们根据对称思维猜测在紫光区域外侧也可能有一种看不见的射线。1801年，科学家里特果然在实验室中发现了这种射线，即紫外线。
周期性是自然界中许多现象的共性，从一年四季春夏秋冬周而复始到钟表指针转动，从人们的呼吸和心脏跳动及心电图到电流在导线中的传播无一不在做周期性运动。周期性可以使我们由局部推知全局，由现在推知未来。正如《推背图》中所言“一阴一阳，无终无始，终者自终，始者自始”，“茫茫天数此中求，世道兴衰不自由，万万千千说不尽，不如推背去归休”。19世纪，数学家约翰·傅里叶发现所有的乐声（器乐和声乐）都是周期正弦函数的和。在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面，周期函数是必不可少的。
三、反函数、复合函数、初等函数
在日常生活中，我们考虑问题有时候会从正反或者顺逆两方面考虑，比如新产品定价中要求价格做自变量，而需求量做因变量，即定价多少时候需求量是多少。如果有一批存货，要求销售出去，应该定什么价格的问题，就是逆过程。又比如温度计中的水银柱高度随着温度的不同而改变，即水银柱高度h是温度t的函数。而习惯上我们总是以相反的方式使用这个函数，即根据水银柱的高度h确定温度t，这时温度t又成为高度h的函数。因此哪个变量是自变量，哪个变量是因变量要根据问题的性质和目的决定。这就必然要求提出反函数，而且反函数与原函数关于直线y=x对称，具有对称性。
生活中有许多连锁反应，比如海洋中“大鱼吃小鱼，小鱼吃虾米”的现象，即表明大鱼的数量是小鱼数量的函数，而小鱼的数量又是虾米数量的函数；金属棒子在加热时，金属棒的长度是温度的函数，而温度又是时间的函数，等等。这种连锁反应现象的函数表达式，可以称为函数的函数，即函数套函数，内层函数值作为外层函数的自变量，即为复合函数。复合函数还可以比喻为生产流水线，每个函数都可以看作为一道工序，可以把自变量看作输入，因变量看作输出，每道工序完成一种操作或者说功能，然后得到操作结果进入外层函数的下一道工序，一直进行下去，就得到成品了。初等函数首先要介绍六大类基本初等函数，然后由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合运算得到的函数统称为初等函数，因为初等函数有很多优良数学性质，比如后面要学的极限、连续性，所以微积分研究的主要对象就是初等函数。特别地，尽管分段函数的各段表达式一般是初等函数，分段函数是最常见的非初等函数。
参考文献：
[1]张银生，安建业.微积分[M].北京：中国人民大学出版社，2004.
[2]张祖锦.如何整体把握中职数学中的函数教学[J].课程教育研究，2012（20）.
[3]吴振奎，吴旻.数学中的美[M].上海：上海教育出版社，2004.