论文部分内容阅读
在函数复习中，我让同学们做了下面习题：
已知函数f（x）=log3x+2,x∈[1,3]，则函数F（x）=[f(x)]2
+f(x)2的最大值为（）
A． 13B． 16 C． 18D．
绝大多数同学都做出下面的错解：
因为F（x）=[log3x+2]2+log3x2+2=（log3x）2+6log3x+6，又0≤log3x≤1，所以F（x）的最大值为12+6×1+6=13，故选A．
上述的错因是没有注意到函数F（x）的定义域．我们知道，要使一个函数有意义，必需它的每一个部分都有意义，因此，对于F（x）的定义域，必需f（x）和
f（x2）同时有意义，故1≤x≤3,1≤x2≤3,得1≤x≤，从而得0≤log3x≤ ，故F（x）的最大值应为（）2+6×+6=，故选D．
鉴于上述习题错误率奇高，使得我不得不给同学们整理出忽视函数定义域致误的一些情况，叙述如下：
一、判断函数是否相同时需考虑定义域
函数定义域、对应法则、值域是函数的三要素，两个函数只有三要素完全相同，它们才能视为相同，但在实际解题中，最重要的应该是考虑定义域．
例1．下列各组函数是同一函数的是（）
A． y=与y=1B． y=｜x-1｜与y=x-1,x>11-x.x<1
C． y=与y=xD． y=x与y=（）2
解析：如果不考虑函数的定义域，则四个选择子最后化简的结果都是相同的，但实际上A中前一个函数要求x≠0，B中后一个函数缺了x=1，D中后一个函数则要求x≥0，故只有C才表示同一函数．
评注：函数定义域是判断两个函数是否相同应该优先考虑的．
二、实际问题需要考虑实际的定义域
在实际问题中，当我们求出解析式后需要考虑实际情况下的定义域，例如下面的例子能在许多参考书中找到影子．
例2．扇形的周长为c，当圆心角为多少弧度时，面积最大？
解析：设圆心角为?琢，半径为r，弧长为l，则c=l+2r，l=c-2r>0，故0 评注：上述解题过程看起来无懈可击，其实函数解析式定义域出问题了！我们知道，对于扇形的弧长l必有0 三、求函数的值域（或最值）不能忽视定义域
函数的值域（或最值）由解析式（即对应法则）和定义域决定，故定义域制约着函数的值域（或最值）．如本文开头的习题就是因为忽视定义域而致误的一个典例，下面继续剖析．
例3． 已知cosx-cosy=，求z=sin2y+4cosx-的最值．
解析1：由cosx-cosy=得cosy=cosx-，所以z=1-cos2y+4cosx-=-cos2y+cosx-，故当cosx=
－１时zmin=-，当cosx=1时zmin=．
解析2：由cosx-cosy=得cosx=cosy+，所以z=1-cos2y+4（cosy+）-=-cos2y+4cosx，故当cosy=-1时zmin=-5，当cosy=1时zmin=3．
评注：上述解析1、解析2看起来无可挑剔，但瞬是不可能都对的，那么谁对谁借呢？其实两个解析都有错误的，而且错因是相同的——忽视函定义域．
对于解析1，由-1≤cosy=cosx-≤1，-1≤cosx≤1，得-≤cosx≤1，所以当cosx=-时zmin=-5；当cosx=1时zmax=．对于解析2，由-1≤cosx=cosy+≤1,-1≤cosy≤1，得-1≤cosy≤，所以当cosy=-1时zmin=-5，当cosy=时zmax=．
例4． 求函数y=的最小值．
解析：因为y==+≥
2=2,所以函数y=的最小值为2．
评注：上述解法“一气呵成”，真的无瑕可找吗？非也！基本不式解题必须要求“一正二定三相等”，要取到最小值2必有=，即x2=-3，在实数范围内这是不成立的！其实质就是未注意到定义域！一般的正解如下：
因为y=+，令t=，则t≥2，故原函数的最小值就是函数y=t+（t≥2）的最小值，由函数y=t+的单调性（在[1,+∞)递增）知，其在[2,+∞)递增，所以当t=2即x=0时ymin=2+=．
四、求函数的单调区间不能忽视定义域
研究函数的单调区间必需先保证函数有意义，即函数的单调区间必需在函数的定义域内研究．
例5． 求函数y=loga（2x2-3x+1）（0 解析：同学们典型的错误是只考虑复合函数单调性法则，即因为函数y=logat（0 评注：实际上在探求该函数的单调性时必须先保证函数y=loga（2x2-3x+1）有意义，故先需2x2-3x+1>0，解得x>1或x<，再结合复合函数单调性法则知原函数递减区间为（1,+∞）．
例6． 求函数y=的递增区间．
解析：先求定义域，由sin2x≥0，得2k≤2x≤2k+,k∈Z，解得k≤x≤k+,k∈Z… ①；再求函数y=sin2x的增区间，由2k-≤2x≤2k+（k∈Z），得k-≤x≤k+,k∈Z…②．由复合函数单调性法则知原函数递增区间为[k,k+],k∈Z.
五、函数的奇偶性不能忽视定义域
判断函数的奇偶性，应俦考虑该函数的定义域是否关于原点对称，在对称的前提下再用奇偶性定义加以判断，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数．
例7． 判断函数f（x）=的奇偶性．
解析：因为f（x）=，所以f（-x）==
-f（x），故函数f（x）是奇函数．
评注：上述解法是许多同学常犯的错误，因为忽视了定义域致错！实际上要使函数f（x）有意义必需x（x-6）≠0，得x≠0且x≠6，显然不关于原点对称，故原函数应是非奇非偶函数．
例8． 判断函数f（x）=的奇偶性．
解析：由4-x2≥0,｜x-3｜-3≠0,得-2≤x≤2且x≠0，于是
f（x）的定义域[-2,0)∪(0,2]关于原点对称，且f（x）==，因此，f（-x）==-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
评注：定义域关于原点对称是函数具有奇偶的必要条件，因此，判断函数奇偶时必须俦研究函数的定义域．例7是忽视定义域化简不具有等价性，例8是正视了定义域化简后轻松求解，两例值得深思．
六、解不等式不能忽视定义域
例9． 已知奇函数f（x）是定义在（-2,2）上的单调递减函数，当f（2-a）+f（2a-3）<0时，求a的取值范围．
解析：因为f（x）是奇函数，所以f（2-a）<-f(2a-3)=f(3-2a)，又f（x）是单调递减函数，所以2-a>3-2a，得a>1，因此，a的取值范围是(1,+∞)．
评注：上述解法是同学们经常会出现的忽视定义域的错误解法．实际上，函数只在（-2，2）上才有意义，因此，必需先满足.于是，解得 七、求反函数不能忽视定义域
求函数反函数的基本步骤是：求原函数的值域、反解、变量互换、写出结论．
例10． 求函数y=1+ln（x-1）（x>1）的反函数．
解析：因为x>1，所以y∈R，由y=1+ln(x-1)反解得x＝ey-1+1，故反函数为y=ex-1+1（x∈R）．
评注：在求反函数时一般反解的错误较低，通常错在不考虑或求错反函数的定义域即原函数的值域．
综上所述，考虑函数的定义域应是研究函数问题的第一步，否则极易出现错误，本文提及的七方面是常见的忽视定义域致错，除此之外还有其他的方面也需要注意．
（作者单位：浙江省绍兴市越城区皋埠镇中学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
已知函数f（x）=log3x+2,x∈[1,3]，则函数F（x）=[f(x)]2
+f(x)2的最大值为（）
A． 13B． 16 C． 18D．
绝大多数同学都做出下面的错解：
因为F（x）=[log3x+2]2+log3x2+2=（log3x）2+6log3x+6，又0≤log3x≤1，所以F（x）的最大值为12+6×1+6=13，故选A．
上述的错因是没有注意到函数F（x）的定义域．我们知道，要使一个函数有意义，必需它的每一个部分都有意义，因此，对于F（x）的定义域，必需f（x）和
f（x2）同时有意义，故1≤x≤3,1≤x2≤3,得1≤x≤，从而得0≤log3x≤ ，故F（x）的最大值应为（）2+6×+6=，故选D．
鉴于上述习题错误率奇高，使得我不得不给同学们整理出忽视函数定义域致误的一些情况，叙述如下：
一、判断函数是否相同时需考虑定义域
函数定义域、对应法则、值域是函数的三要素，两个函数只有三要素完全相同，它们才能视为相同，但在实际解题中，最重要的应该是考虑定义域．
例1．下列各组函数是同一函数的是（）
A． y=与y=1B． y=｜x-1｜与y=x-1,x>11-x.x<1
C． y=与y=xD． y=x与y=（）2
解析：如果不考虑函数的定义域，则四个选择子最后化简的结果都是相同的，但实际上A中前一个函数要求x≠0，B中后一个函数缺了x=1，D中后一个函数则要求x≥0，故只有C才表示同一函数．
评注：函数定义域是判断两个函数是否相同应该优先考虑的．
二、实际问题需要考虑实际的定义域
在实际问题中，当我们求出解析式后需要考虑实际情况下的定义域，例如下面的例子能在许多参考书中找到影子．
例2．扇形的周长为c，当圆心角为多少弧度时，面积最大？
解析：设圆心角为?琢，半径为r，弧长为l，则c=l+2r，l=c-2r>0，故0
函数的值域（或最值）由解析式（即对应法则）和定义域决定，故定义域制约着函数的值域（或最值）．如本文开头的习题就是因为忽视定义域而致误的一个典例，下面继续剖析．
例3． 已知cosx-cosy=，求z=sin2y+4cosx-的最值．
解析1：由cosx-cosy=得cosy=cosx-，所以z=1-cos2y+4cosx-=-cos2y+cosx-，故当cosx=
－１时zmin=-，当cosx=1时zmin=．
解析2：由cosx-cosy=得cosx=cosy+，所以z=1-cos2y+4（cosy+）-=-cos2y+4cosx，故当cosy=-1时zmin=-5，当cosy=1时zmin=3．
评注：上述解析1、解析2看起来无可挑剔，但瞬是不可能都对的，那么谁对谁借呢？其实两个解析都有错误的，而且错因是相同的——忽视函定义域．
对于解析1，由-1≤cosy=cosx-≤1，-1≤cosx≤1，得-≤cosx≤1，所以当cosx=-时zmin=-5；当cosx=1时zmax=．对于解析2，由-1≤cosx=cosy+≤1,-1≤cosy≤1，得-1≤cosy≤，所以当cosy=-1时zmin=-5，当cosy=时zmax=．
例4． 求函数y=的最小值．
解析：因为y==+≥
2=2,所以函数y=的最小值为2．
评注：上述解法“一气呵成”，真的无瑕可找吗？非也！基本不式解题必须要求“一正二定三相等”，要取到最小值2必有=，即x2=-3，在实数范围内这是不成立的！其实质就是未注意到定义域！一般的正解如下：
因为y=+，令t=，则t≥2，故原函数的最小值就是函数y=t+（t≥2）的最小值，由函数y=t+的单调性（在[1,+∞)递增）知，其在[2,+∞)递增，所以当t=2即x=0时ymin=2+=．
四、求函数的单调区间不能忽视定义域
研究函数的单调区间必需先保证函数有意义，即函数的单调区间必需在函数的定义域内研究．
例5． 求函数y=loga（2x2-3x+1）（0
例6． 求函数y=的递增区间．
解析：先求定义域，由sin2x≥0，得2k≤2x≤2k+,k∈Z，解得k≤x≤k+,k∈Z… ①；再求函数y=sin2x的增区间，由2k-≤2x≤2k+（k∈Z），得k-≤x≤k+,k∈Z…②．由复合函数单调性法则知原函数递增区间为[k,k+],k∈Z.
五、函数的奇偶性不能忽视定义域
判断函数的奇偶性，应俦考虑该函数的定义域是否关于原点对称，在对称的前提下再用奇偶性定义加以判断，如果定义域不关于原点对称，则函数是非奇非偶函数．
例7． 判断函数f（x）=的奇偶性．
解析：因为f（x）=，所以f（-x）==
-f（x），故函数f（x）是奇函数．
评注：上述解法是许多同学常犯的错误，因为忽视了定义域致错！实际上要使函数f（x）有意义必需x（x-6）≠0，得x≠0且x≠6，显然不关于原点对称，故原函数应是非奇非偶函数．
例8． 判断函数f（x）=的奇偶性．
解析：由4-x2≥0,｜x-3｜-3≠0,得-2≤x≤2且x≠0，于是
f（x）的定义域[-2,0)∪(0,2]关于原点对称，且f（x）==，因此，f（-x）==-f（x），所以函数f（x）是奇函数．
评注：定义域关于原点对称是函数具有奇偶的必要条件，因此，判断函数奇偶时必须俦研究函数的定义域．例7是忽视定义域化简不具有等价性，例8是正视了定义域化简后轻松求解，两例值得深思．
六、解不等式不能忽视定义域
例9． 已知奇函数f（x）是定义在（-2,2）上的单调递减函数，当f（2-a）+f（2a-3）<0时，求a的取值范围．
解析：因为f（x）是奇函数，所以f（2-a）<-f(2a-3)=f(3-2a)，又f（x）是单调递减函数，所以2-a>3-2a，得a>1，因此，a的取值范围是(1,+∞)．
评注：上述解法是同学们经常会出现的忽视定义域的错误解法．实际上，函数只在（-2，2）上才有意义，因此，必需先满足.于是，解得
求函数反函数的基本步骤是：求原函数的值域、反解、变量互换、写出结论．
例10． 求函数y=1+ln（x-1）（x>1）的反函数．
解析：因为x>1，所以y∈R，由y=1+ln(x-1)反解得x＝ey-1+1，故反函数为y=ex-1+1（x∈R）．
评注：在求反函数时一般反解的错误较低，通常错在不考虑或求错反函数的定义域即原函数的值域．
综上所述，考虑函数的定义域应是研究函数问题的第一步，否则极易出现错误，本文提及的七方面是常见的忽视定义域致错，除此之外还有其他的方面也需要注意．
（作者单位：浙江省绍兴市越城区皋埠镇中学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”