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题目 已知两点M（-1，0），N（0，1），动点P满足OP=αOM βON，其中α2 β2=1，α，β∈R.
（1）求动点P的轨迹方程；（2）求PM·PN的取值范围.
一、考点解析
1.本题第一问涉及简单向量化简，而后代换求轨迹问题，难度不大.第二问通过简单的向量计算后得到一个二元二次式，而后求二元二次式所对应的取值范围（是本题的难点）.
2.本题主要考查考生应用换元法进行化归的能力.高中数学对换元思想有很高的要求，在函数、解析几何等知识中都有很高的应用要求.
二、题目解析
解 （1）设P的坐标为P（x，y），
则由OP=αOM βON，得（x，y）=（-α，β），
∴x=-α，y=β. ∵α2 β2=1，α，β∈R，
∴x2 y2=1，即为P的轨迹方程.
（2）设P（x，y），则PM=（-1-x，-y），PN=（-x，1-y），
∴PM·PN=-x（-1-x） （-y）（1-y）=x2 y2 x-y.
以下针对第二问分四种方法进行解答：
法一 ∵x2 y2=1，∴PM·PN=x-y 1.
∵x2 y2=1，令x=cosθ，y=sinθ， θ∈[0，2π），
∴x-y 1=cosθ-sinθ 1=2cosθ π4 1，θ∈[0，2π）.
∵θ π4∈π4，9π4，∴cosθ π4∈[-1，1]，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
法二 ∵x2 y2=1，∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1，則y=x-u 1，代入x2 y2=1得
2x2 （2-2u）x u2-2u=0.
由Δ=（2-2u）2-8（u2-2u）≥0，
∴1-2≤u≤1 2，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
法三 ∵x2 y2=1，∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1，则y=x-u 1.
∵P满足x2 y2=1，也满足y=x-u 1，
∴圆与直线有公共点，
即|-u 1|12 （-1）2≤11-2≤u≤1 2，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
法四 ∵PM·PN=x2 y2 x-y
=x 122 y-122-12
=x 122 y-1222-12.
而x 122 y-1222表圆x2 y2=1上的动点P到点-12，12的距离.
圆心（0，0）到-12，12的距离
d=0 122 0-122=22.
∵圆的半径r=1，
∴x 122 y-1222∈1-222，1 222，
∴x 122 y-1222∈32-2，32 2，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
三、学情与教学对策
1.该考点要求能熟练地利用换元和化归思想.学生对换元、化归的思想的理解没形成系统，对学生有难度.
2.该题的相关知识点在平面向量、三角函数、直线与圆、参数方程等都有涉及.相关的思想教学是高中教学的重点.
3.从此题来看，数学的教学应注重思想的教学，同时应注重知识点间的关联性.学生在学习中应该注意知识点的整合，对知识点的学习应该把重心放到思想悟化上来.很多学生在学习过程中，老是学啥会啥，学啥忘啥，诱因就是学习的重心停留在记忆和模仿上.对知识点的整合和对思想的悟化应成为学生学习的重要突破口.
四、试题的拓展、变式分析
1.此题的解析思想可用于函数的解析式、值域、消元降次、不等式等的求解.
举例如下：
（1）若f（x）=x，求f（x）；
（2）求f（x）=x 1-x2的值域；
（3）若点（x，y）是圆x2 y2=1上的点，求x y的最值；
（4）圆x2 （y-1）2=1上的动点P（x，y）使得x y m≥0恒成立，求实数m的取值范围.
以上问题用换元、三角代换、数形结合等方法能进行解决.
2.试题的改编分析
（1）第一问可改变题干的内容，让求出的动点轨迹方程是圆、椭圆、双曲线、抛物线等，
例如，将α2 β2=1改为α42 β2=1，α42-β2=1，β=α42，则分别得到椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程.
（2）第二问可改为下列问题：
① 求二元一次式的范围，例如，求ax by c的取值范围；
② 求二元二次式的范围，例如，求x2 y2 Dx Ey F（D2 E2-4F>0）的取值范围；
③ 求某类分式的取值范围，例如，求y-bx-a的取值范围；
④ 求某类含绝对值式的取值范围，例如，求|ax by c|的取值范围；
⑤ 求某类含根号式的取值范围，例如，求（x-a）2 （y-b）2的取值范围.
以上问题用消元、三角代换、线性与非线性规划、数形结合等方法能进行解决.
3.命题趋势
第一问求动点轨迹方程多以圆、椭圆、双曲线、抛物线出现，新课标下圆的地位要引起足够的重视.
第二问的题型多以求一元一次式、含参数的一元一次式、分式为主，新课标下一元一次式、含参数的一元一次式要引起足够的重视.
（1）求动点P的轨迹方程；（2）求PM·PN的取值范围.
一、考点解析
1.本题第一问涉及简单向量化简，而后代换求轨迹问题，难度不大.第二问通过简单的向量计算后得到一个二元二次式，而后求二元二次式所对应的取值范围（是本题的难点）.
2.本题主要考查考生应用换元法进行化归的能力.高中数学对换元思想有很高的要求，在函数、解析几何等知识中都有很高的应用要求.
二、题目解析
解 （1）设P的坐标为P（x，y），
则由OP=αOM βON，得（x，y）=（-α，β），
∴x=-α，y=β. ∵α2 β2=1，α，β∈R，
∴x2 y2=1，即为P的轨迹方程.
（2）设P（x，y），则PM=（-1-x，-y），PN=（-x，1-y），
∴PM·PN=-x（-1-x） （-y）（1-y）=x2 y2 x-y.
以下针对第二问分四种方法进行解答：
法一 ∵x2 y2=1，∴PM·PN=x-y 1.
∵x2 y2=1，令x=cosθ，y=sinθ， θ∈[0，2π），
∴x-y 1=cosθ-sinθ 1=2cosθ π4 1，θ∈[0，2π）.
∵θ π4∈π4，9π4，∴cosθ π4∈[-1，1]，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
法二 ∵x2 y2=1，∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1，則y=x-u 1，代入x2 y2=1得
2x2 （2-2u）x u2-2u=0.
由Δ=（2-2u）2-8（u2-2u）≥0，
∴1-2≤u≤1 2，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
法三 ∵x2 y2=1，∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1，则y=x-u 1.
∵P满足x2 y2=1，也满足y=x-u 1，
∴圆与直线有公共点，
即|-u 1|12 （-1）2≤11-2≤u≤1 2，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
法四 ∵PM·PN=x2 y2 x-y
=x 122 y-122-12
=x 122 y-1222-12.
而x 122 y-1222表圆x2 y2=1上的动点P到点-12，12的距离.
圆心（0，0）到-12，12的距离
d=0 122 0-122=22.
∵圆的半径r=1，
∴x 122 y-1222∈1-222，1 222，
∴x 122 y-1222∈32-2，32 2，
即PM·PN∈[1-2，1 2].
三、学情与教学对策
1.该考点要求能熟练地利用换元和化归思想.学生对换元、化归的思想的理解没形成系统，对学生有难度.
2.该题的相关知识点在平面向量、三角函数、直线与圆、参数方程等都有涉及.相关的思想教学是高中教学的重点.
3.从此题来看，数学的教学应注重思想的教学，同时应注重知识点间的关联性.学生在学习中应该注意知识点的整合，对知识点的学习应该把重心放到思想悟化上来.很多学生在学习过程中，老是学啥会啥，学啥忘啥，诱因就是学习的重心停留在记忆和模仿上.对知识点的整合和对思想的悟化应成为学生学习的重要突破口.
四、试题的拓展、变式分析
1.此题的解析思想可用于函数的解析式、值域、消元降次、不等式等的求解.
举例如下：
（1）若f（x）=x，求f（x）；
（2）求f（x）=x 1-x2的值域；
（3）若点（x，y）是圆x2 y2=1上的点，求x y的最值；
（4）圆x2 （y-1）2=1上的动点P（x，y）使得x y m≥0恒成立，求实数m的取值范围.
以上问题用换元、三角代换、数形结合等方法能进行解决.
2.试题的改编分析
（1）第一问可改变题干的内容，让求出的动点轨迹方程是圆、椭圆、双曲线、抛物线等，
例如，将α2 β2=1改为α42 β2=1，α42-β2=1，β=α42，则分别得到椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程.
（2）第二问可改为下列问题：
① 求二元一次式的范围，例如，求ax by c的取值范围；
② 求二元二次式的范围，例如，求x2 y2 Dx Ey F（D2 E2-4F>0）的取值范围；
③ 求某类分式的取值范围，例如，求y-bx-a的取值范围；
④ 求某类含绝对值式的取值范围，例如，求|ax by c|的取值范围；
⑤ 求某类含根号式的取值范围，例如，求（x-a）2 （y-b）2的取值范围.
以上问题用消元、三角代换、线性与非线性规划、数形结合等方法能进行解决.
3.命题趋势
第一问求动点轨迹方程多以圆、椭圆、双曲线、抛物线出现，新课标下圆的地位要引起足够的重视.
第二问的题型多以求一元一次式、含参数的一元一次式、分式为主，新课标下一元一次式、含参数的一元一次式要引起足够的重视.