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题目 已知两点M(-1,0),N(0,1),动点P满足OP=αOM βON,其中α2 β2=1,α,β∈R.
(1)求动点P的轨迹方程;(2)求PM·PN的取值范围.
一、考点解析
1.本题第一问涉及简单向量化简,而后代换求轨迹问题,难度不大.第二问通过简单的向量计算后得到一个二元二次式,而后求二元二次式所对应的取值范围(是本题的难点).
2.本题主要考查考生应用换元法进行化归的能力.高中数学对换元思想有很高的要求,在函数、解析几何等知识中都有很高的应用要求.
二、题目解析
解 (1)设P的坐标为P(x,y),
则由OP=αOM βON,得(x,y)=(-α,β),
∴x=-α,y=β. ∵α2 β2=1,α,β∈R,
∴x2 y2=1,即为P的轨迹方程.
(2)设P(x,y),则PM=(-1-x,-y),PN=(-x,1-y),
∴PM·PN=-x(-1-x) (-y)(1-y)=x2 y2 x-y.
以下针对第二问分四种方法进行解答:
法一 ∵x2 y2=1,∴PM·PN=x-y 1.
∵x2 y2=1,令x=cosθ,y=sinθ, θ∈[0,2π),
∴x-y 1=cosθ-sinθ 1=2cosθ π4 1,θ∈[0,2π).
∵θ π4∈π4,9π4,∴cosθ π4∈[-1,1],
即PM·PN∈[1-2,1 2].
法二 ∵x2 y2=1,∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1,則y=x-u 1,代入x2 y2=1得
2x2 (2-2u)x u2-2u=0.
由Δ=(2-2u)2-8(u2-2u)≥0,
∴1-2≤u≤1 2,
即PM·PN∈[1-2,1 2].
法三 ∵x2 y2=1,∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1,则y=x-u 1.
∵P满足x2 y2=1,也满足y=x-u 1,
∴圆与直线有公共点,
即|-u 1|12 (-1)2≤11-2≤u≤1 2,
即PM·PN∈[1-2,1 2].
法四 ∵PM·PN=x2 y2 x-y
=x 122 y-122-12
=x 122 y-1222-12.
而x 122 y-1222表圆x2 y2=1上的动点P到点-12,12的距离.
圆心(0,0)到-12,12的距离
d=0 122 0-122=22.
∵圆的半径r=1,
∴x 122 y-1222∈1-222,1 222,
∴x 122 y-1222∈32-2,32 2,
即PM·PN∈[1-2,1 2].
三、学情与教学对策
1.该考点要求能熟练地利用换元和化归思想.学生对换元、化归的思想的理解没形成系统,对学生有难度.
2.该题的相关知识点在平面向量、三角函数、直线与圆、参数方程等都有涉及.相关的思想教学是高中教学的重点.
3.从此题来看,数学的教学应注重思想的教学,同时应注重知识点间的关联性.学生在学习中应该注意知识点的整合,对知识点的学习应该把重心放到思想悟化上来.很多学生在学习过程中,老是学啥会啥,学啥忘啥,诱因就是学习的重心停留在记忆和模仿上.对知识点的整合和对思想的悟化应成为学生学习的重要突破口.
四、试题的拓展、变式分析
1.此题的解析思想可用于函数的解析式、值域、消元降次、不等式等的求解.
举例如下:
(1)若f(x)=x,求f(x);
(2)求f(x)=x 1-x2的值域;
(3)若点(x,y)是圆x2 y2=1上的点,求x y的最值;
(4)圆x2 (y-1)2=1上的动点P(x,y)使得x y m≥0恒成立,求实数m的取值范围.
以上问题用换元、三角代换、数形结合等方法能进行解决.
2.试题的改编分析
(1)第一问可改变题干的内容,让求出的动点轨迹方程是圆、椭圆、双曲线、抛物线等,
例如,将α2 β2=1改为α42 β2=1,α42-β2=1,β=α42,则分别得到椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程.
(2)第二问可改为下列问题:
① 求二元一次式的范围,例如,求ax by c的取值范围;
② 求二元二次式的范围,例如,求x2 y2 Dx Ey F(D2 E2-4F>0)的取值范围;
③ 求某类分式的取值范围,例如,求y-bx-a的取值范围;
④ 求某类含绝对值式的取值范围,例如,求|ax by c|的取值范围;
⑤ 求某类含根号式的取值范围,例如,求(x-a)2 (y-b)2的取值范围.
以上问题用消元、三角代换、线性与非线性规划、数形结合等方法能进行解决.
3.命题趋势
第一问求动点轨迹方程多以圆、椭圆、双曲线、抛物线出现,新课标下圆的地位要引起足够的重视.
第二问的题型多以求一元一次式、含参数的一元一次式、分式为主,新课标下一元一次式、含参数的一元一次式要引起足够的重视.
(1)求动点P的轨迹方程;(2)求PM·PN的取值范围.
一、考点解析
1.本题第一问涉及简单向量化简,而后代换求轨迹问题,难度不大.第二问通过简单的向量计算后得到一个二元二次式,而后求二元二次式所对应的取值范围(是本题的难点).
2.本题主要考查考生应用换元法进行化归的能力.高中数学对换元思想有很高的要求,在函数、解析几何等知识中都有很高的应用要求.
二、题目解析
解 (1)设P的坐标为P(x,y),
则由OP=αOM βON,得(x,y)=(-α,β),
∴x=-α,y=β. ∵α2 β2=1,α,β∈R,
∴x2 y2=1,即为P的轨迹方程.
(2)设P(x,y),则PM=(-1-x,-y),PN=(-x,1-y),
∴PM·PN=-x(-1-x) (-y)(1-y)=x2 y2 x-y.
以下针对第二问分四种方法进行解答:
法一 ∵x2 y2=1,∴PM·PN=x-y 1.
∵x2 y2=1,令x=cosθ,y=sinθ, θ∈[0,2π),
∴x-y 1=cosθ-sinθ 1=2cosθ π4 1,θ∈[0,2π).
∵θ π4∈π4,9π4,∴cosθ π4∈[-1,1],
即PM·PN∈[1-2,1 2].
法二 ∵x2 y2=1,∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1,則y=x-u 1,代入x2 y2=1得
2x2 (2-2u)x u2-2u=0.
由Δ=(2-2u)2-8(u2-2u)≥0,
∴1-2≤u≤1 2,
即PM·PN∈[1-2,1 2].
法三 ∵x2 y2=1,∴PM·PN=x-y 1.
令u=x-y 1,则y=x-u 1.
∵P满足x2 y2=1,也满足y=x-u 1,
∴圆与直线有公共点,
即|-u 1|12 (-1)2≤11-2≤u≤1 2,
即PM·PN∈[1-2,1 2].
法四 ∵PM·PN=x2 y2 x-y
=x 122 y-122-12
=x 122 y-1222-12.
而x 122 y-1222表圆x2 y2=1上的动点P到点-12,12的距离.
圆心(0,0)到-12,12的距离
d=0 122 0-122=22.
∵圆的半径r=1,
∴x 122 y-1222∈1-222,1 222,
∴x 122 y-1222∈32-2,32 2,
即PM·PN∈[1-2,1 2].
三、学情与教学对策
1.该考点要求能熟练地利用换元和化归思想.学生对换元、化归的思想的理解没形成系统,对学生有难度.
2.该题的相关知识点在平面向量、三角函数、直线与圆、参数方程等都有涉及.相关的思想教学是高中教学的重点.
3.从此题来看,数学的教学应注重思想的教学,同时应注重知识点间的关联性.学生在学习中应该注意知识点的整合,对知识点的学习应该把重心放到思想悟化上来.很多学生在学习过程中,老是学啥会啥,学啥忘啥,诱因就是学习的重心停留在记忆和模仿上.对知识点的整合和对思想的悟化应成为学生学习的重要突破口.
四、试题的拓展、变式分析
1.此题的解析思想可用于函数的解析式、值域、消元降次、不等式等的求解.
举例如下:
(1)若f(x)=x,求f(x);
(2)求f(x)=x 1-x2的值域;
(3)若点(x,y)是圆x2 y2=1上的点,求x y的最值;
(4)圆x2 (y-1)2=1上的动点P(x,y)使得x y m≥0恒成立,求实数m的取值范围.
以上问题用换元、三角代换、数形结合等方法能进行解决.
2.试题的改编分析
(1)第一问可改变题干的内容,让求出的动点轨迹方程是圆、椭圆、双曲线、抛物线等,
例如,将α2 β2=1改为α42 β2=1,α42-β2=1,β=α42,则分别得到椭圆、双曲线、抛物线的轨迹方程.
(2)第二问可改为下列问题:
① 求二元一次式的范围,例如,求ax by c的取值范围;
② 求二元二次式的范围,例如,求x2 y2 Dx Ey F(D2 E2-4F>0)的取值范围;
③ 求某类分式的取值范围,例如,求y-bx-a的取值范围;
④ 求某类含绝对值式的取值范围,例如,求|ax by c|的取值范围;
⑤ 求某类含根号式的取值范围,例如,求(x-a)2 (y-b)2的取值范围.
以上问题用消元、三角代换、线性与非线性规划、数形结合等方法能进行解决.
3.命题趋势
第一问求动点轨迹方程多以圆、椭圆、双曲线、抛物线出现,新课标下圆的地位要引起足够的重视.
第二问的题型多以求一元一次式、含参数的一元一次式、分式为主,新课标下一元一次式、含参数的一元一次式要引起足够的重视.