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摘要：本文基于多帧且互有位移的图像序列，构建了从低分辨率图像（LR）序列获取高分辨率图像（HR）的算法。
我们首先对HR图像进行模糊、几何变换和降采样处理得到LR图像，再用平移矩阵对得到的LR图像平移。将多次平移后的图像进行双线性插值处理和三次样条插值处理，由此得到了多帧LR图像初步转化成HR的图像。
考虑到图像平移后数据处理量的迅速增加，从使用较少帧数图像的角度出发，本文采用了递归的最速下降迭代法（RSD），通过证明迭代系数λ的收敛性和有效性，从而得到了经循环递归的最速下降迭代法处理后的HR图像。此外，考虑到实际图像在小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中的映射，可以缓解低通滤波产生的边缘模糊，加强高通滤波在细节处的锐化，并且在去噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。由此找到了由多帧低分辨率图像序列在一维小波空间映射的情况下，得到的有最优细节的高分辨率图像。
关键词：高通滤波处理；峰值信噪比；最速下降迭代；小波分析
1 多帧图像的插值与拟合
利用不同图像之间由于几何变换而产生的类似但不相同的信息，需要对图像序列进行精确的配准。采用梯度方法（gradient method）进行图像配准。几何变换采用纯平移模型，考虑泰勒级数的二维离散表示数字图像形式：
上式中，（m-m0）和（n-n0）分别是竖直和水平方向上的平移量，记为Sm和Sn在求解Sm和Sn的时候可采用最小均方准则，即使得下式最小：
式中，M和N分别表示x和y方向总的采样点数，得到表示成矩阵形式的方程组，可简写为：
插值后图像的高频细节被丢失，且无唯一解，难以反映出图像的局部细节和特点。采用了空间滤波中的线性锐化滤波和高通滤波器。
一般情况下，像素的邻域比该像素要大，即该像素的邻域中除了本身外还包括其他像素。可利用模板与图像进行卷积，每个模板实际上是一个二维数组，其中各个元素的取值决定模板的功能，这种模板操作也称为空间域滤波。
线性高通滤波器是最常用的线性锐化滤波器。这种滤波器的中心系数都是正的，而周围的系数都是负的。对3*3的模板来说，典型的系数取值是：
事实上这是拉普拉斯算子，所有的系数之和为0。当这样的模板放在图像中灰度值是常数或变化很小的区域时，其输出为0或很小。这个滤波器将原来的图像中的零频域分量去除了，也就是将输出的图像的平均值变为0，这样就会有一部分像素的灰度值小于0。在图像处理中我们一般只考虑正的灰度值，所以还有将输出图像的灰度值范围通过尺度变回到所要求的范围。
此外，考虑到频率域的图像增强。频率域增强的主要步骤是：
（1）技术所需增强图的傅立叶变换；
（2）将其与一个（根据需要设计的）转移函数相乘；
（3）再将结果进行傅立叶反变换以得到增强的图。
频率域增强的两个关键步骤：
（1）将图像从空间域转换到频率域所需的变换及将图像从频率域空间转换回空间域所需的变换；
（2）在频率域空间对图像进行增强加工操作。
常用的频率域增强方法有低通滤波和高通滤波。又由于图像的能量大部分集中在幅度谱的低频和中频度，而图像的边缘和噪声对应于高频部分。高通滤波是衰减或抑制低频分量，让高频的分量通过，其作用是使图像得到锐化处理，突出图像的边界。
一般情况下，高通滤波对噪声没有任何抑制作用，为了既加强图像的细节又抑制噪聲，可采用高频加强滤波。高斯高通滤波的产生公式为：
由于上述方程组是在假设位移较小的情况下得到的，而图像是以离散形式记录的，位移可能不够小，此时就需要用迭代的方法不断地对位移量进行修正[5]。
2 基于循环递归的RSD算法
RSD算法可以写为：
（1）初始值 X0任意 （1）
（2）Xk+1i=Xki+λHTi（Yi-Hi Xki） （2）
（3）X0i+1=X∞i，i=1，2，…，L （3）
其中Yi∈RM2×1表示第i帧采样图像，L为采样图像数，Hi∈RM2×N2表示与第i帧低分辨率图像相对应的观察矩阵，Hi=SHiCi。Xki表示使用第i帧低分辨率图像进行k次迭代后，高分辨率图像的估计值。式（2）表示对于当前输入的第帧低分辨率图像，我们使用最速下降迭代法求解高分辨率图像的估计，其中λ是迭代系数，表示对于下一帧输入的低分辨率图像，我们将上一帧迭代的结果作为其迭代的初始值。
设X*为方程（2）的正确解，Xk是第k次迭代的估计值，第k次迭代的误差为ek=X*-Xk，由（3）式得
ek+1=X*-Xk-λ HT（Y-HXk）=（I-λHTHi）e-λ
考虑到E[V]=0，平均迭代误差可以写成
E[ek+1]=（I-λ HTHi）k+E*[e0]
由于HT H满秩，可以选择λ使‖I-λ HTHi‖<1，从而式（3）收敛于X*。
因此RSD算法的迭代过程，可以看成是对误差空间不断进行正交投影的过程。由于正交投影满足‖Px‖≤‖x‖，所以在整个迭代的过程中误差矢量的范数只可能减少，而不会导致发散，所以RSD算法是收敛的。
3 小波变化分析
在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，寻找对原图像的最佳逼近，用来完成原图像和噪声的区分。
由此可见，寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射是小波去噪方法，它可以得到原图像的最佳恢复。小波图像锐化就是把图像中尖锐的部分尽可能地提取出来，用于检测和识别等领域。它的任务是突出高频信息，抑制低频信息，从快速变化的成分中分离出标识系统特性或区分子系统边界的成分，以便进一步的识别、分割等操作。
使用小波方法进行高通滤波得到的高频结果比较纯粹，完全是原图像上的边缘信息，而使用小波方法，不仅只有高频成分，还有变换非常缓慢的低频成分，这是因为二者同样在小波系数上体现为绝对值较低的部分。
了较大提升。
参考文献：
[1]龚声蓉，刘纯平，赵勋杰，蒋德茂.数字图像处理与分析.清华大学出版社.2006
[2]刘榴娣，刘明奇，党长民.实用数字图像处理[M].北京理工大学出版社，1998.
[3]龚耀寰.自适应滤波器[M].北京：电子工业出版社，1989.
[4]邓记才，裴炳南.一种求解LMS算法收敛步长阈值的新方法[J].信号处理，1996，12（2）：52-56.
作者简介：
李鲜（1995.09-）女，汉族，身份证号：411324199509144222，本科生，河南省南阳市，研究方向：给排水科学与工程
李鹏洋（1996.11-）男，汉族，身份证号：410527199611260632，本科生，河南省安阳市，研究方向：给排水科学与工程
我们首先对HR图像进行模糊、几何变换和降采样处理得到LR图像，再用平移矩阵对得到的LR图像平移。将多次平移后的图像进行双线性插值处理和三次样条插值处理，由此得到了多帧LR图像初步转化成HR的图像。
考虑到图像平移后数据处理量的迅速增加，从使用较少帧数图像的角度出发，本文采用了递归的最速下降迭代法（RSD），通过证明迭代系数λ的收敛性和有效性，从而得到了经循环递归的最速下降迭代法处理后的HR图像。此外，考虑到实际图像在小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中的映射，可以缓解低通滤波产生的边缘模糊，加强高通滤波在细节处的锐化，并且在去噪的同时实现了图像一定程度的压缩和边缘特征的提取。由此找到了由多帧低分辨率图像序列在一维小波空间映射的情况下，得到的有最优细节的高分辨率图像。
关键词：高通滤波处理；峰值信噪比；最速下降迭代；小波分析
1 多帧图像的插值与拟合
利用不同图像之间由于几何变换而产生的类似但不相同的信息，需要对图像序列进行精确的配准。采用梯度方法（gradient method）进行图像配准。几何变换采用纯平移模型，考虑泰勒级数的二维离散表示数字图像形式：
上式中，（m-m0）和（n-n0）分别是竖直和水平方向上的平移量，记为Sm和Sn在求解Sm和Sn的时候可采用最小均方准则，即使得下式最小：
式中，M和N分别表示x和y方向总的采样点数，得到表示成矩阵形式的方程组，可简写为：
插值后图像的高频细节被丢失，且无唯一解，难以反映出图像的局部细节和特点。采用了空间滤波中的线性锐化滤波和高通滤波器。
一般情况下，像素的邻域比该像素要大，即该像素的邻域中除了本身外还包括其他像素。可利用模板与图像进行卷积，每个模板实际上是一个二维数组，其中各个元素的取值决定模板的功能，这种模板操作也称为空间域滤波。
线性高通滤波器是最常用的线性锐化滤波器。这种滤波器的中心系数都是正的，而周围的系数都是负的。对3*3的模板来说，典型的系数取值是：
事实上这是拉普拉斯算子，所有的系数之和为0。当这样的模板放在图像中灰度值是常数或变化很小的区域时，其输出为0或很小。这个滤波器将原来的图像中的零频域分量去除了，也就是将输出的图像的平均值变为0，这样就会有一部分像素的灰度值小于0。在图像处理中我们一般只考虑正的灰度值，所以还有将输出图像的灰度值范围通过尺度变回到所要求的范围。
此外，考虑到频率域的图像增强。频率域增强的主要步骤是：
（1）技术所需增强图的傅立叶变换；
（2）将其与一个（根据需要设计的）转移函数相乘；
（3）再将结果进行傅立叶反变换以得到增强的图。
频率域增强的两个关键步骤：
（1）将图像从空间域转换到频率域所需的变换及将图像从频率域空间转换回空间域所需的变换；
（2）在频率域空间对图像进行增强加工操作。
常用的频率域增强方法有低通滤波和高通滤波。又由于图像的能量大部分集中在幅度谱的低频和中频度，而图像的边缘和噪声对应于高频部分。高通滤波是衰减或抑制低频分量，让高频的分量通过，其作用是使图像得到锐化处理，突出图像的边界。
一般情况下，高通滤波对噪声没有任何抑制作用，为了既加强图像的细节又抑制噪聲，可采用高频加强滤波。高斯高通滤波的产生公式为：
由于上述方程组是在假设位移较小的情况下得到的，而图像是以离散形式记录的，位移可能不够小，此时就需要用迭代的方法不断地对位移量进行修正[5]。
2 基于循环递归的RSD算法
RSD算法可以写为：
（1）初始值 X0任意 （1）
（2）Xk+1i=Xki+λHTi（Yi-Hi Xki） （2）
（3）X0i+1=X∞i，i=1，2，…，L （3）
其中Yi∈RM2×1表示第i帧采样图像，L为采样图像数，Hi∈RM2×N2表示与第i帧低分辨率图像相对应的观察矩阵，Hi=SHiCi。Xki表示使用第i帧低分辨率图像进行k次迭代后，高分辨率图像的估计值。式（2）表示对于当前输入的第帧低分辨率图像，我们使用最速下降迭代法求解高分辨率图像的估计，其中λ是迭代系数，表示对于下一帧输入的低分辨率图像，我们将上一帧迭代的结果作为其迭代的初始值。
设X*为方程（2）的正确解，Xk是第k次迭代的估计值，第k次迭代的误差为ek=X*-Xk，由（3）式得
ek+1=X*-Xk-λ HT（Y-HXk）=（I-λHTHi）e-λ
考虑到E[V]=0，平均迭代误差可以写成
E[ek+1]=（I-λ HTHi）k+E*[e0]
由于HT H满秩，可以选择λ使‖I-λ HTHi‖<1，从而式（3）收敛于X*。
因此RSD算法的迭代过程，可以看成是对误差空间不断进行正交投影的过程。由于正交投影满足‖Px‖≤‖x‖，所以在整个迭代的过程中误差矢量的范数只可能减少，而不会导致发散，所以RSD算法是收敛的。
3 小波变化分析
在有小波母函数伸缩和平移所展成的函数空间中，寻找对原图像的最佳逼近，用来完成原图像和噪声的区分。
由此可见，寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射是小波去噪方法，它可以得到原图像的最佳恢复。小波图像锐化就是把图像中尖锐的部分尽可能地提取出来，用于检测和识别等领域。它的任务是突出高频信息，抑制低频信息，从快速变化的成分中分离出标识系统特性或区分子系统边界的成分，以便进一步的识别、分割等操作。
使用小波方法进行高通滤波得到的高频结果比较纯粹，完全是原图像上的边缘信息，而使用小波方法，不仅只有高频成分，还有变换非常缓慢的低频成分，这是因为二者同样在小波系数上体现为绝对值较低的部分。
了较大提升。
参考文献：
[1]龚声蓉，刘纯平，赵勋杰，蒋德茂.数字图像处理与分析.清华大学出版社.2006
[2]刘榴娣，刘明奇，党长民.实用数字图像处理[M].北京理工大学出版社，1998.
[3]龚耀寰.自适应滤波器[M].北京：电子工业出版社，1989.
[4]邓记才，裴炳南.一种求解LMS算法收敛步长阈值的新方法[J].信号处理，1996，12（2）：52-56.
作者简介：
李鲜（1995.09-）女，汉族，身份证号：411324199509144222，本科生，河南省南阳市，研究方向：给排水科学与工程
李鹏洋（1996.11-）男，汉族，身份证号：410527199611260632，本科生，河南省安阳市，研究方向：给排水科学与工程