函数是中学数学的核心内容，它不仅与方程和不等式有着本质的内在联系，而且作为一种重要的思想方法，在所有内容当中都能够看到它的作用，这就决定了在高考当中的重要地位.函数的值域和最值是函数的重要内容之一,是高考中的必考内容.它涉及到函数的性质:单调性、奇偶性.以及数形结合的思想方法.本文将通过具体的问题,介绍处理函数值域应用的方法和策略,以帮助同学们提高解决这类问题的能力.
　　一、 给定函数解析式
　　对于函数解析式确定,已知值域求参数的问题,可以先求出这个函数的值域A,观察所给值域B与A的关系: BA,有时可以避免讨论.
　　例1已知函数f(x)=34x2-3x+4,若f(x)的定义域和值域均是［a,b］,求实数a和b的值.
　　解析:∵ f(x)=34(x-2)2+1对称轴是:x=2
　　当 x∈R时,f(x)的值域为［1, +∞)
　　∴ ［a,b］［1，+∞）∴ a≥1此时对称轴与区间的位置关系不确定
　　下面抓住对称轴与区间的位置关系讨论
　　① 当 a≥2时，函数f(x)在区间［a,b］上是单调递增函数
　　f(a)=a
　　f(b)=b解得a=43
　　b=4（舍去）
　　② 当a＜2＜b时,
　　f(x)min=f(2)=1=a
　　又f(1)=74＜2∴ f(x)max=f(b)=b解得b=4
　　∴ a=1,b=4
　　③当b≤2时函数f(x)在区间［a,b］上是单调递减函数
　　∴ f(a)=b
　　f(b)=a解得a=0
　　b=4（舍）或a=4
　　b=0（舍）
　　综上所述: a=1,b=4
　　例2已知函数f(x)=34x2-3x+5,若f(x)的定义域和值域均是［a,b］,求实数a和b的值.
　　解析: ∵ f(x)=34(x-2)2+2
　　对称轴是: x=2
　　当x∈R时,f(x)的值域为［2, +∞)
　　 ∴ ［a，b］［2，+∞）
　　此时对称轴与区间的位置关系确定,就无须讨论了函数f(x)在区间［a,b］上是单调递增函数
　　∴ f(a)=a
　　f(b)=b解得a=2
　　b=103
　　例2中就巧妙的运用了值域A与B的关系.
　　二、 函数解析式中含有参数,可转化为恒成立问题的.
　　例3已知函数f(x)=asinxcos2x+（a-6）sinx的最小值是-6,求实数a的值.
　　分析:这道题如果按照常规方法:化同名,换元,然后利用导数求最值.就很麻烦.我们注意到它有一个特殊性f(0)=-6,所以这题可转化为恒成立的问题来解决就简单方便了.
　　解析: f(x)=asinx（1-2sin2x）+(a-6)sinx=-2asin3x+（2a-6）sinx
　　换元令t=sinxt∈［-1，1］
　　则有 y=-2at3+(2a-6)tt∈［-1，1］
　　下面常规方法是先求函数y的最小值,但这样处理的过程中比较繁.
　　我们注意到当t=1时,y=-6
　　所以我们把该题等价转换为
　　当 t∈［-1，1］时, -2at3+（2a-6）t≥-6恒成立.
　　当t=-1或0或1时,上述不等式成立
　　当t∈（0，1）时
　　分离参数a得: a≥-3t2+t恒成立
　　∵ -3t2+t＜-32 ∴ a≤-32
　　当t∈（-1，0）时分离参数a得: a≤-3t2+t恒成立
　　∵ -3t2+t=-3t+122-14∴ 当t=-12时，-3t2+tmin=12.
　　∴ a≤12
　　综上所述: -32≤a≤12
　　三、 灵活运用函数求值域的方法
　　例4函数若f(x)=ax+1x2+c的值域为［-1,5］,求实数a,c的值.
　　分析:根据解析式的特点,先用判别式法.但化简整理后利用判别式得到一个关于的一个含参数的不等式,这时如果去解不等式就麻烦了,可结合条件利用一元二次不等式的解与对应一元二次方程的解之间的关系,进行等价转化.
　　解:令y=ax+1x2+c整理得到:yx2-ax+yc-1=0
　　∴ y≠0
　　Δ=a2-4y(yc-1)≥0得4cy2-4y-a2≤0
　　由题意可知: 4cy2-4y-a2≤0的解集是［-1,5］
　　∴ -1和5是方程 4cy2-4y-a2=0的两个实数根
　　∴ -1+5=1c
　　-1×5=-a24c解得 c=14
　　a=±5
　　数学的学习不是死记硬背,我们要善于归纳和总结,对于同一类题型,要善于发现它们的共性和个性,从而选择适当的方法,达到优化解题.“一个人到学校上学，不仅是为了取得一份知识的行囊，而主要是获得聪明，因此我们主要的智慧努力就不应用在记忆上，而应用在思考上去，所以真正的学校应是一个积极思考的王国，必须让学生生活在思考的世界里.”这是苏霍姆林斯基说过的话，是提高学生思维能力的重要途径，也应是我们每一个人民教师所奋斗的目标.
　　
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