[摘 要：n维二次曲面是n维空间中一类重要的几何实体，它的分类与度量性质在许多应用中扮演着重要角色，因此研究它的分类与度量性质至关重要。本文利用n维二次曲面方程系数矩阵的特征值与特征向量探讨了n维二次曲面的分类、中心与闭区域体积问题。这些探讨为今后指导教学和利用特征值与特征向量解决n维二次曲面分类与度量性质等问题奠定了一定的基础。
　　关键词：n维二次曲面；分类；度量性质；特征值；特征向量]
　　n维二次曲面的分类问题是一个古老的几何问题，它的度量性质是它在欧氏空间中的重要几何特征。二次型理论与矩阵特征理论的研究为n维二次曲面的分类迎来了春天，同时也为研究它的度量性质奠定了基础。
　　本文的组织结构如下：第1部分主要讨论二次曲线的分类与度量性质；第2部分中探讨了二次曲面的分类与度量性质；第3部分中简单介绍了一般n维二次曲面的分类与度量性质；最后，第4部分是对本文的总结。
　　1二次曲线的分类与度量性质
　　这一部分我们主要讨论二次曲线的分类、二次曲线的中心与椭圆的面积。
　　1.1二次曲线的分类
　　二次曲线是二维空间中一类重要的几何实体，在取定的直角坐标系下每条二次曲線对应一个二元二次方程。这样同一二次曲线在不同的坐标系下将对应于不同的二元二次方程，而标准位置的二次曲线对应的二元二次方程形式最简单，通过该方程容易确定二次曲线的类型以及获取二次曲线的一些几何性质，因此，在给定一条二次曲线对应的方程时，我们面临的一个主要任务是将该方程标准化。下面我们介绍一种利用二次曲线系数矩阵的特征值与特征向量实现二次曲线的标准化的方法。
　　在欧氏平面上，二次曲线的方程为：
　　证毕。
　　2二次曲面的分类与度量性质
　　我们在这一部分中主要讨论二次曲面的分类、二次曲面的中心与椭球的体积。
　　2.1二次曲面的分类与度量性质
　　二次曲面是三维空间中一类重要的几何实体，在取定的直角坐标系内每个二次曲面对应一个三元二次方程。这样同一二次曲面在不同的坐标系下将对应于不同的三元二次方程，而标准位置的二次曲面对应的三元二次方程形式最简单，通过该方程容易确定二次曲面的类型以及获取二次曲面的一些几何性质，因此，在给定一条二次曲面对应的方程时，我们面临的一个主要任务是将该方程标准化。下面我们介绍一种利用二次曲面系数矩阵的特征值与特征向量实现二次曲面的标准化的方法。
　　在欧氏平面上，二次曲面的方程为：
　　[x=Py] （2.4）
　　其中[y=y1，y2，y3T]，将（2.4）代入（2.2），有：
　　（2.15）表示的二次曲面退化为二次锥面。
　　情况二：当[λ1，λ2，λ3]有一个为零，这里不妨设[λ3=0]，（2.6）可化为：
　　其中，下文出现的[τ]与此相同。
　　（Ⅰ）当[bP3≠0]时，对（2.16）上的点[y]作平移变换，令：
　　[y=z C1] （2.17）
　　其中，则（2.16）可化为：
　　（2.20）表示的二次曲面为焦点在[Z3]轴的正半轴上的椭圆抛物面。
　　（3）当[λ1λ2<0]时，[λ1bP3]与[λ2bP3]异号，不妨取[λ1bP3<0]，则（2.18）可化为：
　　（2.21）表示的二次曲面为双曲抛物面。
　　（Ⅱ）当[bP3=0]时，对（2.16）上的点[y]作平移变换，令：
　　[y=z C2] （2.22）
　　其中，则（2.16）可化为：
　　（2.28）表示的二次曲面退化为两相交的实平面。
　　情况三：当[λ1，λ2，λ3]有两个为零，这里不妨设[λ1≠0]，（2.6）可化为：
　　其中[ζ=bP124λ1 d]。
　　（Ⅰ）当[bP2，bP3]不全为零时，不妨设[bP2≠0]。先对（2.29）上的点作平移变换，令：
　　[y=y C3] （2.30）
　　其中，则（2.29）可化为：
　　再对（2.31）上的点[y]作正交变换，令：
　　[y=Pz] （2.32）
　　[λ1z12 ρz2=ζ] （2.33）
　　[z=z C4] （2.34）
　　[z12=-ρλ1z2] （2.35）
　　（2.35）表示的二次曲面为抛物柱面。
　　（Ⅱ）当[bP2，bP3]全为零时，对（2.29）上的点[y]作平移变换，令：
　　[y=z C5] （2.36）
　　其中，则（2.29）可化为： 　　[z12=ζλ1] （2.37）
　　若[ζλ1>0]，则（2.37）表示一对实平行平面；若[ζλ1=0]，则（2.37）表示一对实重合平面；若[ζλ1<0]，则（2.37）表示一对共轭虚平行平面。
　　由于正交变换和平移变化保持图形的形状和几何尺度不变，因此（2.6）和（2.2）表示的曲面类型相同，至此我们通过二次曲面系数矩阵的特征值与特征向量实现了（2.2）所表示曲面的分类。
　　2.2二次曲面的中心
　　空间中的一个二次曲面是否有中心对研究二次曲面的度量性质至关重要。下面介绍一种利用二次曲面系数矩阵的特征值与特征向量确定二次曲面中心的方法。
　　命题2.1设欧氏平面上二次曲线的方程由（2.2）给出，则
　　（Ⅰ）当[λ1λ2λ3≠0]时，二次曲面（2.2）为有心二次曲面，它的中心坐标为：
　　且[b=0，0，0]时，该二次曲面的中心位于坐标原点。
　　（Ⅱ）当[λ1，λ2，λ3]有一個为零，不妨设[λ3=0]。若[P3TbT≠0，]则二次曲面（2.2）为无心二次曲面；若[P3TbT=0]，则二次曲面（2.2）为线心二次曲面。
　　（Ⅲ）当[λ1，λ2，λ3]有两个为零，不妨设[λ1≠0]。若[P2TbT，P3TbT]不全为零，则二次曲面（2.2）为无心二次曲面；若[P2TbT，P3TbT]全为零，则二次曲面（2.2）为面心二次曲面。
　　证明：设二次曲面的中心[C=x0，y0，z0T]，根据解析几何的知识有：
　　[AC=-12bT] （2.39）
　　将（2.3）代入（2.39），再两边同时左乘[PT]，有：
　　[
　　那么：
　　这里[i=1，2，3，]根据（2.48），有：
　　再由（2.53），亦有：
　　证毕。
　　3一般n（n>3）维二次曲面的分类与度量性质
　　这部分我们针对第1和第2部分的一般情况简要讨论，仅给出相关结论。
　　3.1n维椭球面
　　一般n维二次曲面是n维空间中一类重要的几何实体，在取定的直角坐标系下每个n维二次曲面对应一个n元二次方程。为了更好的研究n维二次曲面的度量性质，我们同样面临的一个主要任务是将该方程标准化。这里方程标准化的过程与1.1和2.1类似，只是复杂度更高。因此不再详细讨论n维二次曲面的分类问题，我们仅给出如何利用n维二次曲面方程的系数矩阵的特征值与特征向量判断的n维椭球面，并探讨与之相关的问题。
　　在欧氏平面上，使用矩阵工具将n维二次曲面的方程可写为：
　　[xTAx bx=d] （3.1）
　　（3.3）表示n维椭球面。由于正交变换和平移变换保持图形的形状和几何尺度不变，即此情况下（3.1）也表示n维椭球面。
　　3.2n维有心二次曲面
　　我们仅讨论有唯一中心的n维二次曲面的中心问题。
　　命题3.1设欧氏平面上二次曲线的方程由（3.1）给出，当[λ1λ2……λn≠0]时，n维二次曲面（3.1）有唯一中心，它的中心坐标为：
　　且[b=0，0，……，0]时，该n维二次曲面的中心位于坐标原点。
　　3.3n维椭球的体积
　　在分析学中n维椭球的体积可通过n重积分计算。下面我们介绍一种使用n维椭球面系数矩阵的特征值与特征向量计算n维椭球体积的方法。
　　命题3.2当n维二次曲面（3.1）为n维椭球面时，它所围区域的体积为：
　　[V=43πσnλ1λ2……λn] （3.5）
　　推论3.1当n维二次曲面（3.1）为中心在坐标原点的n维椭球面时，它所围区域的体积为：
　　[V=43πdnλ1λ2……λn] （3.6）
　　推论3.2当n维二次曲面（3.1）为n维球面时，它所围区域体积为：
　　也可表示为：
　　其中[i=1，2，3……，n]。
　　第3部分所涉及命题的证明可仿照第1和2中相关命题的证明完成，这里不再赘述。
　　4总结
　　在这篇论文中，我们主要讨论了如何通过n维二次曲面方程系数矩阵的特征值与特征向量实现n维二次曲面的分类、中心及封闭曲面所围区域体积。在二次曲线和二次曲面部分我们做了详细论述，对于一般n维二次曲面，由于相关结论的讨论思路与二次曲线和二次曲面类似，只是复杂度较高，因此仅给出了结论。
　　参考文献
　　[1]丘维声.简明线性代数[M].北京：北京大学出版社，2007.
　　[2]丘维声.解析几何，第2版[M].北京：北京大学出版社，1996.
　　[3]菲赫钦果里茨.微积分学教程[M].北京：高等教育出版社，1953.