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近年来,各省市在中考中加大了对统计与概率的考查力度,题型由单一的选择题､填空题攀升到分值较高的解答体和应用题,特别是图表信息类题目及具有时代气息的题目正逐步成为中考命题的热点.为此,本文详细分析了统计与概率这部分知识的考点,并略举几例考题进行分析,供同学们在复习时参考.
考点明晰
1. 能通过具体实际问题辨认总体､个体､样本､样本容量这4个基本概念.
2. 理解平均数､样本方差､样本标准差､中位数､众数本身所反映的实际意义,并且要掌握它们的计算方法,会用样本估计总体的思想方法解决此类实际应用题.
3.能够整理一组数据列出频率分布表,会画频率分布直方图,能根据所提供的信息补全频率分布表和频率分布直方图.
4. 掌握扇形､条形､折线统计图的画法,明确它们之间的关系,掌握它们各自的优点,特别要掌握如何从这些统计图中获取信息,再将所获得的信息应用到具体问题中.
5.能够利用概率知识解决现实中的实际问题.
考题精讲
★例1(2006年山东考题)某单位欲从单位内部招聘管理人员一名,对甲､乙､丙3名候选人进行了笔试和面试两项测试,3人的测试成绩如下表所示:
根据录用程序,组织200名职工对3人利用投票选举的方式进行民主评议,3人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如图1所示,每得1票记1分.
(1)请计算出3人的民主评议得分.
(2)如果根据3项测试的平均成绩录用人选,那么谁将被录用(精确到0.01)?
(3)根据实际需要,单位将笔试､面试､民主评议3项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?
分析:本题需要同学们运用所学统计知识,收集准确信息,结合实际要求,综合处理社会生活中的实际问题,作出合理判断.
解:依图形得甲:200×25%=50; 同理乙:200×40%=80; 丙:200×35%=70.
(2)甲的平均成绩为:(75+93+50)/3=72.67(分);
乙的平均成绩为:(80+70+80)/3=76.67(分);
丙的平均成绩为:(90+68+70)/3=76.00(分);
由于76.67＞76.00＞72.67,所以,候选人乙将被录用.
(3)如果将笔试､面试､民主评议3项测试成绩按4:3:3的比例确定个人成绩,那么甲的个人成绩为:（4×75+3×93+3×50）/（4+3+3）=72.9(分);
乙的个人成绩为:（4×80+3×70+3×80）/（4+3+3）=77(分);
丙的个人成绩为:（4×90+3×68+3×70）/（4+3+3）=77.4(分).
77.4＞77＞72.9,即丙的个人成绩最高,所以候选人丙将被单位录用.
★例2(2006年重庆考题)学习了统计知识后,班主任王老师让班长就本班同学的上学方式进行了一次调查统计.图2和图3是班长收集数据后,绘制的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,计算“步行”部分所对应的圆心角的度数.
(2)该班共有多少学生?
(3)在图2中,将表示“乘车”的部分补充完整.
分析:本题是扇形统计图和条形统计图共同反映的一个现实问题,两个图形所收集的信息可以互补.
解:(1)(1-20%-50%)×360°=108°.
(2)20÷50%=40(人).
(3)如图4所示,根据计算得出乘车人数为40-20-12=8(人).
★例3(2006年上海考题)某市在中心城市范围内,选取重点示范路口进行交通文明状况满意度调查,将调查结果的满意度分为:不满意､一般､较满意､满意和非常满意,依次以红､橙､黄､蓝､绿5色标识.今年5月发布的调查结果中,橙色和黄色标识路口之和占被调查总数的15%,结合未画完整的图5所示信息,回答下列问题:
(1)此次被调查的路口总数是___________.
(2)将图中绿色标识部分补画完整,并标上相应的路口数.
(3)此次被调查路口的满意度能够作为该市所有路口交通文明状况满意度的一个随机样本吗?
解:(1)因为调查结果中橙色与黄色标识路口数之和占被调查总数的15%,所以,结合图形提供的信息:(1+8)÷15%=60,即被调查路口总数为60.
(2)又根据图形所示绿色标识的路口数为:60-(1+8+41)=10,即可将图形补充完整.补图略.
(3)不可以,因为此次调查的都是重点示范路口,不具有代表性.
★例4(2006年南京考题)学校有A､B两个餐厅,甲､乙､丙3名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐:
(1)求甲､乙､丙3名学生在同一餐厅用餐的概率;
(2)求甲､乙､丙3名学生中至少有一个在B餐厅用餐的概率.
分析:所有可能出现的情况如右表:
(1)从上表中可以得出甲､乙､丙3名学生在同一个餐厅用餐的概率为1/4.
(2)甲､乙､丙3名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率是7/8.
★例5(2006年盐城考题)某中学为了了解某年级1200名学生每学期参加社会实践活动的时间,随机对该年级50名学生进行调查,结果如下表与图6:
(1)在这个统计中,众数是__________,中位数是_________.
(2)补全频率分布表和频率分布直方图.
(3)请你估算这所学校该年级的学生中,每学期参加实践活动时间不少于9天的人数约有多少人?
分析:此题考查同学们对中位数､众数的理解与求法以及用样本估计总体的思想方法.同时要知道各小组的频率之和为1,各小长方形面积等于该小组的频率,它们的和也是1,并能够根据所给的一些信息来补全频率分布表和频率分布图.
解:(1)根据定义可知,众数为11,中位数为11.
(2)频数:18, 因为50-6-14-9-3=18.
频率:0.28,因为1-0.06-0.18-0.36-0.12=0.28.
补全的频率分布直方图如图7所示.
(3)1200×(0.28+0.12)=480(人)
答:不少于9天的有大约480人.
★例6 (2006年苏州考题)如图8,电路图上有4个开关A､B､C､D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A､B､C都可使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关,小灯泡的发光概率为多少?
(2)任意闭合其中两个开关,请用树状图或列表法求出小灯泡发光的概率.
分析:本题就是利用概率知识,解决现实生活中的具体问题.
解:(1)很明显,任意闭合电路中的一个开关,小灯泡发光的概率为1/4.
(2)正确画出树状图如图9所示.
所以,任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使灯泡发光的情况有6种,小灯泡发光的概率为1/2.
★例7(2006年安徽考题)方案决策:两人要去某风景区游玩,每天某一时刻有3辆汽车开往该风景区(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序,两人采用了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第一辆车,而乙则是先观察后上车.当第一辆车开过来时,乙不上车,而是仔细观察车的舒适状况,如果第二辆车的状况比第一辆好,他就上第二辆;如果第二辆不比第一辆好,他就上第三辆.如果把这3辆车的舒适程度分为上､中､下三等,请尝试着解决下面的问题:(1)3辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?(2)你认为甲､乙两人采用的方案,哪一种方案使自已乘坐上等车的可能性大?为什么?
解:(1)3辆车开过来的先后顺序有6种可能:(上､中､下),(上､下､中),(中､上､下),(中､下､上),(下､上､中),(下､中､上).
(2)由于不知道任何信息,所以只能假定6种顺序出现的可能性相同,我们来研究在各种可能性的顺序下,甲､乙二人分别会上哪一辆车.(列表如下)
通过观察表格不难得出:甲乘上､中､下3辆车的概率都是1/3,而乙乘上等车的概率是1/2,乘中等车的概率是1/3,乘下等车的概率是1/6,所以乙采用的方案乘坐上等车的可能性大.
分析:这是一道概率应用题,第(1)小题通过罗列出3种不同顺序的所有可能结果不难求得;第(2)小题在第(1)小题的基础上借助于概率的定义来解决,假定6种顺序出现的可能性相同,通过列表得出甲乘坐上等车的概率为1/3,乙乘坐上等车的概率为1/2,从而得出结论:用乙采取的方案乘坐上等车的可能性大.解题关键是将乘坐上等车可能性的大小转化为比较概率的大小.
备考方略
统计与概率中的解题方法较多,有些是以公式出现的,如平均数､方差等,有些是以图表表现的,例如列表法､画频率分布直方图､条形图､扇形图､折线统计图､树状图等.在运用以上方法时,要理解各自的概念､定义,在运用这些概念､定义解决问题时,回归定义是统计初步的一种重要方法,如计算一组数据的中位数､方差､平均数等.
在具体的统计题中,往往是多个概念的组合体,因此,同学们在运用统计方法解题时,不仅要准确把握各个概念的定义,而且要准确把握这些概念之间的区别和联系.
当计算一组数据的平均数或方差时,由于数据太多或太大,计算时比较麻烦,应根据数据特点选择计算公式,这样,不仅节约时间,更能提高准确率.
中考预测
统计的思想方法,通过实验获得事件发生的频率在社会各个生产部门､商业活动和生活中应用十分广泛,因此这部分知识的考题也有增加的趋势,将成为中考的一大亮点.虽然其题型各有不同,但根据统计结果作出合理的判断和预测,根据问题查找相关资料､获得资料信息,体会统计对决策的作用,并用统计和概率知识解决一些实际问题仍是考查的重中之重.
★编辑/徐柏楠
考点明晰
1. 能通过具体实际问题辨认总体､个体､样本､样本容量这4个基本概念.
2. 理解平均数､样本方差､样本标准差､中位数､众数本身所反映的实际意义,并且要掌握它们的计算方法,会用样本估计总体的思想方法解决此类实际应用题.
3.能够整理一组数据列出频率分布表,会画频率分布直方图,能根据所提供的信息补全频率分布表和频率分布直方图.
4. 掌握扇形､条形､折线统计图的画法,明确它们之间的关系,掌握它们各自的优点,特别要掌握如何从这些统计图中获取信息,再将所获得的信息应用到具体问题中.
5.能够利用概率知识解决现实中的实际问题.
考题精讲
★例1(2006年山东考题)某单位欲从单位内部招聘管理人员一名,对甲､乙､丙3名候选人进行了笔试和面试两项测试,3人的测试成绩如下表所示:
根据录用程序,组织200名职工对3人利用投票选举的方式进行民主评议,3人得票率(没有弃权票,每位职工只能推荐1人)如图1所示,每得1票记1分.
(1)请计算出3人的民主评议得分.
(2)如果根据3项测试的平均成绩录用人选,那么谁将被录用(精确到0.01)?
(3)根据实际需要,单位将笔试､面试､民主评议3项测试得分按4:3:3的比例确定个人成绩,那么谁将被录用?
分析:本题需要同学们运用所学统计知识,收集准确信息,结合实际要求,综合处理社会生活中的实际问题,作出合理判断.
解:依图形得甲:200×25%=50; 同理乙:200×40%=80; 丙:200×35%=70.
(2)甲的平均成绩为:(75+93+50)/3=72.67(分);
乙的平均成绩为:(80+70+80)/3=76.67(分);
丙的平均成绩为:(90+68+70)/3=76.00(分);
由于76.67＞76.00＞72.67,所以,候选人乙将被录用.
(3)如果将笔试､面试､民主评议3项测试成绩按4:3:3的比例确定个人成绩,那么甲的个人成绩为:（4×75+3×93+3×50）/（4+3+3）=72.9(分);
乙的个人成绩为:（4×80+3×70+3×80）/（4+3+3）=77(分);
丙的个人成绩为:（4×90+3×68+3×70）/（4+3+3）=77.4(分).
77.4＞77＞72.9,即丙的个人成绩最高,所以候选人丙将被单位录用.
★例2(2006年重庆考题)学习了统计知识后,班主任王老师让班长就本班同学的上学方式进行了一次调查统计.图2和图3是班长收集数据后,绘制的两幅不完整的统计图,请你根据图中提供的信息,解答以下问题:
(1)在扇形统计图中,计算“步行”部分所对应的圆心角的度数.
(2)该班共有多少学生?
(3)在图2中,将表示“乘车”的部分补充完整.
分析:本题是扇形统计图和条形统计图共同反映的一个现实问题,两个图形所收集的信息可以互补.
解:(1)(1-20%-50%)×360°=108°.
(2)20÷50%=40(人).
(3)如图4所示,根据计算得出乘车人数为40-20-12=8(人).
★例3(2006年上海考题)某市在中心城市范围内,选取重点示范路口进行交通文明状况满意度调查,将调查结果的满意度分为:不满意､一般､较满意､满意和非常满意,依次以红､橙､黄､蓝､绿5色标识.今年5月发布的调查结果中,橙色和黄色标识路口之和占被调查总数的15%,结合未画完整的图5所示信息,回答下列问题:
(1)此次被调查的路口总数是___________.
(2)将图中绿色标识部分补画完整,并标上相应的路口数.
(3)此次被调查路口的满意度能够作为该市所有路口交通文明状况满意度的一个随机样本吗?
解:(1)因为调查结果中橙色与黄色标识路口数之和占被调查总数的15%,所以,结合图形提供的信息:(1+8)÷15%=60,即被调查路口总数为60.
(2)又根据图形所示绿色标识的路口数为:60-(1+8+41)=10,即可将图形补充完整.补图略.
(3)不可以,因为此次调查的都是重点示范路口,不具有代表性.
★例4(2006年南京考题)学校有A､B两个餐厅,甲､乙､丙3名学生各自随机选择其中一个餐厅用餐:
(1)求甲､乙､丙3名学生在同一餐厅用餐的概率;
(2)求甲､乙､丙3名学生中至少有一个在B餐厅用餐的概率.
分析:所有可能出现的情况如右表:
(1)从上表中可以得出甲､乙､丙3名学生在同一个餐厅用餐的概率为1/4.
(2)甲､乙､丙3名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率是7/8.
★例5(2006年盐城考题)某中学为了了解某年级1200名学生每学期参加社会实践活动的时间,随机对该年级50名学生进行调查,结果如下表与图6:
(1)在这个统计中,众数是__________,中位数是_________.
(2)补全频率分布表和频率分布直方图.
(3)请你估算这所学校该年级的学生中,每学期参加实践活动时间不少于9天的人数约有多少人?
分析:此题考查同学们对中位数､众数的理解与求法以及用样本估计总体的思想方法.同时要知道各小组的频率之和为1,各小长方形面积等于该小组的频率,它们的和也是1,并能够根据所给的一些信息来补全频率分布表和频率分布图.
解:(1)根据定义可知,众数为11,中位数为11.
(2)频数:18, 因为50-6-14-9-3=18.
频率:0.28,因为1-0.06-0.18-0.36-0.12=0.28.
补全的频率分布直方图如图7所示.
(3)1200×(0.28+0.12)=480(人)
答:不少于9天的有大约480人.
★例6 (2006年苏州考题)如图8,电路图上有4个开关A､B､C､D和一个小灯泡,闭合开关D或同时闭合开关A､B､C都可使小灯泡发光.
(1)任意闭合其中一个开关,小灯泡的发光概率为多少?
(2)任意闭合其中两个开关,请用树状图或列表法求出小灯泡发光的概率.
分析:本题就是利用概率知识,解决现实生活中的具体问题.
解:(1)很明显,任意闭合电路中的一个开关,小灯泡发光的概率为1/4.
(2)正确画出树状图如图9所示.
所以,任意闭合其中两个开关的情况共有12种,其中能使灯泡发光的情况有6种,小灯泡发光的概率为1/2.
★例7(2006年安徽考题)方案决策:两人要去某风景区游玩,每天某一时刻有3辆汽车开往该风景区(票价相同),但是他们不知道这些车的舒适程度,也不知道汽车开过来的顺序,两人采用了不同的乘车方案:甲无论如何总是上开来的第一辆车,而乙则是先观察后上车.当第一辆车开过来时,乙不上车,而是仔细观察车的舒适状况,如果第二辆车的状况比第一辆好,他就上第二辆;如果第二辆不比第一辆好,他就上第三辆.如果把这3辆车的舒适程度分为上､中､下三等,请尝试着解决下面的问题:(1)3辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能?(2)你认为甲､乙两人采用的方案,哪一种方案使自已乘坐上等车的可能性大?为什么?
解:(1)3辆车开过来的先后顺序有6种可能:(上､中､下),(上､下､中),(中､上､下),(中､下､上),(下､上､中),(下､中､上).
(2)由于不知道任何信息,所以只能假定6种顺序出现的可能性相同,我们来研究在各种可能性的顺序下,甲､乙二人分别会上哪一辆车.(列表如下)
通过观察表格不难得出:甲乘上､中､下3辆车的概率都是1/3,而乙乘上等车的概率是1/2,乘中等车的概率是1/3,乘下等车的概率是1/6,所以乙采用的方案乘坐上等车的可能性大.
分析:这是一道概率应用题,第(1)小题通过罗列出3种不同顺序的所有可能结果不难求得;第(2)小题在第(1)小题的基础上借助于概率的定义来解决,假定6种顺序出现的可能性相同,通过列表得出甲乘坐上等车的概率为1/3,乙乘坐上等车的概率为1/2,从而得出结论:用乙采取的方案乘坐上等车的可能性大.解题关键是将乘坐上等车可能性的大小转化为比较概率的大小.
备考方略
统计与概率中的解题方法较多,有些是以公式出现的,如平均数､方差等,有些是以图表表现的,例如列表法､画频率分布直方图､条形图､扇形图､折线统计图､树状图等.在运用以上方法时,要理解各自的概念､定义,在运用这些概念､定义解决问题时,回归定义是统计初步的一种重要方法,如计算一组数据的中位数､方差､平均数等.
在具体的统计题中,往往是多个概念的组合体,因此,同学们在运用统计方法解题时,不仅要准确把握各个概念的定义,而且要准确把握这些概念之间的区别和联系.
当计算一组数据的平均数或方差时,由于数据太多或太大,计算时比较麻烦,应根据数据特点选择计算公式,这样,不仅节约时间,更能提高准确率.
中考预测
统计的思想方法,通过实验获得事件发生的频率在社会各个生产部门､商业活动和生活中应用十分广泛,因此这部分知识的考题也有增加的趋势,将成为中考的一大亮点.虽然其题型各有不同,但根据统计结果作出合理的判断和预测,根据问题查找相关资料､获得资料信息,体会统计对决策的作用,并用统计和概率知识解决一些实际问题仍是考查的重中之重.
★编辑/徐柏楠