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【摘要】本文主要论述了师生相互信任协调配合,课堂上通过学生的动手,动脑,诱发学生思维,让学生思维不断碰撞,智慧火花不断闪现,以平等的师生关系探索数学问题,形成教师是导演,学生当演员的和谐课堂,这里把该节课的教程与师生互动整理成文,愿与同行商榷。
【关键词】课堂;椭圆
Lesson example 《oval standard square distance 》 ( a teach hour)
Meng Long
【Abstract】This text main discuss the teachers and the students are mutually trust moderate match, pass a begin of student on the classroom, use brains, induct student's thinking, let student's thinking continuously collision, intelligence spark continuously Shan now, with equal relation of teacher and pupil investigate mathematics problem, formation teacher is director, student be actor of harmony classroom, here pair of should the lectures of the stanza lesson and teachers and the students interaction sorting presentable, wish with go together company Que.
【Key words】Classroom;Oval
本课例是笔者所在学校实设施新课改中,于2009年12月19日在所教班级的一节课,其内容是椭圆的标准方程(第一教时),目标是:(1)学生经过画椭圆与定义构建过程,让学生体验探究式学习的喜悦,从而达到理解椭圆定义之目的;(2)在推导椭圆标准方程的过程中,培养求简意识,提高运算能力。掌握标准方程,感受数学的“美”;(3)培养学生团结合作友爱的探索精神。本节的重点是椭圆定义的构建与标准方程的推导。难点是推导标准方程。回顾本节教学自己认为成功之处是:师生相互信任协调配合,课堂上通过学生的动手,动脑,诱发学生思维,让学生思维不断碰撞,智慧火花不断闪现,以平等的师生关系探索数学问题,形成教师是导演,学生当演员的和谐课堂,这里把该节课的教程与师生互动整理成文,愿与同行商榷。
图1
1. 创设情景、导入新课
[教师演示]把圆柱形玻璃杯装半杯水,先让学生观察(图甲)的水面,然后斜放再观察(图乙)的水面。
[师](图甲)的水面图形是什么?(图乙)的水面图形是什么?
[生]图甲是“圆”。图乙是“椭圆”。
[师]还能列举出像图乙中椭圆几何图形的实例吗?
顿时学生你一言我一语地说:“家里的镜片是椭圆”;“早晨吃的鸡蛋是椭圆”;“建筑的装饰图案有椭圆形”;校园内的喷水池花圆是椭圆形……,多着呢!
[师]同学们列举了这么多实例,说明椭圆图形在我们生活中常见,而你们列举的装饰图案、镜片、以及校园内的喷水池花园等,都展示了椭圆这个几何图形的“美”,它给我们生活增添了“美”的感受。接下来用一根细绳和两颗图钉和同学们一道探求椭圆,揭开它神秘的面纱。(板书课题:椭圆的定义及其标准方程)
2. 画图体验,构建定义
图2
2.1画图导入。
[师]请同学们回顾,在研究“圆”这个几何图形中经过了哪几个程序呢?
[生2]经过画“圆”的感受得出“圆”的定义,由定义推得圆的标准方程。
[师]对!我们也用同样的程序研究椭圆,这里又请同学们思考,怎样画椭圆呢?
学生沉思片刻,感觉画椭圆不会,这时教师让学生把课前准备的白色纸板,细绳,两颗图钉,利用同桌或前后两桌分组合作,准备画图。
2.2画图指导。
[师]将细绳的两端用图钉固定在一点O处,用铅笔尖插在细绳之间,折成细绳的一半拉紧运动画出的是什么曲线呢?
通过学生的操作很快得出答案是“圆”。(教师把准备的细绳和图钉在小黑板上演示画出(图1)的圆。)
[师]把细绳长记为2a,那么这个圆的直径AB=?
顿时学生同时回答:“显然等于2a”
[师]对!请同学们在直径AB上取F1,F2两点,使它分别在圆心O点的两侧,又取|OF1|=|OF2| ,然后将细绳的两端用图钉固定在F1、F2处,用铅笔尖插在细绳之间拉紧运动,画出的又是什么曲线呢?(图1变图2)
课堂上学生在静静画图,时过片刻,不少学生高兴地说:“画出的是椭圆呢!”这时就抽一位学生到小黑板上的(图2)演示画出椭圆(图2变图3)
图3
[师]请同学们再回想刚才这位同学在作图中折线段F1MF2,哪些量是变的,哪些量是不变的呢?(沉思片刻有学生举手了)
[生3]我观察到了,MF1,MF2线段的长度在变,但|MF1|+|MF2|=2a,始终保持不变。(观察课堂学生,对[生3]的结论是赞同)
[师]这位同学答对了!接下来我们对画椭圆作进一步的探索。若在直径AB上另取F'1,F'2使F'1,F'2 分别在AF1,F2B线段上,又取|OF'1|=|OF'2| 将细绳两端固定在 F'1,F'2 处,画出的椭圆与第一个比较,有什么变化呢?
课堂上学生又静静地画图,时过数分钟,一位学生举手站起来说:“老师,我画的椭圆比第一个扁”,立即又抽这位学生在小黑板上画出第二个椭圆(图3变图4)
[师]请想一想,若将F'1,F'2分别越来越靠近A,B或靠近圆心O,椭圆有什么变化?当 F'1 与A。 F'2 与B分别重合,画出的又是什么曲线呢?
图4
学生在画图感悟,沉思问题,同学之间在相互探讨,时过数分钟,有学生说:“越靠近A,B椭圆越扁,越靠近圆心O椭圆越圆。当与A,B重合时,图形不是椭圆了,而是线段AB”.随着学生的回答,教师又借(图4)在小黑板上演示帮助学生领悟与确认。
[师]若 F'1,F'2分别在直径AB左右两方的延长线上,这样画出的又是什么曲线呢? 学生又在画图感受,时过片刻,都说这样的图画不出来。
[师]这说明当 |F1F2|>2a时,轨迹不存在对吗?
这时学生都肯定地说:“轨迹的确不存在”。
2.3定义构建。
[师]在画椭圆的过程中,同学们都表现得真棒!都在观察画图过程,揭示画图过程中椭圆的变化,这里又请同学们再思考,动点M应满足什么限制条件能保证运动的轨迹是椭圆呢?
[生4]只需动点M到两定点F1,F2的距离之和保持细绳长2a,这样运动的轨迹是椭圆。(生4回答刚完,立即一位学生要求补充)
[生5]老师,还应该补充细绳长2a>|F1F2| 。
[师]请讲一讲你补充的理由呢?
[生5]在刚刚的画图中, F1,F2重合在一点O处,画出的是圆;F1,F2与直径端点A.B分别重合
时,得到的是线段AB;当|F1F2| >2a 时,无轨迹;只有当绳长2a >|F1F2| >0 时画出的是椭圆。
[师]还有新的补充吗?
学生深思片刻,都示意没有新的补充,这时教师作最后小结。
[师]刚才这两位同学答得真棒!他们通过画椭圆图形的感悟,提练出构建椭圆轨迹的条件,事实上就是生4的叙述,生5的补充,归纳在一起就是我们巡求满足椭圆定义的条件,接下来就用规范的数学语言叙述。
多媒体显示椭圆定义:把平面内与到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a (这个常数大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两个焦点的距离叫椭圆的焦距。(为了帮助学生理解,教师作两点点拔:①因 F1,F2是两个定点,暗示 |F1F2|>0,②这个常数指的是细绳长 2a>|F1F2|)
3. 选择建系,推导方程
[师]同学们理解了椭圆的定义,我们又继续探求椭圆的标准方程。请同学们回想在探求圆的标准方程中又经历了哪些步骤呢?
[生6]经过建立坐标系,设点的坐标,由定义限制条件列出方程,然后化简整理就得标准方程。
[师]对!这位同学答出了推导圆的标准方程的步骤,归纳起来就是建系,设点,列式,化简四步。事实上这四个步骤就是求曲线方程的一般步骤。这里请同学们再回想,在求圆的标准方程中,要使推导出圆的标准方程最简。当时是怎样选择建系为最佳方案呢?依据是什么呢?
[生7]选择圆心为坐标原点,过圆心的两条互相垂直的对称轴建系,使得推导圆的标准方程是最简,主要依据了圆的对称性建系。
[师]这位同学答出了推导圆的标准方程的选择,但同学们深知建立坐标系选择方案不同(即圆心位置不同),推导出圆的标准方程表达的简洁形式不同。事实上[生7]叙述的是最佳方案,他抓住了两点:①以圆的对称中心(圆心)为坐标原点。②两条互相垂直的对称轴分别为坐标轴。这样建系是推导圆的标准方程最简的最佳方案,这就是“圆”这章总结的“抓住几何图形的对称性建系”。这里请同学们再思考,要使推导椭圆标准方程最简又准备选择怎样的方案建系呢?(这时教师把小黑板上的图4擦掉一部分,保留一个椭圆和焦点F1, F2 (图4变图5) 问题提出后,学生又在思索、琢磨椭圆建系方案,观察课堂。同学们在争论,但又充满着浓浓的合作,都想尽早把最佳方案找出来。时过数分钟,有一个组的学生举手了。
图5
[生8]老师,我们组发现了新大陆,“椭圆”与“圆”一样是中心对称图形,又是轴对称图形,对称中心是F1、F2的中点O,对称轴是F1F2直线和F1F2线段的中垂线。(教师跟随学生的回答,用直尺画图,图5变图6)
[师](生8)这组发现了“椭圆”的对称性,请同学们用旋转或翻折像验证“圆”的对称性那样来验证“椭圆”,看是否满足对称条件呢?
顿时课堂上各组学生又在进行操作验证,很快学生对椭圆的
对称性作出了肯定。
[师]请同学们再想,椭圆除了这两条对称轴,还存在第三条对
称轴吗?
学生沉思片刻都肯定地说:没有第三条了。
[师]对!没有第三条了,那么椭圆的建系该有答案了吗?
[生9]我认为就是以椭圆的对称中心为原点,以两条相互垂直
的对称轴为坐标轴,这样建系为最佳方案。
[师](生9)找到了椭圆建系的方案,又请同学们思考有
几种这样的方案供选呢?(让学生观察图6)
学生又在静静思考,沉思片刻,争论声逐渐大起来,大部分
学生都认为只有一种方案,课堂上学生对问题是议论纷纷。
这时平时成绩不很好的一位学生小声说:“老师,有两种”我立
即鼓励,让他大胆一点,讲出自己的想法。
[生10]老师,你在小黑板上画出了椭圆的对称轴,但我感觉很奇怪,建系为什么不取方向呢?我琢磨一阵,就想到了把小黑板横放,竖放就得出两种方案。
(教师随着学生的回答作演示,横放图6,竖放图7,此时班上的议论声音静了下来。)
[师]这位同学值得表扬,他很会动脑筋,把小黑板上的椭圆横放,竖放就得出两种建系方案,请同学们再思考还有第三种方案吗?
我的话音刚落,[生11]又接着说:“没有,因椭圆只有两条互相垂直的对称轴,由几何图形的对称性建系,不会出现第三种了,否则就不是最佳。”(顿时,全班学生鼓掌赞同。此时又抓住时机把两种方案画在黑板上如下图)
[师]同学们通过充分的争论都肯定了只有黑板上两种建系的最佳方案,事实上方案一是揭示椭圆中心在原点焦点在X轴上,方案二是揭示椭圆中心在原点,焦点在Y轴上。我们到现在为止就完成了椭圆的建 系,为了探求问题的方便,接下来我们先探求方案一,再探求方案二的方程。这里把焦距视为2C(即 |F1F2|=2C)。请同学们想一想方案一又怎样设点与列式呢?
图6图7
[生11]由于方案一的椭圆焦点在X轴上,而焦距为2C,由对称性得F1(-c.o)F2(c.o)设椭圆上一动点M(x.y),由定义式:|MF1|+|MF2|=2a ,列式得方程 (x+c)2+y2+ (x-c)2+y2=2a
[师](生12)完成了设点、列式,得出了符合条件的方程,请同学们观察上述方程是否最简呢?
顿时学生同时回答:“不是,因方程左边含有两个根式”。
图8
[师]对!事实上这个方程已经是椭圆方程了,但它不符合数学简洁美的特点,因此需要化简,由于方程左边是两个根式的和,为了顺利去掉根式,就需要把左边的根式移动一个到右边。(以下师生一同完成。教师板书化简过程)
移项:(x+c)2+y2=2a- (x-c)2+y2
两边平方: (x+c)2+y2=4a2-4a (x-c)2+y2+(x+c)2+y2
整理得: a2-cx=a (x-c)2+y2
(师:此式平方后虽然去掉一个根式,但还存在根式,还需进行第二次平方)
两边再次平方得: a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
整理得: (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
由 a>b>0得a2(a2-c2) >0,上式两边同除 a2(a2-c2) 得x2a2+y2a2-c2=1:
[小结化简过程](x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a 移项得: (x+c)2+y2=2a- (x-c)2+y2
第一次平方整理得: a2-cx=a(x-c)2+y2第二次平方整理得:x2a2+y2a2-c2=1(1)
[师]刚才我们对方程进行了化简并小结了化简过程,接下来请同学们先观察小黑板上(图8)的方案一再思考 a2-c2的几何意义?(教师在图6上演示启迪学生思维)
[生12]在画图中,当动点M运动到了Y轴上时
就得 |MF1|=|MF2|由 |MF1|+|MF2|=2a
就得 |MF1|=|MF2|=a,又|F1O|=|F2O|=c,在 RtMOF2
中得a2-c2=|MO| 2。
[师]对!这说明此时 |MO|是一个定值,若设|MO|=b
就可得a2-c2=b2 ,代入(1)那么方程(1)变为 x2a2+y2b2=1,
对吗?顿时学生齐声回答:“可以这样做。”
[师]在上述化简过程中,把 a2-c2=b2 代入(1)式得 x2a2+y2b2=1 是数学美学中的补美思想,它让椭圆方程达到最简形式,也是我们方程化简中追求简洁美的最高境界,由此我们就探求出了方案一的椭圆标准方程。接下来,请同学们思考方案二,又怎样设点与列式呢?
[生13]因为方案二的椭圆中心在原点,焦点在Y轴上焦距为2C,由此得F1(0,c) ,F2(0,-c),再设M(x.y)是椭圆上一动点,由定义列式|MF1|+|MF2|=2a:得
(y+c)2+x2 +(y-c)2+x2 (3)
(教师把学生的口述作简略板书)
[师](生13)通过设点,列式得到方案二的椭圆方程(3),接下来就请同学们用方案一的方法对方程(3)化简课堂上,让学生分组合作,激励学生用最短的时间得出答案,时过5分钟,有一个组的学生举手了。
[生14]老师!我们组化简的结果是x2b2+ y2a2=1(利用投景仪把化简过程展示给学生审视(略))
[师]我们得出了方案一、二的椭圆方程,接下来把这两个方程对比作进一步的认识(教师引导学生作对比理解,并作简略板书)
(板书):方案一:中心在原点,焦点在X轴,方程: x2a2+ y2b2=1(a>b>0 ,a2=b2+c2)
特点: x2项的分母 a2大于 y2项的分母 b2
方案二,中心在原点,焦点在Y轴,方程:x2b2+ y2a2=1( a>b>0,a2=b2+c2)
特点: y2项的分母 a2大于 x2项的分母 b2
4. 练习巩固,归纳小结
[多媒体显示]判断下列方程的焦点位置,并求焦点坐标
(1)x216+y29=1 (2)25x2+16y2=400(3) x2m+y2n =1 (m>n>0)
[师]请同学们自己完成,看哪位同学最先得出解答?(大约时过3分钟有学生举手站起来)
[生16]在方程(1)中因为 x2项的分母16大于y2 项 的分母9,所以焦点在X轴上是属于方案一,而c=a2-b2= 16-9=7,焦点F1(-7,0) ,F2(7,0)。
方程(2)中整理可得 x216+y29=1,由 的分母25大于 x2项的分母16,焦点在y轴上属方案二,因为c=a2-b2= 25-16,所以焦点F1(0,3) ,F2(0,-3)
对方程(3)x2m+y2n =1 (m>n>0) ,焦点在x轴上,c= m-n,
所以焦点坐标为 F1(-m-n,0),F2(m-n,0)
(教师把(生16)的解答用投影仪展示给学生审视)
[师]通过同学们对(生16)的解答审视,都认为结论是正确的,这说明理解了本节的内容,接下来对本节课作如下小结:
引导学生归纳,教师完善,多媒体逐一显示表格内容)
布置完作业后,学生有的在做作业,有的在静静地完善笔记,当他们收获完美妙的硕果时,此时下课铃声响了。
收稿日期:2010-02-14
【关键词】课堂;椭圆
Lesson example 《oval standard square distance 》 ( a teach hour)
Meng Long
【Abstract】This text main discuss the teachers and the students are mutually trust moderate match, pass a begin of student on the classroom, use brains, induct student's thinking, let student's thinking continuously collision, intelligence spark continuously Shan now, with equal relation of teacher and pupil investigate mathematics problem, formation teacher is director, student be actor of harmony classroom, here pair of should the lectures of the stanza lesson and teachers and the students interaction sorting presentable, wish with go together company Que.
【Key words】Classroom;Oval
本课例是笔者所在学校实设施新课改中,于2009年12月19日在所教班级的一节课,其内容是椭圆的标准方程(第一教时),目标是:(1)学生经过画椭圆与定义构建过程,让学生体验探究式学习的喜悦,从而达到理解椭圆定义之目的;(2)在推导椭圆标准方程的过程中,培养求简意识,提高运算能力。掌握标准方程,感受数学的“美”;(3)培养学生团结合作友爱的探索精神。本节的重点是椭圆定义的构建与标准方程的推导。难点是推导标准方程。回顾本节教学自己认为成功之处是:师生相互信任协调配合,课堂上通过学生的动手,动脑,诱发学生思维,让学生思维不断碰撞,智慧火花不断闪现,以平等的师生关系探索数学问题,形成教师是导演,学生当演员的和谐课堂,这里把该节课的教程与师生互动整理成文,愿与同行商榷。
图1
1. 创设情景、导入新课
[教师演示]把圆柱形玻璃杯装半杯水,先让学生观察(图甲)的水面,然后斜放再观察(图乙)的水面。
[师](图甲)的水面图形是什么?(图乙)的水面图形是什么?
[生]图甲是“圆”。图乙是“椭圆”。
[师]还能列举出像图乙中椭圆几何图形的实例吗?
顿时学生你一言我一语地说:“家里的镜片是椭圆”;“早晨吃的鸡蛋是椭圆”;“建筑的装饰图案有椭圆形”;校园内的喷水池花圆是椭圆形……,多着呢!
[师]同学们列举了这么多实例,说明椭圆图形在我们生活中常见,而你们列举的装饰图案、镜片、以及校园内的喷水池花园等,都展示了椭圆这个几何图形的“美”,它给我们生活增添了“美”的感受。接下来用一根细绳和两颗图钉和同学们一道探求椭圆,揭开它神秘的面纱。(板书课题:椭圆的定义及其标准方程)
2. 画图体验,构建定义
图2
2.1画图导入。
[师]请同学们回顾,在研究“圆”这个几何图形中经过了哪几个程序呢?
[生2]经过画“圆”的感受得出“圆”的定义,由定义推得圆的标准方程。
[师]对!我们也用同样的程序研究椭圆,这里又请同学们思考,怎样画椭圆呢?
学生沉思片刻,感觉画椭圆不会,这时教师让学生把课前准备的白色纸板,细绳,两颗图钉,利用同桌或前后两桌分组合作,准备画图。
2.2画图指导。
[师]将细绳的两端用图钉固定在一点O处,用铅笔尖插在细绳之间,折成细绳的一半拉紧运动画出的是什么曲线呢?
通过学生的操作很快得出答案是“圆”。(教师把准备的细绳和图钉在小黑板上演示画出(图1)的圆。)
[师]把细绳长记为2a,那么这个圆的直径AB=?
顿时学生同时回答:“显然等于2a”
[师]对!请同学们在直径AB上取F1,F2两点,使它分别在圆心O点的两侧,又取|OF1|=|OF2| ,然后将细绳的两端用图钉固定在F1、F2处,用铅笔尖插在细绳之间拉紧运动,画出的又是什么曲线呢?(图1变图2)
课堂上学生在静静画图,时过片刻,不少学生高兴地说:“画出的是椭圆呢!”这时就抽一位学生到小黑板上的(图2)演示画出椭圆(图2变图3)
图3
[师]请同学们再回想刚才这位同学在作图中折线段F1MF2,哪些量是变的,哪些量是不变的呢?(沉思片刻有学生举手了)
[生3]我观察到了,MF1,MF2线段的长度在变,但|MF1|+|MF2|=2a,始终保持不变。(观察课堂学生,对[生3]的结论是赞同)
[师]这位同学答对了!接下来我们对画椭圆作进一步的探索。若在直径AB上另取F'1,F'2使F'1,F'2 分别在AF1,F2B线段上,又取|OF'1|=|OF'2| 将细绳两端固定在 F'1,F'2 处,画出的椭圆与第一个比较,有什么变化呢?
课堂上学生又静静地画图,时过数分钟,一位学生举手站起来说:“老师,我画的椭圆比第一个扁”,立即又抽这位学生在小黑板上画出第二个椭圆(图3变图4)
[师]请想一想,若将F'1,F'2分别越来越靠近A,B或靠近圆心O,椭圆有什么变化?当 F'1 与A。 F'2 与B分别重合,画出的又是什么曲线呢?
图4
学生在画图感悟,沉思问题,同学之间在相互探讨,时过数分钟,有学生说:“越靠近A,B椭圆越扁,越靠近圆心O椭圆越圆。当与A,B重合时,图形不是椭圆了,而是线段AB”.随着学生的回答,教师又借(图4)在小黑板上演示帮助学生领悟与确认。
[师]若 F'1,F'2分别在直径AB左右两方的延长线上,这样画出的又是什么曲线呢? 学生又在画图感受,时过片刻,都说这样的图画不出来。
[师]这说明当 |F1F2|>2a时,轨迹不存在对吗?
这时学生都肯定地说:“轨迹的确不存在”。
2.3定义构建。
[师]在画椭圆的过程中,同学们都表现得真棒!都在观察画图过程,揭示画图过程中椭圆的变化,这里又请同学们再思考,动点M应满足什么限制条件能保证运动的轨迹是椭圆呢?
[生4]只需动点M到两定点F1,F2的距离之和保持细绳长2a,这样运动的轨迹是椭圆。(生4回答刚完,立即一位学生要求补充)
[生5]老师,还应该补充细绳长2a>|F1F2| 。
[师]请讲一讲你补充的理由呢?
[生5]在刚刚的画图中, F1,F2重合在一点O处,画出的是圆;F1,F2与直径端点A.B分别重合
时,得到的是线段AB;当|F1F2| >2a 时,无轨迹;只有当绳长2a >|F1F2| >0 时画出的是椭圆。
[师]还有新的补充吗?
学生深思片刻,都示意没有新的补充,这时教师作最后小结。
[师]刚才这两位同学答得真棒!他们通过画椭圆图形的感悟,提练出构建椭圆轨迹的条件,事实上就是生4的叙述,生5的补充,归纳在一起就是我们巡求满足椭圆定义的条件,接下来就用规范的数学语言叙述。
多媒体显示椭圆定义:把平面内与到两个定点F1,F2的距离之和等于常数2a (这个常数大于 |F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫椭圆的焦点,两个焦点的距离叫椭圆的焦距。(为了帮助学生理解,教师作两点点拔:①因 F1,F2是两个定点,暗示 |F1F2|>0,②这个常数指的是细绳长 2a>|F1F2|)
3. 选择建系,推导方程
[师]同学们理解了椭圆的定义,我们又继续探求椭圆的标准方程。请同学们回想在探求圆的标准方程中又经历了哪些步骤呢?
[生6]经过建立坐标系,设点的坐标,由定义限制条件列出方程,然后化简整理就得标准方程。
[师]对!这位同学答出了推导圆的标准方程的步骤,归纳起来就是建系,设点,列式,化简四步。事实上这四个步骤就是求曲线方程的一般步骤。这里请同学们再回想,在求圆的标准方程中,要使推导出圆的标准方程最简。当时是怎样选择建系为最佳方案呢?依据是什么呢?
[生7]选择圆心为坐标原点,过圆心的两条互相垂直的对称轴建系,使得推导圆的标准方程是最简,主要依据了圆的对称性建系。
[师]这位同学答出了推导圆的标准方程的选择,但同学们深知建立坐标系选择方案不同(即圆心位置不同),推导出圆的标准方程表达的简洁形式不同。事实上[生7]叙述的是最佳方案,他抓住了两点:①以圆的对称中心(圆心)为坐标原点。②两条互相垂直的对称轴分别为坐标轴。这样建系是推导圆的标准方程最简的最佳方案,这就是“圆”这章总结的“抓住几何图形的对称性建系”。这里请同学们再思考,要使推导椭圆标准方程最简又准备选择怎样的方案建系呢?(这时教师把小黑板上的图4擦掉一部分,保留一个椭圆和焦点F1, F2 (图4变图5) 问题提出后,学生又在思索、琢磨椭圆建系方案,观察课堂。同学们在争论,但又充满着浓浓的合作,都想尽早把最佳方案找出来。时过数分钟,有一个组的学生举手了。
图5
[生8]老师,我们组发现了新大陆,“椭圆”与“圆”一样是中心对称图形,又是轴对称图形,对称中心是F1、F2的中点O,对称轴是F1F2直线和F1F2线段的中垂线。(教师跟随学生的回答,用直尺画图,图5变图6)
[师](生8)这组发现了“椭圆”的对称性,请同学们用旋转或翻折像验证“圆”的对称性那样来验证“椭圆”,看是否满足对称条件呢?
顿时课堂上各组学生又在进行操作验证,很快学生对椭圆的
对称性作出了肯定。
[师]请同学们再想,椭圆除了这两条对称轴,还存在第三条对
称轴吗?
学生沉思片刻都肯定地说:没有第三条了。
[师]对!没有第三条了,那么椭圆的建系该有答案了吗?
[生9]我认为就是以椭圆的对称中心为原点,以两条相互垂直
的对称轴为坐标轴,这样建系为最佳方案。
[师](生9)找到了椭圆建系的方案,又请同学们思考有
几种这样的方案供选呢?(让学生观察图6)
学生又在静静思考,沉思片刻,争论声逐渐大起来,大部分
学生都认为只有一种方案,课堂上学生对问题是议论纷纷。
这时平时成绩不很好的一位学生小声说:“老师,有两种”我立
即鼓励,让他大胆一点,讲出自己的想法。
[生10]老师,你在小黑板上画出了椭圆的对称轴,但我感觉很奇怪,建系为什么不取方向呢?我琢磨一阵,就想到了把小黑板横放,竖放就得出两种方案。
(教师随着学生的回答作演示,横放图6,竖放图7,此时班上的议论声音静了下来。)
[师]这位同学值得表扬,他很会动脑筋,把小黑板上的椭圆横放,竖放就得出两种建系方案,请同学们再思考还有第三种方案吗?
我的话音刚落,[生11]又接着说:“没有,因椭圆只有两条互相垂直的对称轴,由几何图形的对称性建系,不会出现第三种了,否则就不是最佳。”(顿时,全班学生鼓掌赞同。此时又抓住时机把两种方案画在黑板上如下图)
[师]同学们通过充分的争论都肯定了只有黑板上两种建系的最佳方案,事实上方案一是揭示椭圆中心在原点焦点在X轴上,方案二是揭示椭圆中心在原点,焦点在Y轴上。我们到现在为止就完成了椭圆的建 系,为了探求问题的方便,接下来我们先探求方案一,再探求方案二的方程。这里把焦距视为2C(即 |F1F2|=2C)。请同学们想一想方案一又怎样设点与列式呢?
图6图7
[生11]由于方案一的椭圆焦点在X轴上,而焦距为2C,由对称性得F1(-c.o)F2(c.o)设椭圆上一动点M(x.y),由定义式:|MF1|+|MF2|=2a ,列式得方程 (x+c)2+y2+ (x-c)2+y2=2a
[师](生12)完成了设点、列式,得出了符合条件的方程,请同学们观察上述方程是否最简呢?
顿时学生同时回答:“不是,因方程左边含有两个根式”。
图8
[师]对!事实上这个方程已经是椭圆方程了,但它不符合数学简洁美的特点,因此需要化简,由于方程左边是两个根式的和,为了顺利去掉根式,就需要把左边的根式移动一个到右边。(以下师生一同完成。教师板书化简过程)
移项:(x+c)2+y2=2a- (x-c)2+y2
两边平方: (x+c)2+y2=4a2-4a (x-c)2+y2+(x+c)2+y2
整理得: a2-cx=a (x-c)2+y2
(师:此式平方后虽然去掉一个根式,但还存在根式,还需进行第二次平方)
两边再次平方得: a4-2a2cx+c2x2=a2(x-c)2+a2y2
整理得: (a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
由 a>b>0得a2(a2-c2) >0,上式两边同除 a2(a2-c2) 得x2a2+y2a2-c2=1:
[小结化简过程](x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a 移项得: (x+c)2+y2=2a- (x-c)2+y2
第一次平方整理得: a2-cx=a(x-c)2+y2第二次平方整理得:x2a2+y2a2-c2=1(1)
[师]刚才我们对方程进行了化简并小结了化简过程,接下来请同学们先观察小黑板上(图8)的方案一再思考 a2-c2的几何意义?(教师在图6上演示启迪学生思维)
[生12]在画图中,当动点M运动到了Y轴上时
就得 |MF1|=|MF2|由 |MF1|+|MF2|=2a
就得 |MF1|=|MF2|=a,又|F1O|=|F2O|=c,在 RtMOF2
中得a2-c2=|MO| 2。
[师]对!这说明此时 |MO|是一个定值,若设|MO|=b
就可得a2-c2=b2 ,代入(1)那么方程(1)变为 x2a2+y2b2=1,
对吗?顿时学生齐声回答:“可以这样做。”
[师]在上述化简过程中,把 a2-c2=b2 代入(1)式得 x2a2+y2b2=1 是数学美学中的补美思想,它让椭圆方程达到最简形式,也是我们方程化简中追求简洁美的最高境界,由此我们就探求出了方案一的椭圆标准方程。接下来,请同学们思考方案二,又怎样设点与列式呢?
[生13]因为方案二的椭圆中心在原点,焦点在Y轴上焦距为2C,由此得F1(0,c) ,F2(0,-c),再设M(x.y)是椭圆上一动点,由定义列式|MF1|+|MF2|=2a:得
(y+c)2+x2 +(y-c)2+x2 (3)
(教师把学生的口述作简略板书)
[师](生13)通过设点,列式得到方案二的椭圆方程(3),接下来就请同学们用方案一的方法对方程(3)化简课堂上,让学生分组合作,激励学生用最短的时间得出答案,时过5分钟,有一个组的学生举手了。
[生14]老师!我们组化简的结果是x2b2+ y2a2=1(利用投景仪把化简过程展示给学生审视(略))
[师]我们得出了方案一、二的椭圆方程,接下来把这两个方程对比作进一步的认识(教师引导学生作对比理解,并作简略板书)
(板书):方案一:中心在原点,焦点在X轴,方程: x2a2+ y2b2=1(a>b>0 ,a2=b2+c2)
特点: x2项的分母 a2大于 y2项的分母 b2
方案二,中心在原点,焦点在Y轴,方程:x2b2+ y2a2=1( a>b>0,a2=b2+c2)
特点: y2项的分母 a2大于 x2项的分母 b2
4. 练习巩固,归纳小结
[多媒体显示]判断下列方程的焦点位置,并求焦点坐标
(1)x216+y29=1 (2)25x2+16y2=400(3) x2m+y2n =1 (m>n>0)
[师]请同学们自己完成,看哪位同学最先得出解答?(大约时过3分钟有学生举手站起来)
[生16]在方程(1)中因为 x2项的分母16大于y2 项 的分母9,所以焦点在X轴上是属于方案一,而c=a2-b2= 16-9=7,焦点F1(-7,0) ,F2(7,0)。
方程(2)中整理可得 x216+y29=1,由 的分母25大于 x2项的分母16,焦点在y轴上属方案二,因为c=a2-b2= 25-16,所以焦点F1(0,3) ,F2(0,-3)
对方程(3)x2m+y2n =1 (m>n>0) ,焦点在x轴上,c= m-n,
所以焦点坐标为 F1(-m-n,0),F2(m-n,0)
(教师把(生16)的解答用投影仪展示给学生审视)
[师]通过同学们对(生16)的解答审视,都认为结论是正确的,这说明理解了本节的内容,接下来对本节课作如下小结:
引导学生归纳,教师完善,多媒体逐一显示表格内容)
布置完作业后,学生有的在做作业,有的在静静地完善笔记,当他们收获完美妙的硕果时,此时下课铃声响了。
收稿日期:2010-02-14