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（西南交通大学力学与工程学院，四川 成都 610031）
摘 要：基于实验结果，提出子弹在撞击墩子端面处的瞬间，T 型杆的连接端面处满足应变相容关系的假定，基于此，应用应力波在端面处的传播性质，通 过理论分析解释了实测的应力波波形前后不一致现象，并给出了解决方案。使用ANSYS-LSDY NA有限元程序数值模拟了子弹撞击端面的过程，模拟的端面应力波幅值和实验实测幅值吻合 ，同时证实了假定的合理性和解决方案的可行性，并进一步得出应力波幅值和子弹的速度和 横截面积呈线性关系。
关键词：应力波；Hopkinson杆；数值模拟
Propagation of Stress Wave at End of
T-type Bar Impacted by Bullet
and Its Numeric Simulation
WANG Ting-hui,LIU Xiao-ling,CHEN Xiao-an,HOU Yan-hui
(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong Univer sity, Chengdu Sichuan 610031, China)
Abstract:Based on the expe riment result, the supposition was proposed that the strain at the end of T-ty pe
bar impacted by bullet satisfies coordinative relations. Using the supposition
and the relation of propagation of stress, the variance of the stress wave shape
can be explained and the solution also given. The process of propagation of str ess at end of T-type bar impacted by bullet was simulated by using ANSYS-LSDY NA.
The numeric simulation results of amplitude of stress at end of T-type bar wer e
in good agreement with the experimental results, and the rationality of the sup position and feasibility of the solution were validated. The relations of the am plitude of stress wave with the velocity of bullet and cross sectional area of t he bullet were approximately linear.
Key words:stress wave; Hopkinson bar; numeric simulation
目前，传统的SHPB实验技术已经非常成熟，并不断的发展改进以适应特殊材料和特殊加载条 件的需要［1-2］。采用子弹撞击T型杆的端部直接在杆中获得拉伸应力波是获得高 质量拉伸应力波的好方法，较之采用SHPB二次反射拉伸获得的波形有明显改善。因此作者实 验室已经成功开发出分离式的HOPKINSON拉杆设备［3］并开展了一定实验研究［ 4-5］，就是采用直接撞击获得拉伸波信号。由于应力波在变截面处的透射反射特性，和 实验中出现的特殊现象，有必要弄清子弹撞击T型杆端面处的应力波传播情况。
本文基于实验实测信号，提出子弹在撞击墩子端面处的瞬间，T型杆的连接端面处满足应变 相容关系假设，在此基础上，应用应力波在一维杆中的传播性质解释了实验中出现的应力波后半部分近似2倍于前半部分这个 规律，并给出了解决方案。同时使用ANSYS-LSDYNA有限元程序数值模拟了子弹撞击端面的过 程，模拟的端面应力波幅值和实验实测幅值吻合，同时证实了假定的合理性和解决方案的可 行性，并进一步得出应力波幅值和子弹速度与横截面积呈线性关系。1 实验简化 模型和测试结果T型杆作为入射杆，空心圆筒子弹在入射杆上加速滑行撞击端面，直接产生传播方向与子弹 运动方向相反的拉伸应力波（见图1），产生弹速为25 m/s时的测拉伸波 信号（见图2）。
图1 T型杆结构简化模型
图2 实测拉伸波形状
由图1可知，子弹在入射杆上高速向右滑动，撞击墩子的A端面，在入射杆中形成向左传播的 拉伸波（见图2的前半部分），而在墩子内则形成向右传播的压缩波。压缩波到达B端面时全 部反射回来形成向左传播的拉伸波，拉伸波到达A端面时，部分反射形成向右传播的压缩波 ，部分透射到入射杆中形成透射拉伸波（见图2的后半部分）。而在子弹内首先形成向左传 播的压缩波，当子弹的左端面反射回来形成向右传播的拉伸波到达子弹的右端面时，子弹和 墩子分离，载荷卸载，应力波的宽度确定，即T=2 L/C0,C0为材料的弹 性波速。
根据应力波在一维杆中的传播性质，在子弹和墩子材料相同，长度一致的情况下，直接拉伸 应力波和透射应力波一前一后能很好的连接起来，起到增加2倍波宽的作用，使该设备的应 用范围扩大，也可以直接在墩子后面B端面处放置一吸收杆，使压缩波吸收掉，则记录波形 只有图1的前半部分。
2 T端面处应变相容关系
根据子弹撞击墩子瞬间产生的应力波分析来看，在墩子内部向右传播的压缩波有向右压缩材 料的性质，而在入射杆内部向左传播的拉伸波也有向右拉伸材料的性质，两者使材料变形的 方向是一致的，那么在A端面，根据材料的连续性，两者的应变变形应该是协调的或者说是 相容的，因此提出如下假设：在子弹撞击墩子的瞬间，A端面处在墩子端和入射杆端两者之 间的应变是相容的。事实上，该处的应力应变关系是很复杂的，首先直接是在撞击面上的压 缩，由压缩应变引起与入射杆之间的剪切应变，从而形成剪切应力，最终形成入射杆中的拉 伸应力波，根据圣维南原理，所有这些都应该发生在撞击面附近区域，因此该假设是不能真 实反映实际情况的，只是在考虑整体上提出的。以拉伸应变为正，那么有
ε1+ε2=0[JY]（1）
σ1=E1ε1=-σ2=E1(-ε2)[JY]（2）
式中：σ1、ε1、σ2、ε2为入射杆和墩子中的应力应变。
B面反射回来的应力波是值为-σ2的拉伸波，且为σ1，应力波在变截面处的传播规 律［6］如下
σT=Tσ1A1/A2
σR=Fσ1[JB)][JY]（3）
n=(ρ0C0A)1/(ρ0C0A)2
F=(1-n)/(1+n)
T=2/(1+n)[JB)][JY]（4）
式中：σT，σR，A1、A2分别为透射应力、反射应力、变截面处入射波端的面 积和透射波端的面积。
结合本实验设备，A1和A2就是墩子的横截面积和入射杆的横截面积。n为两种介质的 广义波阻抗比值， F和T分别称为反射系数和透射系数。 本实验中子弹和入射杆都用同一种 材料。 该实验设备的n=A1/A2=6.1，由式（3）得到透射波的应力值σT=1.72 σ1，这就很好的解释了图2中出现的后半部分应力波近似2倍于前半部分。
根据以上分析，使前后两者的波形一致，不可能通过调整入射杆和墩子横截面积的方法得以 实现，只要两者的横截面积不一致，该问题就会一直出现。而解决的唯一办法就是部分吸收 在墩子内部产生的向右传播的压缩波或全部吸收。
根据应力波在变截面处的传播性质，要使前后两者的幅值一致，则墩子内部压缩应力波部分 吸收后反射回来的应力波应力值σx应满足下列关系
σT=Tσx A1/A2=σ1[JY]（5）
从式（5）得到σx=0.58 σ1。在吸收端同样根据一维应力波的传播特 性可得吸收杆的横截面积
σx=0.58σ1=σ′R=F′σ2（6）结合式（6）、 式（2）和式（4）解出该处的n′=3.762，所以可以在墩子的 后面加一个吸收杆，该吸收杆的横截面积是墩子横截面积的1/3.762(材料和墩子一致，长度 大于一个弹长)就可以使反射回去的拉伸波在A端面透射到入射杆中的部分和初始形成的直接 拉伸部分在幅值上保持一致。
3 数值计算
子弹和入射杆均为钢材且都采用各向同性弹性材料模型（见图3）。
图3 有限元模型的撞击端
输入材料的弹性模量E=2.1×1011Pa，密度ρ =7.8×103 kg/m3,泊松比μ=0.3，用子弹以25 m/s的速度撞击墩子时的数值，模拟得到 应力时间曲线（见图4~图5）。墩子右端面为自由面，入射杆左边连接试件。吸收杆的截面 尺寸和墩子相同，长度要求大于一个子弹的长度。图4和图5中幅值为正的曲线是入射杆中拉 伸应力波，幅值为负的曲线是墩子中的压缩应力波。
1. 数值计算入射杆和墩子中的应力波；
2. 实验实测入射杆和墩子中的应力波
图4 墩子后面无吸收杆时的时间应力曲线1. 数值计算入射杆和墩子中的应力波；
2. 实验实测入射杆和墩子中的应力波
图5 墩子后面存在吸收杆时的时间应力曲线
由图4可知，入射杆中的数值模拟结果和实验实测结果吻合较好，从中还可以明显看出拉伸 应力的幅值和压缩应力的幅值是相等的，这就说明假定是合适的。从图5中可以看出存在吸 收杆时，墩子的反射信号已经不存在了，波宽也相应的变为图4中的一半。图5还可以明显看 出实测信号的波宽，比数值模拟波宽宽了一些，这是由于在实际实验中吸收杆不可能和墩子 完全紧密的贴在一起，有部分应力波反射回去造成的。压缩信号更窄也是墩子中的反射拉伸 应力和压缩应力叠加造成的。
根据理论分析结果，当墩子的面积和吸收杆的面积比n′=3.762时，此处的吸收杆长 度要求大于一个弹长，截面面积是墩子的1/n′。那么就可以使部分反射回来的拉伸 应力波在经过变截面后和初始拉伸应力波在幅值上相等，数值模拟结果如图6所示。同时， 为了研究子弹的尺寸与应力信号幅值的关系，模拟了三组不同外径的子弹以相同的速度撞击 墩子，在入射杆上同一单元上得到了时间应力关系（见图7）。
1. 未添加吸收杆时数值计算入射杆中的应力波；
2. 添加吸收杆时数值计算入射杆中的应力波
图6 部分吸收和不吸收计算的应力信号t/μs
1. S1/S2=1.5；2. S1/S2=1.0；3. S1/S2=0.5
图7 不同弹截面计算的应力信号从图6可以看出根据理论分析结果， 添加吸收杆后， 通过部分的吸收压缩波，可使前后波 形保持相同的幅值， 同时也看到由于接触的原因， 使第二个拉伸波型有一定的震荡。 图7中 S1和S2(S2=A1)分别是子弹和墩子碰撞部分的横截面积(数值模拟中保持S2不变 ，仅改变S1)。由于弹长一定，所以横截面积比就是质量比，从图7中可以看出所测的应力 信号幅值和质量成线性关系，为了说明弹速与应力信号幅值之间的关系，在S1/S2=1的 条件下，计算模拟了三组弹速下的应力信号（见图8）。
t/μs
1. V=30 [KG-*1/5]m/s；2. V=25 [KG-*1/5]m/s；3. V=20 [KG-*1/5]m /s
图8 不同速度撞击计算的应力信号
从图8看出应力信号幅值随速度增加呈线性关系增加。
4 结论
（1） 根据应变相容假定，通过理论分析解释了实验中出现的应力波幅值突变现象，并通过 数值模拟计算证实了假定的合理性。
（2） 根据应变相容假定，理论分析了使前后波形保持一致，必须部分吸收压缩波，并给出 了吸收杆的横截面积和墩子的横截面积比。通过数值模拟计算，说明该解决方法可行。
（3） 通过改变子弹的横截面积和撞击速度，数值计算表明，在低速范围内拉伸应力幅值与 子弹撞击速度及子弹的横截面横截面积成线性关系。
参考文献：
［1］ 李玉龙,郭伟国,徐绯，等. Hopkinson压杆技术的推广应用［J］.爆炸与冲 击，2006，26(5):385-394.
［2］ 胡时胜.Hopkinson压杆实验技术的应用进展［J］.实验力学，2005，20(4): 589-594.
［3］ 宋顺成,王庭辉,刘筱玲. 缸、杆分离式气动直接动态拉伸实验装置：中国， CN1971244A［P］.2007-05-30.
［4］ 王庭辉,宋顺成,王明超，等.高强度纤维束的动态拉伸性能［J］.西南交通 大学学报，2008，43(5)：638-642.
［5］ 彭霞锋, 王庭辉, 刘筱玲，等. 金属丝束的动态拉伸测试及动态拉伸性能［ J］. 兵器材料与科学, 2008，31(4)：48-51.
［6］ 王礼立.应力波基础［M］.第2版.北京：国防工业出版社，2005:47-50.
(责任编辑：何学华)
摘 要：基于实验结果，提出子弹在撞击墩子端面处的瞬间，T 型杆的连接端面处满足应变相容关系的假定，基于此，应用应力波在端面处的传播性质，通 过理论分析解释了实测的应力波波形前后不一致现象，并给出了解决方案。使用ANSYS-LSDY NA有限元程序数值模拟了子弹撞击端面的过程，模拟的端面应力波幅值和实验实测幅值吻合 ，同时证实了假定的合理性和解决方案的可行性，并进一步得出应力波幅值和子弹的速度和 横截面积呈线性关系。
关键词：应力波；Hopkinson杆；数值模拟
Propagation of Stress Wave at End of
T-type Bar Impacted by Bullet
and Its Numeric Simulation
WANG Ting-hui,LIU Xiao-ling,CHEN Xiao-an,HOU Yan-hui
(School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong Univer sity, Chengdu Sichuan 610031, China)
Abstract:Based on the expe riment result, the supposition was proposed that the strain at the end of T-ty pe
bar impacted by bullet satisfies coordinative relations. Using the supposition
and the relation of propagation of stress, the variance of the stress wave shape
can be explained and the solution also given. The process of propagation of str ess at end of T-type bar impacted by bullet was simulated by using ANSYS-LSDY NA.
The numeric simulation results of amplitude of stress at end of T-type bar wer e
in good agreement with the experimental results, and the rationality of the sup position and feasibility of the solution were validated. The relations of the am plitude of stress wave with the velocity of bullet and cross sectional area of t he bullet were approximately linear.
Key words:stress wave; Hopkinson bar; numeric simulation
目前，传统的SHPB实验技术已经非常成熟，并不断的发展改进以适应特殊材料和特殊加载条 件的需要［1-2］。采用子弹撞击T型杆的端部直接在杆中获得拉伸应力波是获得高 质量拉伸应力波的好方法，较之采用SHPB二次反射拉伸获得的波形有明显改善。因此作者实 验室已经成功开发出分离式的HOPKINSON拉杆设备［3］并开展了一定实验研究［ 4-5］，就是采用直接撞击获得拉伸波信号。由于应力波在变截面处的透射反射特性，和 实验中出现的特殊现象，有必要弄清子弹撞击T型杆端面处的应力波传播情况。
本文基于实验实测信号，提出子弹在撞击墩子端面处的瞬间，T型杆的连接端面处满足应变 相容关系假设，在此基础上，应用应力波在一维杆中的传播性质解释了实验中出现的应力波后半部分近似2倍于前半部分这个 规律，并给出了解决方案。同时使用ANSYS-LSDYNA有限元程序数值模拟了子弹撞击端面的过 程，模拟的端面应力波幅值和实验实测幅值吻合，同时证实了假定的合理性和解决方案的可 行性，并进一步得出应力波幅值和子弹速度与横截面积呈线性关系。1 实验简化 模型和测试结果T型杆作为入射杆，空心圆筒子弹在入射杆上加速滑行撞击端面，直接产生传播方向与子弹 运动方向相反的拉伸应力波（见图1），产生弹速为25 m/s时的测拉伸波 信号（见图2）。
图1 T型杆结构简化模型
图2 实测拉伸波形状
由图1可知，子弹在入射杆上高速向右滑动，撞击墩子的A端面，在入射杆中形成向左传播的 拉伸波（见图2的前半部分），而在墩子内则形成向右传播的压缩波。压缩波到达B端面时全 部反射回来形成向左传播的拉伸波，拉伸波到达A端面时，部分反射形成向右传播的压缩波 ，部分透射到入射杆中形成透射拉伸波（见图2的后半部分）。而在子弹内首先形成向左传 播的压缩波，当子弹的左端面反射回来形成向右传播的拉伸波到达子弹的右端面时，子弹和 墩子分离，载荷卸载，应力波的宽度确定，即T=2 L/C0,C0为材料的弹 性波速。
根据应力波在一维杆中的传播性质，在子弹和墩子材料相同，长度一致的情况下，直接拉伸 应力波和透射应力波一前一后能很好的连接起来，起到增加2倍波宽的作用，使该设备的应 用范围扩大，也可以直接在墩子后面B端面处放置一吸收杆，使压缩波吸收掉，则记录波形 只有图1的前半部分。
2 T端面处应变相容关系
根据子弹撞击墩子瞬间产生的应力波分析来看，在墩子内部向右传播的压缩波有向右压缩材 料的性质，而在入射杆内部向左传播的拉伸波也有向右拉伸材料的性质，两者使材料变形的 方向是一致的，那么在A端面，根据材料的连续性，两者的应变变形应该是协调的或者说是 相容的，因此提出如下假设：在子弹撞击墩子的瞬间，A端面处在墩子端和入射杆端两者之 间的应变是相容的。事实上，该处的应力应变关系是很复杂的，首先直接是在撞击面上的压 缩，由压缩应变引起与入射杆之间的剪切应变，从而形成剪切应力，最终形成入射杆中的拉 伸应力波，根据圣维南原理，所有这些都应该发生在撞击面附近区域，因此该假设是不能真 实反映实际情况的，只是在考虑整体上提出的。以拉伸应变为正，那么有
ε1+ε2=0[JY]（1）
σ1=E1ε1=-σ2=E1(-ε2)[JY]（2）
式中：σ1、ε1、σ2、ε2为入射杆和墩子中的应力应变。
B面反射回来的应力波是值为-σ2的拉伸波，且为σ1，应力波在变截面处的传播规 律［6］如下
σT=Tσ1A1/A2
σR=Fσ1[JB)][JY]（3）
n=(ρ0C0A)1/(ρ0C0A)2
F=(1-n)/(1+n)
T=2/(1+n)[JB)][JY]（4）
式中：σT，σR，A1、A2分别为透射应力、反射应力、变截面处入射波端的面 积和透射波端的面积。
结合本实验设备，A1和A2就是墩子的横截面积和入射杆的横截面积。n为两种介质的 广义波阻抗比值， F和T分别称为反射系数和透射系数。 本实验中子弹和入射杆都用同一种 材料。 该实验设备的n=A1/A2=6.1，由式（3）得到透射波的应力值σT=1.72 σ1，这就很好的解释了图2中出现的后半部分应力波近似2倍于前半部分。
根据以上分析，使前后两者的波形一致，不可能通过调整入射杆和墩子横截面积的方法得以 实现，只要两者的横截面积不一致，该问题就会一直出现。而解决的唯一办法就是部分吸收 在墩子内部产生的向右传播的压缩波或全部吸收。
根据应力波在变截面处的传播性质，要使前后两者的幅值一致，则墩子内部压缩应力波部分 吸收后反射回来的应力波应力值σx应满足下列关系
σT=Tσx A1/A2=σ1[JY]（5）
从式（5）得到σx=0.58 σ1。在吸收端同样根据一维应力波的传播特 性可得吸收杆的横截面积
σx=0.58σ1=σ′R=F′σ2（6）结合式（6）、 式（2）和式（4）解出该处的n′=3.762，所以可以在墩子的 后面加一个吸收杆，该吸收杆的横截面积是墩子横截面积的1/3.762(材料和墩子一致，长度 大于一个弹长)就可以使反射回去的拉伸波在A端面透射到入射杆中的部分和初始形成的直接 拉伸部分在幅值上保持一致。
3 数值计算
子弹和入射杆均为钢材且都采用各向同性弹性材料模型（见图3）。
图3 有限元模型的撞击端
输入材料的弹性模量E=2.1×1011Pa，密度ρ =7.8×103 kg/m3,泊松比μ=0.3，用子弹以25 m/s的速度撞击墩子时的数值，模拟得到 应力时间曲线（见图4~图5）。墩子右端面为自由面，入射杆左边连接试件。吸收杆的截面 尺寸和墩子相同，长度要求大于一个子弹的长度。图4和图5中幅值为正的曲线是入射杆中拉 伸应力波，幅值为负的曲线是墩子中的压缩应力波。
1. 数值计算入射杆和墩子中的应力波；
2. 实验实测入射杆和墩子中的应力波
图4 墩子后面无吸收杆时的时间应力曲线1. 数值计算入射杆和墩子中的应力波；
2. 实验实测入射杆和墩子中的应力波
图5 墩子后面存在吸收杆时的时间应力曲线
由图4可知，入射杆中的数值模拟结果和实验实测结果吻合较好，从中还可以明显看出拉伸 应力的幅值和压缩应力的幅值是相等的，这就说明假定是合适的。从图5中可以看出存在吸 收杆时，墩子的反射信号已经不存在了，波宽也相应的变为图4中的一半。图5还可以明显看 出实测信号的波宽，比数值模拟波宽宽了一些，这是由于在实际实验中吸收杆不可能和墩子 完全紧密的贴在一起，有部分应力波反射回去造成的。压缩信号更窄也是墩子中的反射拉伸 应力和压缩应力叠加造成的。
根据理论分析结果，当墩子的面积和吸收杆的面积比n′=3.762时，此处的吸收杆长 度要求大于一个弹长，截面面积是墩子的1/n′。那么就可以使部分反射回来的拉伸 应力波在经过变截面后和初始拉伸应力波在幅值上相等，数值模拟结果如图6所示。同时， 为了研究子弹的尺寸与应力信号幅值的关系，模拟了三组不同外径的子弹以相同的速度撞击 墩子，在入射杆上同一单元上得到了时间应力关系（见图7）。
1. 未添加吸收杆时数值计算入射杆中的应力波；
2. 添加吸收杆时数值计算入射杆中的应力波
图6 部分吸收和不吸收计算的应力信号t/μs
1. S1/S2=1.5；2. S1/S2=1.0；3. S1/S2=0.5
图7 不同弹截面计算的应力信号从图6可以看出根据理论分析结果， 添加吸收杆后， 通过部分的吸收压缩波，可使前后波 形保持相同的幅值， 同时也看到由于接触的原因， 使第二个拉伸波型有一定的震荡。 图7中 S1和S2(S2=A1)分别是子弹和墩子碰撞部分的横截面积(数值模拟中保持S2不变 ，仅改变S1)。由于弹长一定，所以横截面积比就是质量比，从图7中可以看出所测的应力 信号幅值和质量成线性关系，为了说明弹速与应力信号幅值之间的关系，在S1/S2=1的 条件下，计算模拟了三组弹速下的应力信号（见图8）。
t/μs
1. V=30 [KG-*1/5]m/s；2. V=25 [KG-*1/5]m/s；3. V=20 [KG-*1/5]m /s
图8 不同速度撞击计算的应力信号
从图8看出应力信号幅值随速度增加呈线性关系增加。
4 结论
（1） 根据应变相容假定，通过理论分析解释了实验中出现的应力波幅值突变现象，并通过 数值模拟计算证实了假定的合理性。
（2） 根据应变相容假定，理论分析了使前后波形保持一致，必须部分吸收压缩波，并给出 了吸收杆的横截面积和墩子的横截面积比。通过数值模拟计算，说明该解决方法可行。
（3） 通过改变子弹的横截面积和撞击速度，数值计算表明，在低速范围内拉伸应力幅值与 子弹撞击速度及子弹的横截面横截面积成线性关系。
参考文献：
［1］ 李玉龙,郭伟国,徐绯，等. Hopkinson压杆技术的推广应用［J］.爆炸与冲 击，2006，26(5):385-394.
［2］ 胡时胜.Hopkinson压杆实验技术的应用进展［J］.实验力学，2005，20(4): 589-594.
［3］ 宋顺成,王庭辉,刘筱玲. 缸、杆分离式气动直接动态拉伸实验装置：中国， CN1971244A［P］.2007-05-30.
［4］ 王庭辉,宋顺成,王明超，等.高强度纤维束的动态拉伸性能［J］.西南交通 大学学报，2008，43(5)：638-642.
［5］ 彭霞锋, 王庭辉, 刘筱玲，等. 金属丝束的动态拉伸测试及动态拉伸性能［ J］. 兵器材料与科学, 2008，31(4)：48-51.
［6］ 王礼立.应力波基础［M］.第2版.北京：国防工业出版社，2005:47-50.
(责任编辑：何学华)