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【摘要】本文阐述数学文化的内涵，即“数学之史、数学之美、数学之趣、数学之用、数学之思”，并结合具体案例提出“求真、育美、立德、致善”是数学教学追求的最高境界。
【关键词】小学数学 数学文化 课例研究
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）01A-0004-06
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称新课标）明确提出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学教材中“数学阅读”“你知道吗”等版块的内容就是数学文化的展示。越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点，越来越多的教师开始在数学教学中融入数学文化，表现出对数学教学“求真、育美、立德、致善”的理想境界的不懈追求。
一、对数学文化的理解误区
知识与技能目标是外显的，容易量化，而数学文化看不见、摸不着。我们曾经片面地理解了数学文化，将对数学家的介绍、数学故事、数学名言等加进课堂，给数学课穿上文化的“外衣”，这种简单“添加”并没有触及学生的精神层面，在数学文化渗透与凸显上存在着“数学文化演变成解决问题”“数学文化等同于数学史”和“淡化了数学魅力”三个误区。
首先，数学文化变成解决实际问题。教师组织学生算24点、玩七巧板、解决鸡兔同笼问题等古代趣味题，学生迫不及待地进行“解答”，教师认为这样的设计便是在教学中渗透数学文化了。事实是，学生知道了怎么做古代数学名题，却没有通过数学活动感受数学的文化价值。
其次，数学文化被紧缩为数学史。教师向学生介绍数学历史，如历史上著名数学家的故事、重大历史事件等。这其实只是彰显数学文化的一个举措，数学史是数学文化的一部分，数学文化有着更加丰富的内涵与更为开阔的外延。
最后，淡化了对数学的魅力与数学文化的美的感悟。有的教师窄化了数学文化的美，让学生感悟不到“一笔画问题”“抽屉原理”的“方法之美”“抽象之美”和它们的无穷魅力，学生只感受到“雪花线”外在的“对称之美”，不能发现它的“奇异之美”，即雪花周长是无限的，围成的面积却是有限的。
究竟什么是数学文化？数学文化的教育价值是什么？怎样在小学数学教学中自然地渗透数学文化？数学文化怎样以朴素而平和的姿态呈现于课堂、流淌于学生的心田？这些成了我们这些年来研究的主要问题，我们通过研究小学数学课例的方式，从文化视角进行了思考和尝试。
二、什么是数学文化
“数学是一种文化”这一观点始于20世纪60年代，是美国学者怀尔德（R.Wilder，1896-1982）在他的数学著作《作为文化系统的数学》中最早提出来的，怀尔德从文化生成和发展的理论等方面提出了数学文化的概念及有关理论，他的数学文化观是长时间以来出现的第一个比较成熟的数学哲学观。
国内最早关注数学文化的是北京大学的孙小礼教授。1990年，她与邓东皋、张祖贵合编了《数学与文化》一书，相关人士开始从文化的角度关注数学及其文化价值，开始对数学与文化的关系进行深刻思考，并且有越来越多的人投身于数学文化研究之中，“数学文化”这个词的使用频率近年大大增加，这说明数学文化是有生命力的，许多人因为某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。
目前大家比较认同的是南开大学顾沛教授提出的数学文化的内涵：从狭义上说，数学文化即数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展过程；从广义上说，除了狭义的內容外，数学文化还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分以及数学与各种文化的关系。
为了方便大家理解，笔者将小学数学教学中的数学文化概括成：数学之史、数学之美、数学之趣、数学之用、数学之思。
（一）数学之史
新课标凸显了数学史的地位和作用，在教材编写建议中明确指出：教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。
（二）数学之美
数学的抽象性和广泛性达到了“完美”的和谐与统一，其本身就是一种美。数学之美包含的内容有：数学的简洁与抽象美，即符号美、抽象美、统一美、常数美、守恒美；数学的神奇美，即奇异美、无限美、神秘美、对比美、滑稽美；数与形的和谐之美，即对称美、序列美、节奏美、形式美。
（三）数学之趣
托尔斯泰曾说：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”小学生对数学的喜爱往往是从兴趣开始的。新课标指出：数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣以及产生学好数学的愿望，切实提高小学生学习数学的兴趣。
（四）数学之用
学习数学不只是掌握知识，必须学会应用，实现数学的价值。这就要求小学数学教师在教学中注意培养学生的数学应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面是有意识地利用数学知识，如概念、公式、法则、原理和方法解释现实世界中的现象，解决实际问题；另一方面是认识到现实生活中蕴涵着大量与数和形有关的问题，可以将问题抽象成数学模型并加以解决。因此，数学学习应“生活化”，教师为学生提供应用数学知识的素材，让学生体会数学实际应用的价值，激发学生的创新思维，从而让学生运用数学知识、思想、方法解决生活中的现实问题，提高学生数学学习能力。
（五）数学之思
“数学之思”包括“三思”：数学思想、数学思维、数学思考。 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。数学思维是对数学对象，如空间形式、数量关系、结构关系等的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。新课标明确指出数学思维能力主要包括四个方面的内容：（1）会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；（2）会用归纳、演绎和类比进行推理；（3）会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；（4）能运用数学知识、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。新课标对数学思考也提出了以下四个方面的要求：（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维；（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象；（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
笔者站在文化的视角审视数学教学，在课例研究中确定“彰显数学文化”的评价标准是：明鉴数学之史、欣赏数学之美、玩转数学之趣、理解数学之用、感悟数学之思、传播数学文化、领略数学之魅、培养核心素养。
三、数学文化的教育价值
日本的数学家、教育家米山国藏曾说：“学生在初高中学到的数学知识，几乎没有什么机会应用，很快就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，唯有铭刻于脑际的数学精神和数学思想方法，长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”[1]
数学文化的价值主要在于数学对人们观念、精神以及思维方式的养成具有的重要的影响，它具有独特的科学和人文的教育价值。
我们常说“数学是日常生活的工具”“数学是科学技术的基础”，其实这就是数学文化的科学方面的教育价值。学生在数学学习中体会数学实际应用的价值，激发创新思维，运用数学知识、思想、方法解决现实问题和科学问题，提高数学学习能力。
数学文化的人文方面的教育价值体现在“数学是思维的体操”“数学是理性的精神”，这主要是指数学对人的品德的教养、思维的提升、理性的培养和性情的陶冶的意义。
在很多人的意识中，数学教育的功能是为学生提供日常生活的工具、让学生在数学考试中取得好成绩。于是，在数学教育中就存在这样的问题：重“数学生活化”，轻“生活数学化”，造成“数学浅表化”；重数学知识的灌输，轻数学思维的提升、数学思想的感悟，普遍忽视了数学文化的人文方面的教育价值与作用。
四、如何在小学数学课堂中融入数学文化
笔者从理论和实践方面对小学数学教学课例的人文方面的教育价值与作用进行了较深入的研究，率先从狭隘的学科教学目标跳出来，提出了大文化的教学目标：求真、育美、立德、致善。笔者力求引导学生不断地自我加强科学素养、社会文化修养，形成和发展数学核心素养，全面提高学生素质，这也是数学教学改革的重要方向。
（一）求真
数学对人类文明最大的贡献是理性精神。理性精神是一种“推演的精神、逻辑的精神”，是一种求真的精神。发挥数学的文化教育功能，就应积极地培育理性精神、演绎理性力量。
学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终身受益。小学数学课程应注重培养学生的数学思维和数学推理，其中包括逻辑思维和辩证思维、合情推理和演绎推理等，让学生学会运用数学的思维方式进行思考。
涵盖归纳、类比、实验、观察、直觉等的合情推理，是得到新结论的方法和途径，是小学生理解和掌握“找规律”时不可或缺的。但是，学生找到的“规律”可能是正确的也可能是错误的，还需要依靠演绎推理去验证。针对演绎推理，新课标提出：（教师）在第一学段和第二学段，可以逐渐渗透给学生知道（演绎推理），在第三学段则应该明确地告诉学生，让学生对此有清醒的认识。
反思这十多年的小学数学课程改革，小学数学教学淡化了数学中的逻辑推理、理性思维，类似于“三角形内角和等于180°”这样的基本定理，有的教材让学生用测量及计算、拼接实验的方法“归纳猜想，发现规律和结论”，不鼓励学生问为什么，不讲证明、不讲道理，数学课就失去了灵魂，这就很难培养学生分析问题与逻辑推理等方面的能力。教育的效果是滞后的，当这一代中小学生长大成人后理性思维能力不强就悔之晚矣。
笔者认为小学数学课堂理性精神是：理性思辨，不感情用事；实事求是，不盲从权威；尊重数据，不弄虚作假；科学严谨，不随欲而为。
[案例1]实验归纳“不完全”
在一节《圆的认识》的公开课上，教师采用“自主尝试—小组交流—全班反馈”的教学方式，让学生在小组内讨论、向全班交流自己探究得到的“圆的性质”，选一个小组代表汇报。
生：我们小组得出了“圆内所有的线段，直径最长”。
师：你们是怎么知道的？
生：我们量出圆内5条线段的长度，直径AB=7.8cm，半径OA=3.9cm，线段CD=4.6cm，线段EF=2.3cm，线段CG=6.3cm。所以，我们发现了“圆周内所有的线段，直径最长”。
师：你们真聪明，老师也没告诉过你，书上没写来的性质你们也能发现！大家齐声拍手表扬她。
师：她发现的这个结论还需要验证吗？
生：道理明摆着，没有必要验证了。（多数学生认同）
师：前些天的一个早上，老师带着一台测量身高的设备在我们学校门口守候了半个小时，测量了57名进校学生的身高，所测量的学生的身高均没达到170cm，于是我们得出一个结论：我们学校的学生的身高都不超过170cm。刚说完就来了一名六年級2班的学生，他的身高是173cm，老师“被打脸”了。为什么老师会“被打脸”呢？
生：你还没量完我们学校所有的学生的身高，你就下结论了。 学生遇到了问题才会去思考。教师安排了“逻辑推理，孕育理性精神”的教学过程，巧妙设疑让学生学会理性思考、形成理性思维、感悟理性的力量，提升学生综合能力和核心素养。
[案例2]直觉的误导
要探究图1中的问题，可建立如图2所示的模型，设铁丝围成圆的半径为R，地球赤道的圆的半径为r，其周长之差为100cm，2πR-2πr=100cm，π≈3.14，R-r ≈[1006.28]≈15.9cm。铁丝与地球赤道之间的间隙有约15.9cm，所以能放进一粒草莓或一个拳头。
这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习能体会到：我们完全凭借直觉判断数学结论是不行的，还需要通过计算推理来验证。
[案例3]“眼见未必为实”
（1）有一张8cm×8cm的正方形的纸片，面积是64cm2。把这张纸片按图3所示剪开，把剪出的4个小块按图4所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65cm2。这是可能的吗？
（2）这是网上流传甚广的一个问题。将图5中上部的三角形切成四部分，之后再重新拼成图5下部的图形，结果发现少了一个小正方形，这是怎么回事？
这两个题目主要让学生自己通过小组合作探究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受仅凭观察、猜想、操作、实验验证数学结论是不够的，强调在以后的数学学习中要学会说理。
[案例4]“算理”是通向“算法”的桥梁
学生掌握计算法则关键在于理解。学生既要懂得怎样算，更要懂得为什么要这样算。
如图6所示，在教学“12×14”时，教师通过直观的点子图使学生看到12×14就是求每列12个、共14列的点子图中的“点子”个数，也就是求14个12连加的和是多少。我们可以先求出4列的“点子”个数是多少，即4个12是多少，再求10列的“点子”个数是多少，即10个12是多少，然后把两个和加起来，从而让学生知道，计算乘数是两位数的乘法要分两步乘，第三步是相加，这样使学生看得见、摸得着，例题教学使计算的每一步都成为有意义的操作，学生在操作中理解算理、掌握算法。
提炼算法实际上就是：追求简洁表达，合并计算步骤，书写竖式形式，抽象归纳概括，形成运算法则。
因此，在小学数学教学中对学生进行理性精神的启蒙是非常重要的，不仅能够提高学生对数学学习的积极性和兴趣，而且让学生学会理性思考、形成理性思维、感悟理性的力量，提升学生综合能力和核心素养。
（二）育美
数学具有重要的美育功能，数学美往往是数学创新的动力和追求，学生的数学素养在求美过程中得到发展是一个普遍现象。因此，教师应对学生加强数学美的教育，让学生在学习中发现数学之美、欣赏数学之美、受到数学美的熏陶，在对美的追求中，创造数学之美，提高数学核心素养。“育美”成为了发挥数学文化教育功能的重要途径。
[案例5]守恒永远是美丽的
我们可以通过几何画板动态演示变化中的三角形，如改变三角形边长、内角……不管三角形怎么变化，三角形的内角和总是180°。三角形内角和定理是“守恒之美”的表现。
“变化中的不变”就是规律，找到了这样的规律就可能发现公式、法则、性质；寻找不变量不仅是数学研究的任务，还是科学研究和社会研究的任务；“变化中的不变”也是守恒，守恒永远是美丽的。教师应当让学生在发现和欣赏数学之美中学习“三角形内角和定理”。
[案例6]雪花线的奇异之美
将一个等边三角形的每条边三等分后，在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，并去掉中段，接着，再将所得图形的每条边三等分，在中段上作等边三角形，去掉中段……不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线，如图7。
如果学生只感受到“雪花线”外在的“对称之美”，那就错过了令人惊异的奇异美：它的面积是有限的，而它的周长却是无限的。
（三）立德
《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》和党的十八大报告都提出把立德树人作为教育的根本任务。小学数学教学要进行德育渗透，对学生进行有效的思想品德教育。
[案例7]在“历史的故事”中获得心灵上的震撼
圆周率的认识过程，是人类对数学的认识与发展的具体表现。圆周率吸引了许许多多的中国古代数学家进行长时间的研究，从《周髀算经》到魏晋时期的刘徽，再到公元460年左右的祖冲之，从π≈3到π≈3.14，接着到π≈3.1415926，最后到π≈3.14159265358979……在文化的视角下，学生经历与回顾对圆周率的认识的历史，再现历史瞬间、重演发现过程，由此，学生真切地品味到数学“悠久历史”带来的自豪感、真切地体会到数学家锲而不舍的探索精神、感受到数学的严谨性，学生“思接千年，情寄数学”。
教师在教学中介绍数学家的故事，让学生感受数学家的科学精神；查找数学符号来源，让学生体会科学发明过程；探访历史数学名题，让学生领略数学思想方法的魅力。
数学教学应当充分利用数学史料来还原、再现数学知识的发现过程，揭示知识产生的背景、展示知识形成的过程、预示知识发展的前景，让学生经历知识产生、形成与发展的全过程，充实他们的数学文化底蕴。
中华民族有着灿烂的数学史，教师挖掘小学数学教材中的德育素材，恰当地运用数学史料、趣事，反映中国古代数学方法的突破，介绍我国古代科学家的杰出成就，激发学生的民族自尊心、自信心、自豪感和爱国热情，弘扬民族精神。
[案例8]挖掘数学品质，进行辩证唯物主义观点启蒙教育
我国古代著名思想家墨子曾说：“大圆之圆与小圆之圆同。”意思是说：不管大圓还是小圆，它们的圆周率是相同的。我们也可以将其理解为：千变万化的圆，它的周长与直径的比是一个固定不变的数。与之相似的还有“三角形千变万化，内角和总是180°”。 数学中到处都是变与不变的矛盾统一。数学研究变化，却以找到其中的不变性作为归宿。我们应力求把握纷繁的变化中的不变量和不变性质、领略不变量和不变性的内在魅力，感受数学思想方法充满着的辩证唯物主义观点，彰显数学的智慧之光。
数学教材中各部分知识之间存在着纵向和横向的紧密联系，这些都充满着唯物主义思想和辩证法，教师在教学时要充分利用数学知识的这一特点，对学生进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。例如，教师可以围绕数学概念之间的联系，通过大与小、多与少、加与减、乘与除、积与商的变化以及正比例与反比例等内容，渗透对立统一、运动变化的规律。
[案例9]数学是让学生“斤斤计较”吗？
（1）“什么划算？怎么省钱？”
我们常常探讨怎样才能达到“最划算”“最省时间”“最省钱”“最短距离”“最佳效益”等优化问题，我们需要这样算来算去、斤斤计较吗？这样有什么意义呢？
从数学的角度看，“斤斤计较”是数学策略的一种表现方式。研究表明，太能算计的人也是太想得到的人，而太想得到的人，很难轻松地生活。因此，爱“斤斤计较”的人90%以上都患有不同程度的心理疾病。从文化的视角，教师的着眼点应该放高一点来创设恰当的情境，例如：如何选择方便市民出行的最佳道路的建设点、如何利用有限的空间储存或运送更多的货物、如何在降低成本的同时提高效益……
（2）平均分包子
教师给学生展示例题：全班50名学生参加春游，我们带了150个包子平均分给学生，一名学生能分到多少个包子？读完题后有学生提出疑问：我们为什么不能“按需分配”呢？
从数学知识出发，平均分包子是没有错的。但是，教师为什么不能从培养学生人文精神、高尚品质的角度多考虑再创设问题情境呢？
（3）“精明”还是“刁钻”
不少人看过这样一个“笑话”：
顾客：你的醋多少钱一斤？
店主：7角4分。
顾客：7角钱来一斤？
店主：小本生意，要再便宜就不能卖了。
顾客：咦，我就不信了，我就7角钱买你一斤！
于是，顾客用起了四舍五入，一两一两分十次零打。
不学会数学的知识和方法就会产生愚昧，虽然这位顾客“四舍五入”的数学知识掌握得很好、人也很聪明，但是他却用这些知识投机取巧。从人文的角度来看，数学不仅是教会学生知识与方法，更重要的是引导学生用好这些知识与方法。
（四）致善
“至善”是“儒家谓人的道德修养所能达到的最高境界”。笔者所说的“致善”指的是“知道了善的价值与本义，又致力于通过行动去追索、实现它，就可以算得上是至善尽美了”。
知善致善，是为上善。我们经过七年的探索，不断思考“数学的致善精神是什么”，奥运会提出的“更高、更快、更强”给了我们重要启发，我们认为在数学课堂中追求“更普遍的真理、更广泛的应用、更简洁的表达、更美丽的形式、更精确的结果……”就是数学的致善精神、质疑精神、创新精神、进取精神。
[案例10]更普遍的真理
我们通过几何推理得到“三角形内角和为180°”，那么四边形的内角和是多少度呢？五边形呢？
教师引导学生归纳猜想：你发现多边形的内角和与边数之间有什么规律？你能用一个式子表示多边形内角和的计算方法吗？从而引导学生去追求更普遍的真理。
笔者认为，我国古代数学家缺乏这种“致善”精神，错失了在数学史上留下光辉的一笔的机会。我国最早记载勾股定理的是《周髀算经》。书中记载着我国周朝数学家商高在回答周公的问话中提到的“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”一句话，即“勾三股四弦五”。
所谓定理，是指人们对自然和社会现象的规律性的认识，而不是某一特例的偶然发现。显然，“勾三股四弦五”只是毕达哥拉斯定理中的一个特例，特例以外还有无穷个直角三角形不能用“勾三股四弦五”来求解。毕达哥拉斯去朋友家做客，他在欣赏镶嵌在地上的地砖的美丽的同时，思考它们和“数”之间的关系，从而发现了等腰直角三角形具有的一个性质；他和他的学生继续探究，终于发现了任意直角三角形三边长度关系的普遍规律，而且完成了对这一规律的几何和逻辑的证明，后人就以毕达哥拉斯的名字将该定理命名为“毕达哥拉斯定理”。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢、供奉神灵，因此又有人将这个定理叫做“百牛定理”。虽然商高的发现比毕达哥拉斯的发现早了五百多年，但商高没去探究“更普遍的真理”，因此几千年来，世界数学界一直把直角三角形三边长度关系的规律称为“毕达哥拉斯定理”而不是“商高定理”。尽管2002年世界数学家大会在北京召开，用于证明勾股定理的赵爽弦图被设计成会徵悬挂在会场，勾股定理的命名还是成了一件令中华民族深感无奈和遗憾的事情。
从这件事情上我们深刻了解到发现一个规律或解决一个问题之后去追求“更普遍的真理”的重要性。
[案例11]更广泛的应用
“鸡兔同笼”是我国古代《孙子算经》中一道经典数学题，题目如图9所示，该题一千五百多年来流传甚广，因为它的教育价值和魅力而编入古今中外的数学教材。但是，很多人认为研究鸡兔同笼问题没有价值，很多人回忆起小学学习“鸡兔同笼”时是“痛苦”的。我们的一些小学数学课堂把这样一个魅力无穷的问题教成了这么多人认为这是“变态的数学题”，简直是让人痛心。
要想让数学文化在课堂中自然流淌、让学生感受“鸡兔同笼”问题的无穷魅力，我们首先要弄清“鸡兔同笼”问题的现实意义在哪里、它有什么教育价值。实际上，单纯解决鸡兔同笼问题、得到数学答案，也许真的毫无价值和意义，但是如果我们把它当作一道历史经典名题，当作一个数学模型的趣味情境进行审视，你就会发现它的魅力。
二年级的小朋友也会解决簡单的“鸡兔同笼”问题，他们用的是“画图”的方法，教师可以提问学生：“谁能说说二年级的同学是怎么想的？”原本半懂不懂的学生从直观的画图过程中明白了算理，如图11所示。 我们超越“画腿法”这种具体的感性“数数”解题方法，将其上升为抽象的思想方法与策略，即假设与转化、列式计算，从而建构起解决这类问题的“数学模型”，探究出解决此类问题的“通则通法”，使得“鸡兔同笼”问题在日常生活和生产中有了广泛的应用，例如：工地运来长度分别为8米和5米的水管共25根，用它们一共铺设了173米长的管道，运来两种水管各多少根？
（2）崔永元的疑惑：进水管、出水管？
中央电视台著名主持人崔永元在他的《不过如此》一书中写道：高考结束，我的第一个念头是，从此再不和数学打交道了。38岁生日前一天，我从恶梦中醒来，心狂跳不止。刚才又梦见数学考试了，水池有一个进水管，5小时可注满水池，池底有一个出水管，8小时可以放完满池的水。如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？呸，神经吧，你到底想注水还是想放水？[2]
其实，很多人都有这样的疑惑，谁家的水池同时注水和出水？这样的题目是数学教师“变态”。
其实生活中这样的例子还真不少。例如：旺季的公园每天很多游客入园游览，相当于打开进水管；过了一段时间，有些游客游玩结束，陆续离开，相当于打开出水管。公园相当于一个大水池，公园容纳的最多游客数就相当于“水池的容量”，公园游客有出有进，相当于既开进水管、又开出水管，旅游旺季进水管比出水管流量大，公园内的人越来越多，工作人员就必须考虑“多久之后公园内的人数达到饱和”这个问题，进公园是否要排队、要排多久队……再例如，考虑地球的人口，出生是“进水”，死亡就是“出水”；一段高速路上的汽车，入口车流是“进水”，出口车流是“出水”……“水池进水管、出水管同时开”并不是故意为难我们而编造出来的“变态”的条件，现实生活中类似这样的例子真不少，这个问题在日常生活和生产中有非常广泛的应用。
[案例12]更美丽的形式
三角形内角和定理是“守恒之美”的表现，陈省身大师一句“三角形内角和等于180°不是一个好命题”激发我们对“美”的更进一步的追求，于是我们发现“n边形的外角和都等于360度”，这是更高层次的守恒，更美丽。
教师应研读并恰当使用小学数学教材中的素材，培养学生的“致善”精神。如“圆周率的认识”中，祖冲之“锲而不舍，刻苦求精”的故事激励学生追求“更精确的结果”；反思我国古代数学家提出的“更相减损术”没能成为现代求最大公因数的方法，而思想、方法相同的古希腊的“辗转相除法”却流芳百世，让学生认识到解决一个问题之后去追求“更简洁的表达”的重要性，养成做完习題后再进一步“优化”“简化”的良好习惯和思维品质。
“真者智力之理想，善者意志之理想，美者感情之理想”。我们的追求，是看到充实、生动、和谐的数学课堂，纵然不能完全做到，然心向往之、教师尽力为之，让数学文化在小学数学教学中自然流淌，努力达到求真、育美、立德、致善的小学数学教育境界。
【参考文献】
[1]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].四川：四川教育出版社，1986
[2]崔永元.不过如此[M].北京：华艺出版社，2001
（责编 刘小瑗）
【关键词】小学数学 数学文化 课例研究
【中图分类号】G 【文献标识码】A
【文章编号】0450-9889（2018）01A-0004-06
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称新课标）明确提出：“数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”数学教材中“数学阅读”“你知道吗”等版块的内容就是数学文化的展示。越来越多的人开始关注并认同“数学是一种文化”这一观点，越来越多的教师开始在数学教学中融入数学文化，表现出对数学教学“求真、育美、立德、致善”的理想境界的不懈追求。
一、对数学文化的理解误区
知识与技能目标是外显的，容易量化，而数学文化看不见、摸不着。我们曾经片面地理解了数学文化，将对数学家的介绍、数学故事、数学名言等加进课堂，给数学课穿上文化的“外衣”，这种简单“添加”并没有触及学生的精神层面，在数学文化渗透与凸显上存在着“数学文化演变成解决问题”“数学文化等同于数学史”和“淡化了数学魅力”三个误区。
首先，数学文化变成解决实际问题。教师组织学生算24点、玩七巧板、解决鸡兔同笼问题等古代趣味题，学生迫不及待地进行“解答”，教师认为这样的设计便是在教学中渗透数学文化了。事实是，学生知道了怎么做古代数学名题，却没有通过数学活动感受数学的文化价值。
其次，数学文化被紧缩为数学史。教师向学生介绍数学历史，如历史上著名数学家的故事、重大历史事件等。这其实只是彰显数学文化的一个举措，数学史是数学文化的一部分，数学文化有着更加丰富的内涵与更为开阔的外延。
最后，淡化了对数学的魅力与数学文化的美的感悟。有的教师窄化了数学文化的美，让学生感悟不到“一笔画问题”“抽屉原理”的“方法之美”“抽象之美”和它们的无穷魅力，学生只感受到“雪花线”外在的“对称之美”，不能发现它的“奇异之美”，即雪花周长是无限的，围成的面积却是有限的。
究竟什么是数学文化？数学文化的教育价值是什么？怎样在小学数学教学中自然地渗透数学文化？数学文化怎样以朴素而平和的姿态呈现于课堂、流淌于学生的心田？这些成了我们这些年来研究的主要问题，我们通过研究小学数学课例的方式，从文化视角进行了思考和尝试。
二、什么是数学文化
“数学是一种文化”这一观点始于20世纪60年代，是美国学者怀尔德（R.Wilder，1896-1982）在他的数学著作《作为文化系统的数学》中最早提出来的，怀尔德从文化生成和发展的理论等方面提出了数学文化的概念及有关理论，他的数学文化观是长时间以来出现的第一个比较成熟的数学哲学观。
国内最早关注数学文化的是北京大学的孙小礼教授。1990年，她与邓东皋、张祖贵合编了《数学与文化》一书，相关人士开始从文化的角度关注数学及其文化价值，开始对数学与文化的关系进行深刻思考，并且有越来越多的人投身于数学文化研究之中，“数学文化”这个词的使用频率近年大大增加，这说明数学文化是有生命力的，许多人因为某种需要更愿意从文化这一角度来关注数学，更愿意强调数学的文化价值。
目前大家比较认同的是南开大学顾沛教授提出的数学文化的内涵：从狭义上说，数学文化即数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展过程；从广义上说，除了狭义的內容外，数学文化还包括数学家、数学史、数学美、数学教育、数学发展中的人文成分以及数学与各种文化的关系。
为了方便大家理解，笔者将小学数学教学中的数学文化概括成：数学之史、数学之美、数学之趣、数学之用、数学之思。
（一）数学之史
新课标凸显了数学史的地位和作用，在教材编写建议中明确指出：教材可以适时地介绍有关背景知识，包括数学在自然与社会中的应用以及数学发展史的有关材料，帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，激发学生学习数学的兴趣，感受数学家治学的严谨，欣赏数学的优美。
（二）数学之美
数学的抽象性和广泛性达到了“完美”的和谐与统一，其本身就是一种美。数学之美包含的内容有：数学的简洁与抽象美，即符号美、抽象美、统一美、常数美、守恒美；数学的神奇美，即奇异美、无限美、神秘美、对比美、滑稽美；数与形的和谐之美，即对称美、序列美、节奏美、形式美。
（三）数学之趣
托尔斯泰曾说：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”小学生对数学的喜爱往往是从兴趣开始的。新课标指出：数学教学，要紧密联系学生的生活实际，从学生的生活经验和已有知识出发，创设生动有趣的情境，引导学生开展观察、操作、猜想、推理、交流等活动，使学生通过数学活动，掌握基本的数学知识和技能，初步学会从数学的角度去观察事物、思考问题，激发对数学的兴趣以及产生学好数学的愿望，切实提高小学生学习数学的兴趣。
（四）数学之用
学习数学不只是掌握知识，必须学会应用，实现数学的价值。这就要求小学数学教师在教学中注意培养学生的数学应用意识。应用意识有两个方面的含义，一方面是有意识地利用数学知识，如概念、公式、法则、原理和方法解释现实世界中的现象，解决实际问题；另一方面是认识到现实生活中蕴涵着大量与数和形有关的问题，可以将问题抽象成数学模型并加以解决。因此，数学学习应“生活化”，教师为学生提供应用数学知识的素材，让学生体会数学实际应用的价值，激发学生的创新思维，从而让学生运用数学知识、思想、方法解决生活中的现实问题，提高学生数学学习能力。
（五）数学之思
“数学之思”包括“三思”：数学思想、数学思维、数学思考。 数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。数学思维是对数学对象，如空间形式、数量关系、结构关系等的本质属性和内部规律的间接反映，并按照一般思维规律认识数学内容的理性活动。新课标明确指出数学思维能力主要包括四个方面的内容：（1）会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；（2）会用归纳、演绎和类比进行推理；（3）会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；（4）能运用数学知识、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。新课标对数学思考也提出了以下四个方面的要求：（1）建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维；（2）体会统计方法的意义，发展数据分析观念，感受随机现象；（3）在参与观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动中，发展合情推理和演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；（4）学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式。
笔者站在文化的视角审视数学教学，在课例研究中确定“彰显数学文化”的评价标准是：明鉴数学之史、欣赏数学之美、玩转数学之趣、理解数学之用、感悟数学之思、传播数学文化、领略数学之魅、培养核心素养。
三、数学文化的教育价值
日本的数学家、教育家米山国藏曾说：“学生在初高中学到的数学知识，几乎没有什么机会应用，很快就会忘掉，然而不管他们从事什么业务工作，唯有铭刻于脑际的数学精神和数学思想方法，长期地在他们的生活和工作中发挥着重要作用。”[1]
数学文化的价值主要在于数学对人们观念、精神以及思维方式的养成具有的重要的影响，它具有独特的科学和人文的教育价值。
我们常说“数学是日常生活的工具”“数学是科学技术的基础”，其实这就是数学文化的科学方面的教育价值。学生在数学学习中体会数学实际应用的价值，激发创新思维，运用数学知识、思想、方法解决现实问题和科学问题，提高数学学习能力。
数学文化的人文方面的教育价值体现在“数学是思维的体操”“数学是理性的精神”，这主要是指数学对人的品德的教养、思维的提升、理性的培养和性情的陶冶的意义。
在很多人的意识中，数学教育的功能是为学生提供日常生活的工具、让学生在数学考试中取得好成绩。于是，在数学教育中就存在这样的问题：重“数学生活化”，轻“生活数学化”，造成“数学浅表化”；重数学知识的灌输，轻数学思维的提升、数学思想的感悟，普遍忽视了数学文化的人文方面的教育价值与作用。
四、如何在小学数学课堂中融入数学文化
笔者从理论和实践方面对小学数学教学课例的人文方面的教育价值与作用进行了较深入的研究，率先从狭隘的学科教学目标跳出来，提出了大文化的教学目标：求真、育美、立德、致善。笔者力求引导学生不断地自我加强科学素养、社会文化修养，形成和发展数学核心素养，全面提高学生素质，这也是数学教学改革的重要方向。
（一）求真
数学对人类文明最大的贡献是理性精神。理性精神是一种“推演的精神、逻辑的精神”，是一种求真的精神。发挥数学的文化教育功能，就应积极地培育理性精神、演绎理性力量。
学会思考的重要性不亚于学会知识，它将使学生终身受益。小学数学课程应注重培养学生的数学思维和数学推理，其中包括逻辑思维和辩证思维、合情推理和演绎推理等，让学生学会运用数学的思维方式进行思考。
涵盖归纳、类比、实验、观察、直觉等的合情推理，是得到新结论的方法和途径，是小学生理解和掌握“找规律”时不可或缺的。但是，学生找到的“规律”可能是正确的也可能是错误的，还需要依靠演绎推理去验证。针对演绎推理，新课标提出：（教师）在第一学段和第二学段，可以逐渐渗透给学生知道（演绎推理），在第三学段则应该明确地告诉学生，让学生对此有清醒的认识。
反思这十多年的小学数学课程改革，小学数学教学淡化了数学中的逻辑推理、理性思维，类似于“三角形内角和等于180°”这样的基本定理，有的教材让学生用测量及计算、拼接实验的方法“归纳猜想，发现规律和结论”，不鼓励学生问为什么，不讲证明、不讲道理，数学课就失去了灵魂，这就很难培养学生分析问题与逻辑推理等方面的能力。教育的效果是滞后的，当这一代中小学生长大成人后理性思维能力不强就悔之晚矣。
笔者认为小学数学课堂理性精神是：理性思辨，不感情用事；实事求是，不盲从权威；尊重数据，不弄虚作假；科学严谨，不随欲而为。
[案例1]实验归纳“不完全”
在一节《圆的认识》的公开课上，教师采用“自主尝试—小组交流—全班反馈”的教学方式，让学生在小组内讨论、向全班交流自己探究得到的“圆的性质”，选一个小组代表汇报。
生：我们小组得出了“圆内所有的线段，直径最长”。
师：你们是怎么知道的？
生：我们量出圆内5条线段的长度，直径AB=7.8cm，半径OA=3.9cm，线段CD=4.6cm，线段EF=2.3cm，线段CG=6.3cm。所以，我们发现了“圆周内所有的线段，直径最长”。
师：你们真聪明，老师也没告诉过你，书上没写来的性质你们也能发现！大家齐声拍手表扬她。
师：她发现的这个结论还需要验证吗？
生：道理明摆着，没有必要验证了。（多数学生认同）
师：前些天的一个早上，老师带着一台测量身高的设备在我们学校门口守候了半个小时，测量了57名进校学生的身高，所测量的学生的身高均没达到170cm，于是我们得出一个结论：我们学校的学生的身高都不超过170cm。刚说完就来了一名六年級2班的学生，他的身高是173cm，老师“被打脸”了。为什么老师会“被打脸”呢？
生：你还没量完我们学校所有的学生的身高，你就下结论了。 学生遇到了问题才会去思考。教师安排了“逻辑推理，孕育理性精神”的教学过程，巧妙设疑让学生学会理性思考、形成理性思维、感悟理性的力量，提升学生综合能力和核心素养。
[案例2]直觉的误导
要探究图1中的问题，可建立如图2所示的模型，设铁丝围成圆的半径为R，地球赤道的圆的半径为r，其周长之差为100cm，2πR-2πr=100cm，π≈3.14，R-r ≈[1006.28]≈15.9cm。铁丝与地球赤道之间的间隙有约15.9cm，所以能放进一粒草莓或一个拳头。
这是一个直觉与逻辑不符的例子，希望学生通过学习能体会到：我们完全凭借直觉判断数学结论是不行的，还需要通过计算推理来验证。
[案例3]“眼见未必为实”
（1）有一张8cm×8cm的正方形的纸片，面积是64cm2。把这张纸片按图3所示剪开，把剪出的4个小块按图4所示重新拼合，这样就得到了一个长为13cm，宽为5cm的长方形，面积是65cm2。这是可能的吗？
（2）这是网上流传甚广的一个问题。将图5中上部的三角形切成四部分，之后再重新拼成图5下部的图形，结果发现少了一个小正方形，这是怎么回事？
这两个题目主要让学生自己通过小组合作探究，判断能否完成这样的拼图，进一步感受仅凭观察、猜想、操作、实验验证数学结论是不够的，强调在以后的数学学习中要学会说理。
[案例4]“算理”是通向“算法”的桥梁
学生掌握计算法则关键在于理解。学生既要懂得怎样算，更要懂得为什么要这样算。
如图6所示，在教学“12×14”时，教师通过直观的点子图使学生看到12×14就是求每列12个、共14列的点子图中的“点子”个数，也就是求14个12连加的和是多少。我们可以先求出4列的“点子”个数是多少，即4个12是多少，再求10列的“点子”个数是多少，即10个12是多少，然后把两个和加起来，从而让学生知道，计算乘数是两位数的乘法要分两步乘，第三步是相加，这样使学生看得见、摸得着，例题教学使计算的每一步都成为有意义的操作，学生在操作中理解算理、掌握算法。
提炼算法实际上就是：追求简洁表达，合并计算步骤，书写竖式形式，抽象归纳概括，形成运算法则。
因此，在小学数学教学中对学生进行理性精神的启蒙是非常重要的，不仅能够提高学生对数学学习的积极性和兴趣，而且让学生学会理性思考、形成理性思维、感悟理性的力量，提升学生综合能力和核心素养。
（二）育美
数学具有重要的美育功能，数学美往往是数学创新的动力和追求，学生的数学素养在求美过程中得到发展是一个普遍现象。因此，教师应对学生加强数学美的教育，让学生在学习中发现数学之美、欣赏数学之美、受到数学美的熏陶，在对美的追求中，创造数学之美，提高数学核心素养。“育美”成为了发挥数学文化教育功能的重要途径。
[案例5]守恒永远是美丽的
我们可以通过几何画板动态演示变化中的三角形，如改变三角形边长、内角……不管三角形怎么变化，三角形的内角和总是180°。三角形内角和定理是“守恒之美”的表现。
“变化中的不变”就是规律，找到了这样的规律就可能发现公式、法则、性质；寻找不变量不仅是数学研究的任务，还是科学研究和社会研究的任务；“变化中的不变”也是守恒，守恒永远是美丽的。教师应当让学生在发现和欣赏数学之美中学习“三角形内角和定理”。
[案例6]雪花线的奇异之美
将一个等边三角形的每条边三等分后，在每条边三等分后的中段向外作新的等边三角形，并去掉中段，接着，再将所得图形的每条边三等分，在中段上作等边三角形，去掉中段……不断重复这样的过程，便产生了雪花曲线，如图7。
如果学生只感受到“雪花线”外在的“对称之美”，那就错过了令人惊异的奇异美：它的面积是有限的，而它的周长却是无限的。
（三）立德
《国家中长期教育改革和发展规划纲要（2010-2020年）》和党的十八大报告都提出把立德树人作为教育的根本任务。小学数学教学要进行德育渗透，对学生进行有效的思想品德教育。
[案例7]在“历史的故事”中获得心灵上的震撼
圆周率的认识过程，是人类对数学的认识与发展的具体表现。圆周率吸引了许许多多的中国古代数学家进行长时间的研究，从《周髀算经》到魏晋时期的刘徽，再到公元460年左右的祖冲之，从π≈3到π≈3.14，接着到π≈3.1415926，最后到π≈3.14159265358979……在文化的视角下，学生经历与回顾对圆周率的认识的历史，再现历史瞬间、重演发现过程，由此，学生真切地品味到数学“悠久历史”带来的自豪感、真切地体会到数学家锲而不舍的探索精神、感受到数学的严谨性，学生“思接千年，情寄数学”。
教师在教学中介绍数学家的故事，让学生感受数学家的科学精神；查找数学符号来源，让学生体会科学发明过程；探访历史数学名题，让学生领略数学思想方法的魅力。
数学教学应当充分利用数学史料来还原、再现数学知识的发现过程，揭示知识产生的背景、展示知识形成的过程、预示知识发展的前景，让学生经历知识产生、形成与发展的全过程，充实他们的数学文化底蕴。
中华民族有着灿烂的数学史，教师挖掘小学数学教材中的德育素材，恰当地运用数学史料、趣事，反映中国古代数学方法的突破，介绍我国古代科学家的杰出成就，激发学生的民族自尊心、自信心、自豪感和爱国热情，弘扬民族精神。
[案例8]挖掘数学品质，进行辩证唯物主义观点启蒙教育
我国古代著名思想家墨子曾说：“大圆之圆与小圆之圆同。”意思是说：不管大圓还是小圆，它们的圆周率是相同的。我们也可以将其理解为：千变万化的圆，它的周长与直径的比是一个固定不变的数。与之相似的还有“三角形千变万化，内角和总是180°”。 数学中到处都是变与不变的矛盾统一。数学研究变化，却以找到其中的不变性作为归宿。我们应力求把握纷繁的变化中的不变量和不变性质、领略不变量和不变性的内在魅力，感受数学思想方法充满着的辩证唯物主义观点，彰显数学的智慧之光。
数学教材中各部分知识之间存在着纵向和横向的紧密联系，这些都充满着唯物主义思想和辩证法，教师在教学时要充分利用数学知识的这一特点，对学生进行辩证唯物主义观点的启蒙教育。例如，教师可以围绕数学概念之间的联系，通过大与小、多与少、加与减、乘与除、积与商的变化以及正比例与反比例等内容，渗透对立统一、运动变化的规律。
[案例9]数学是让学生“斤斤计较”吗？
（1）“什么划算？怎么省钱？”
我们常常探讨怎样才能达到“最划算”“最省时间”“最省钱”“最短距离”“最佳效益”等优化问题，我们需要这样算来算去、斤斤计较吗？这样有什么意义呢？
从数学的角度看，“斤斤计较”是数学策略的一种表现方式。研究表明，太能算计的人也是太想得到的人，而太想得到的人，很难轻松地生活。因此，爱“斤斤计较”的人90%以上都患有不同程度的心理疾病。从文化的视角，教师的着眼点应该放高一点来创设恰当的情境，例如：如何选择方便市民出行的最佳道路的建设点、如何利用有限的空间储存或运送更多的货物、如何在降低成本的同时提高效益……
（2）平均分包子
教师给学生展示例题：全班50名学生参加春游，我们带了150个包子平均分给学生，一名学生能分到多少个包子？读完题后有学生提出疑问：我们为什么不能“按需分配”呢？
从数学知识出发，平均分包子是没有错的。但是，教师为什么不能从培养学生人文精神、高尚品质的角度多考虑再创设问题情境呢？
（3）“精明”还是“刁钻”
不少人看过这样一个“笑话”：
顾客：你的醋多少钱一斤？
店主：7角4分。
顾客：7角钱来一斤？
店主：小本生意，要再便宜就不能卖了。
顾客：咦，我就不信了，我就7角钱买你一斤！
于是，顾客用起了四舍五入，一两一两分十次零打。
不学会数学的知识和方法就会产生愚昧，虽然这位顾客“四舍五入”的数学知识掌握得很好、人也很聪明，但是他却用这些知识投机取巧。从人文的角度来看，数学不仅是教会学生知识与方法，更重要的是引导学生用好这些知识与方法。
（四）致善
“至善”是“儒家谓人的道德修养所能达到的最高境界”。笔者所说的“致善”指的是“知道了善的价值与本义，又致力于通过行动去追索、实现它，就可以算得上是至善尽美了”。
知善致善，是为上善。我们经过七年的探索，不断思考“数学的致善精神是什么”，奥运会提出的“更高、更快、更强”给了我们重要启发，我们认为在数学课堂中追求“更普遍的真理、更广泛的应用、更简洁的表达、更美丽的形式、更精确的结果……”就是数学的致善精神、质疑精神、创新精神、进取精神。
[案例10]更普遍的真理
我们通过几何推理得到“三角形内角和为180°”，那么四边形的内角和是多少度呢？五边形呢？
教师引导学生归纳猜想：你发现多边形的内角和与边数之间有什么规律？你能用一个式子表示多边形内角和的计算方法吗？从而引导学生去追求更普遍的真理。
笔者认为，我国古代数学家缺乏这种“致善”精神，错失了在数学史上留下光辉的一笔的机会。我国最早记载勾股定理的是《周髀算经》。书中记载着我国周朝数学家商高在回答周公的问话中提到的“故折矩，勾广三，股修四，经隅五”一句话，即“勾三股四弦五”。
所谓定理，是指人们对自然和社会现象的规律性的认识，而不是某一特例的偶然发现。显然，“勾三股四弦五”只是毕达哥拉斯定理中的一个特例，特例以外还有无穷个直角三角形不能用“勾三股四弦五”来求解。毕达哥拉斯去朋友家做客，他在欣赏镶嵌在地上的地砖的美丽的同时，思考它们和“数”之间的关系，从而发现了等腰直角三角形具有的一个性质；他和他的学生继续探究，终于发现了任意直角三角形三边长度关系的普遍规律，而且完成了对这一规律的几何和逻辑的证明，后人就以毕达哥拉斯的名字将该定理命名为“毕达哥拉斯定理”。为了庆祝这一定理的发现，毕达哥拉斯学派杀了一百头牛酬谢、供奉神灵，因此又有人将这个定理叫做“百牛定理”。虽然商高的发现比毕达哥拉斯的发现早了五百多年，但商高没去探究“更普遍的真理”，因此几千年来，世界数学界一直把直角三角形三边长度关系的规律称为“毕达哥拉斯定理”而不是“商高定理”。尽管2002年世界数学家大会在北京召开，用于证明勾股定理的赵爽弦图被设计成会徵悬挂在会场，勾股定理的命名还是成了一件令中华民族深感无奈和遗憾的事情。
从这件事情上我们深刻了解到发现一个规律或解决一个问题之后去追求“更普遍的真理”的重要性。
[案例11]更广泛的应用
“鸡兔同笼”是我国古代《孙子算经》中一道经典数学题，题目如图9所示，该题一千五百多年来流传甚广，因为它的教育价值和魅力而编入古今中外的数学教材。但是，很多人认为研究鸡兔同笼问题没有价值，很多人回忆起小学学习“鸡兔同笼”时是“痛苦”的。我们的一些小学数学课堂把这样一个魅力无穷的问题教成了这么多人认为这是“变态的数学题”，简直是让人痛心。
要想让数学文化在课堂中自然流淌、让学生感受“鸡兔同笼”问题的无穷魅力，我们首先要弄清“鸡兔同笼”问题的现实意义在哪里、它有什么教育价值。实际上，单纯解决鸡兔同笼问题、得到数学答案，也许真的毫无价值和意义，但是如果我们把它当作一道历史经典名题，当作一个数学模型的趣味情境进行审视，你就会发现它的魅力。
二年级的小朋友也会解决簡单的“鸡兔同笼”问题，他们用的是“画图”的方法，教师可以提问学生：“谁能说说二年级的同学是怎么想的？”原本半懂不懂的学生从直观的画图过程中明白了算理，如图11所示。 我们超越“画腿法”这种具体的感性“数数”解题方法，将其上升为抽象的思想方法与策略，即假设与转化、列式计算，从而建构起解决这类问题的“数学模型”，探究出解决此类问题的“通则通法”，使得“鸡兔同笼”问题在日常生活和生产中有了广泛的应用，例如：工地运来长度分别为8米和5米的水管共25根，用它们一共铺设了173米长的管道，运来两种水管各多少根？
（2）崔永元的疑惑：进水管、出水管？
中央电视台著名主持人崔永元在他的《不过如此》一书中写道：高考结束，我的第一个念头是，从此再不和数学打交道了。38岁生日前一天，我从恶梦中醒来，心狂跳不止。刚才又梦见数学考试了，水池有一个进水管，5小时可注满水池，池底有一个出水管，8小时可以放完满池的水。如果同时打开进水管和出水管，那么多少小时可以把空池注满？呸，神经吧，你到底想注水还是想放水？[2]
其实，很多人都有这样的疑惑，谁家的水池同时注水和出水？这样的题目是数学教师“变态”。
其实生活中这样的例子还真不少。例如：旺季的公园每天很多游客入园游览，相当于打开进水管；过了一段时间，有些游客游玩结束，陆续离开，相当于打开出水管。公园相当于一个大水池，公园容纳的最多游客数就相当于“水池的容量”，公园游客有出有进，相当于既开进水管、又开出水管，旅游旺季进水管比出水管流量大，公园内的人越来越多，工作人员就必须考虑“多久之后公园内的人数达到饱和”这个问题，进公园是否要排队、要排多久队……再例如，考虑地球的人口，出生是“进水”，死亡就是“出水”；一段高速路上的汽车，入口车流是“进水”，出口车流是“出水”……“水池进水管、出水管同时开”并不是故意为难我们而编造出来的“变态”的条件，现实生活中类似这样的例子真不少，这个问题在日常生活和生产中有非常广泛的应用。
[案例12]更美丽的形式
三角形内角和定理是“守恒之美”的表现，陈省身大师一句“三角形内角和等于180°不是一个好命题”激发我们对“美”的更进一步的追求，于是我们发现“n边形的外角和都等于360度”，这是更高层次的守恒，更美丽。
教师应研读并恰当使用小学数学教材中的素材，培养学生的“致善”精神。如“圆周率的认识”中，祖冲之“锲而不舍，刻苦求精”的故事激励学生追求“更精确的结果”；反思我国古代数学家提出的“更相减损术”没能成为现代求最大公因数的方法，而思想、方法相同的古希腊的“辗转相除法”却流芳百世，让学生认识到解决一个问题之后去追求“更简洁的表达”的重要性，养成做完习題后再进一步“优化”“简化”的良好习惯和思维品质。
“真者智力之理想，善者意志之理想，美者感情之理想”。我们的追求，是看到充实、生动、和谐的数学课堂，纵然不能完全做到，然心向往之、教师尽力为之，让数学文化在小学数学教学中自然流淌，努力达到求真、育美、立德、致善的小学数学教育境界。
【参考文献】
[1]米山国藏.数学的精神、思想和方法[M].四川：四川教育出版社，1986
[2]崔永元.不过如此[M].北京：华艺出版社，2001
（责编 刘小瑗）