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摘要：等差数列作为高中数学中的一个重点，在各类题型中均可存在，同时也是高考中的热点问题，因而掌握高中数学等差数列的解题方法对于保证解题效率以及解题准确率具有重要意义。本文结合等差数列实例对快速解题的相关方法进行分析。
关键词：高中数学；等差数列；快速解题法；探究分析
等差数列作为一种具有规律的数学知识，其中蕴含着一定的数学思想，等差数列作为高中数学中的难点，在高中数学知识以及高考中都占有较大的比重，并可在选择题、填空题、判断证明题等不同题目类型中出现。通过对数学等差数列解题方法的分析，进一步加快等差数列相关问题的求解，相关内容分析如下：
一、高中数学等差数列常见题型分析
高中数学等差数列常见题型主要有：（1）证明题，给出某一数列的通项公式，然后证明该数列属于等差数列，或者是给出某些变换后的参数，如对应参数的倒数为等差数列，然后证明参数组合后的数列也是等差数列；（2）填空题，根据某一等差数列，然后计算出前n项和，这种通常比较简单；（3）选择题，给出某一数列的通项公式，其中涉及到未知的常数，当数列满足等差数列时对应未知常数应该满足的关系；（4）综合题，等差数列的综合题通常会和其他数学知识进行融合，比如对数、指数、方程等。综合题对于数学思想以及数学方法的综合应用能力要求较高[1]。
二、高中数学等差数列常用解题方法分析
1、公式定义法。对于部分简单的等差数列问题，在分析和解决过程中可采用已有的等差数列相关公式进行计算或者是证明，根据高中数学等差数列知识可知，等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d，等差数列的前n项和公式为Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2，其中n为正整数。在相关题型分析中，可根据定义以及相关公式进行证明或者是计算。如在证明某数列为等差的时候，根据定义和公式，需要证明an+1-an=an-an-1，这个证明过程就是根据等差数列的定义以及相关公式得出的。
比如：已知logaX，logbX，logcX为等差数列，且X不等于1，证明：1/lga，1/ lgb、1/lgc满足等差数列。
证明过程如下：
根据已知条件logaX，logbX，logcX为等差数列
则logcX-logbX=logbX-logaX
等式转换后得到2logbX=logaX+logcX
两边同取以10为底的对数后得到
2lgx/lgb=lgx（1/lga+1/lgc）
2/lgb=1/lga+1/lgc
1/lgc-1/lgb=1/lgb-1/lga
所以1/lga，1/lgb、1/lgc为等差数列。
2、通项公式法在等差数据中的应用。当通项公式满足an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d的情况下，数列an为等差数列。部分题型中给出的通项公式为求和后的公式，在计算或者是证明过程中还需要进行转化，进而实现对等差数列问题的分析和解决。
比如：已知Sn是数列{an}的前n项和，同时有2an/[Sn（an-Sn）]=1（n>1），a1=1，然后证明{1/Sn}为等差数列，同时计算{an}的通项公式。
证明过程如下：
当n>1时，可知an=Sn-S
将Sn带入上式中
则有2an/[Sn（an-Sn）]=1
整理后有2[Sn-S]/[Sn（Sn-S-Sn）=1
也就是2[Sn-S]/（-SnS）=1
化简后有2[Sn-S]/-SnS=（1/Sn）-1/S=1/2
所以{1/Sn}成等差数列
对应的an通项公式为：1/Sn=1/ S1+1/2（n-1）=（n+1）/2
an=Sn-S=2/（n+1）-2/n=-2/[n（n+1）]
当n=1时，an=1；当n>1时，对应的通项公式为an=-2/[n（n+1）]
3、裂項相消法在等差数列计算中的应用。对于部分数列，本身较为特殊，在证明或者是计算过程中，可通过裂项方法实现对数列的求和，在完成求和后可进一步得出数列的通项公式以及其它需要求证计算的内容。裂项法在运用过程中的本质就是将对数列中的通项或者是某项进行分解，在分解后通过重新组合，在组合过程中可将部分内容消除，这样最终可得到某一数列的求和公式[2-3]。采用裂项消除方法解决实际问题中，需要熟练掌握常用的几种特殊类型。比如：在数列an=1/n（n+1）的前n项和计算过程中。根据给出的数列，有an=1/[n（n+1）]=（1/n）- [1/（n+1）]
此时通过列项后有 Sn=1-（1/2）+（1/2）-（1/3）+（1/3）-（1/4）…+（1/n）- [1/（n+1）]，中间的部分会自然抵消，最终由Sn= 1-1/（n+1）= n/（n+1）
上述数列问题多见于分数类型，在整数类型中，部分等差数列问题也可以采用裂项相消法。如数列an=n（n+1），求数列的前n项和。
在计算过程中根据已知条件，an=n（n+1）=[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]/3，带入参数后有Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]/3，中间部分会抵消，最终Sn= [n（n+1）（n+2）]/3。
当然大多数情况下对应等差数列问题的分析需要综合多种数学思想以及方法，在综合性问题中较为常见，比如等差数列{an}的公差为d，且不为0，前n项和为Sn，同时a4是a3和a7的等比中项。S8=32，然后求解S10，在求解过程中根据上述条件，有a4 2=a3a7，带入参数后（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），最终得到2a1+3d=0，S8=8a1+56d/2，此时有2a1+7d=8，通过方程求解后有a1=-3，d=2，S10=10a1+90d/2=60。
三、结语
等差数列在高中数学学习中占有较大的比例，在等差数列问题解决中，需要根据已知条件，灵活的采用不同解题方法，掌握不同解题方法的基本思路，尤其是在综合类问题中，应掌握某些隐含的知识点以及相关性质，提高等差数列解决效率。
参考文献
[1] 邢辰.浅析数列求和方法[J].亚太教育，2016，（05）：123.
[2] 沈为祥.巧借等差数列凸显妙解之美——例谈学生创新思维的培养[J].读与写（教育教学刊），2012，9，（08）：117-118.
[3] 卢昊佳.高中数学等差数列快速解题法[J].数理化解题研究，2016，（25）：35.
关键词：高中数学；等差数列；快速解题法；探究分析
等差数列作为一种具有规律的数学知识，其中蕴含着一定的数学思想，等差数列作为高中数学中的难点，在高中数学知识以及高考中都占有较大的比重，并可在选择题、填空题、判断证明题等不同题目类型中出现。通过对数学等差数列解题方法的分析，进一步加快等差数列相关问题的求解，相关内容分析如下：
一、高中数学等差数列常见题型分析
高中数学等差数列常见题型主要有：（1）证明题，给出某一数列的通项公式，然后证明该数列属于等差数列，或者是给出某些变换后的参数，如对应参数的倒数为等差数列，然后证明参数组合后的数列也是等差数列；（2）填空题，根据某一等差数列，然后计算出前n项和，这种通常比较简单；（3）选择题，给出某一数列的通项公式，其中涉及到未知的常数，当数列满足等差数列时对应未知常数应该满足的关系；（4）综合题，等差数列的综合题通常会和其他数学知识进行融合，比如对数、指数、方程等。综合题对于数学思想以及数学方法的综合应用能力要求较高[1]。
二、高中数学等差数列常用解题方法分析
1、公式定义法。对于部分简单的等差数列问题，在分析和解决过程中可采用已有的等差数列相关公式进行计算或者是证明，根据高中数学等差数列知识可知，等差数列的通项公式为：an=a1+（n-1）d，等差数列的前n项和公式为Sn=na1+n（n-1）d/2或Sn=n（a1+an）/2，其中n为正整数。在相关题型分析中，可根据定义以及相关公式进行证明或者是计算。如在证明某数列为等差的时候，根据定义和公式，需要证明an+1-an=an-an-1，这个证明过程就是根据等差数列的定义以及相关公式得出的。
比如：已知logaX，logbX，logcX为等差数列，且X不等于1，证明：1/lga，1/ lgb、1/lgc满足等差数列。
证明过程如下：
根据已知条件logaX，logbX，logcX为等差数列
则logcX-logbX=logbX-logaX
等式转换后得到2logbX=logaX+logcX
两边同取以10为底的对数后得到
2lgx/lgb=lgx（1/lga+1/lgc）
2/lgb=1/lga+1/lgc
1/lgc-1/lgb=1/lgb-1/lga
所以1/lga，1/lgb、1/lgc为等差数列。
2、通项公式法在等差数据中的应用。当通项公式满足an=a1+（n-1）d=ak+（n-k）d的情况下，数列an为等差数列。部分题型中给出的通项公式为求和后的公式，在计算或者是证明过程中还需要进行转化，进而实现对等差数列问题的分析和解决。
比如：已知Sn是数列{an}的前n项和，同时有2an/[Sn（an-Sn）]=1（n>1），a1=1，然后证明{1/Sn}为等差数列，同时计算{an}的通项公式。
证明过程如下：
当n>1时，可知an=Sn-S
将Sn带入上式中
则有2an/[Sn（an-Sn）]=1
整理后有2[Sn-S]/[Sn（Sn-S-Sn）=1
也就是2[Sn-S]/（-SnS）=1
化简后有2[Sn-S]/-SnS=（1/Sn）-1/S=1/2
所以{1/Sn}成等差数列
对应的an通项公式为：1/Sn=1/ S1+1/2（n-1）=（n+1）/2
an=Sn-S=2/（n+1）-2/n=-2/[n（n+1）]
当n=1时，an=1；当n>1时，对应的通项公式为an=-2/[n（n+1）]
3、裂項相消法在等差数列计算中的应用。对于部分数列，本身较为特殊，在证明或者是计算过程中，可通过裂项方法实现对数列的求和，在完成求和后可进一步得出数列的通项公式以及其它需要求证计算的内容。裂项法在运用过程中的本质就是将对数列中的通项或者是某项进行分解，在分解后通过重新组合，在组合过程中可将部分内容消除，这样最终可得到某一数列的求和公式[2-3]。采用裂项消除方法解决实际问题中，需要熟练掌握常用的几种特殊类型。比如：在数列an=1/n（n+1）的前n项和计算过程中。根据给出的数列，有an=1/[n（n+1）]=（1/n）- [1/（n+1）]
此时通过列项后有 Sn=1-（1/2）+（1/2）-（1/3）+（1/3）-（1/4）…+（1/n）- [1/（n+1）]，中间的部分会自然抵消，最终由Sn= 1-1/（n+1）= n/（n+1）
上述数列问题多见于分数类型，在整数类型中，部分等差数列问题也可以采用裂项相消法。如数列an=n（n+1），求数列的前n项和。
在计算过程中根据已知条件，an=n（n+1）=[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]/3，带入参数后有Sn=[1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+……+n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]/3，中间部分会抵消，最终Sn= [n（n+1）（n+2）]/3。
当然大多数情况下对应等差数列问题的分析需要综合多种数学思想以及方法，在综合性问题中较为常见，比如等差数列{an}的公差为d，且不为0，前n项和为Sn，同时a4是a3和a7的等比中项。S8=32，然后求解S10，在求解过程中根据上述条件，有a4 2=a3a7，带入参数后（a1+3d）2=（a1+2d）（a1+6d），最终得到2a1+3d=0，S8=8a1+56d/2，此时有2a1+7d=8，通过方程求解后有a1=-3，d=2，S10=10a1+90d/2=60。
三、结语
等差数列在高中数学学习中占有较大的比例，在等差数列问题解决中，需要根据已知条件，灵活的采用不同解题方法，掌握不同解题方法的基本思路，尤其是在综合类问题中，应掌握某些隐含的知识点以及相关性质，提高等差数列解决效率。
参考文献
[1] 邢辰.浅析数列求和方法[J].亚太教育，2016，（05）：123.
[2] 沈为祥.巧借等差数列凸显妙解之美——例谈学生创新思维的培养[J].读与写（教育教学刊），2012，9，（08）：117-118.
[3] 卢昊佳.高中数学等差数列快速解题法[J].数理化解题研究，2016，（25）：35.