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[摘要]对立概念在联系数学中，其含义极为深刻和复杂，是建立集对联系度的基础。本文通过对对立概念的讨论，给出不确定性度量方法和集对、同异反、联系度的定义。
[关键词]集对分析 联系数学 对立 不确定性 联系度
一、引言
不确定性的普遍性完全等同于确定性的普遍性，联系数学（也称集对分析）是由赵克勤在1989年提出的一种旨在对系统不确定性作同异反定量刻画的系统分析方法。该方法已在许多领域得到了应用，并证明用联系数学比用概率论、模糊集理论等方法描述不确定性更实际、更有效[1][2]。所谓集对，是指具有一定联系的两个集合所组成的对子。这里所说的“一定联系”是指对立概念。目前，在联系数学中还没有给出“对立”的定义，因而“集对”的定义就显得很难把握。引入集对概念后，可使确定性和不确定性组成一个确定不确定系统，基本思路是：在具体的问题背景下，对一个集对所具有的特性展开分析，确定集对中的两个集合在哪些特性集上同一，在哪些特性集上对立，在哪些特性集上既不同一，也不对立(即存在差异)，从而得出集对在所讨论问题的背景下的联系度u=a+bi+cj，其中a表示所论两个集合的同一度，b表示所论两个集合的差异度，c表示所论两个集合的对立度，i表示微观不确定性标记，取值范围（-1，1）；j表示对立标记，一般取值-1。容易看出，通过i，j的取值刻画不确定性科学的依据并不十分充分，弄不好，又会回到模糊集理论隶属度所带来的局限性。本文通过对对立概念的剖析，给出由对立概念引起的不确定性的定量度量。
二、联系数学中的不确定性理论
在科学、技术、社会、经济、哲学、思维等诸多领域中，不确定性一直困扰着人们的工作，以至于科学家们不得不创造出各种不确定性理论和方法。到目前为止，人们认识比较清楚的是随机不确定性和模糊不确定性。对应随机不确定性的理论是概率论。概率论强调被观察对象的相对独立性，而事实上常常难以检查这种独立性。对应模糊不确定性的理论是Zadeh的可能性理论，其中的隶属度是该理论的基石，但隶属度的确定常常带有主观性。虽然决策理论对不可判定型不确定、知识挖掘和知识发现对知识不完备型不确定、Agent理论对不可判定型不确定的研究有了许多结果，并产生了一定的积极影响，但仍处于发展初期，有许多问题需要解决。
联系数学中的不确定性理论的基本思想是：不确定是相对于确定而言的，没有确定就没有不确定，反之亦然。确定与不确定共处于一个统一体中，相互联系、相互影响、相互制约，在一定条件下相互转化。当我们从系统的角度去认识确定性与不确定性这对矛盾时，就会发现，确定性与不确定性恰好是一个确定不确定系统，确定是相对的，不确定是绝对的，把事物的确定性分成同一与对立两个侧面（在联系数学中用a，c刻画），不确定性分为宏观和微观两个层次（在联系数学中用b，i，j刻画）。
三、对立概念的定义
同一、对立是人们在进行科学理论思维时必不可少的重要概念。一般认为，同一就是等同、合一的意思，对立是相反的意思。在集对分析中的对立概念，不仅仅指矛盾的一方，而且还表示相对的一方、有联系的一方、互补的一方。
我们把对立分为五种类型，但没有给出详尽的说明，为此，说明如下:
反比型对立：目前叫倒数型对立，我们认为倒数的要求过于苛刻，实际上反比型对立描述了通常所说的“取长补短”，如：好坏。
互否型对立：目前叫有无型对立，从概念的内涵看，有无和互否都是描述“水火不容”一类对立概念，故互否和有无是一致的，为定量刻画“水火不容”叫互否更自然些。“赞成反对”就是互否型对立概念。
相反型对立：目前叫正负型对立，它描述了人们通常所说的“殊途同归”一类对立概念，即集对的成员类型是相同的，只是取值的方向相反，如：盈亏。所以叫相反型对立自然些。
互补型对立：要求对立的双方“相辅相成”，如：男女。
共轭型对立：目前叫虚实型对立。要求对立的双方，一方是虚构的，另一方是存在的，如：精神物质。为方便数学上的描述我们叫共轭型对立。
四、由对立概念引起的不确定性的度量
根据联系数学中的不确定性理论，不确定性也分为五种类型，那么不确定性五种类型和对立的五种类型是否有对应关系呢？回答是肯定的。这种回答实际上，也就给出了由对立概念引起的不确定性的度量。在下面叙述中，x、y表示不确定性（差异度）进行分解时用到的对立概念，这里的分解就是把不确定性转化为确定性的过程。
反比型对立可用方程y=b/x描述，b为差异度，导致的不确定性是模糊型不确定。当对b进行纵向分解时，同一度增加，对立度则以反比的速度减少，反之亦然。
互否型对立可用方程y=﹁x描述（﹁x为x的否定）。导致的不确定性是随机型不确定。当对b进行纵向分解时，只能分解那些互为否定的属性。
相反型对立可用方程y=–x描述（–表示方向）。导致的不确定性是不可判定型不确定。当对b进行纵向分解时，要按照不确定性意向进行分解，较难。
互补型对立可用方程y∧x=φ，且y∨x=b（∧为交运算，∨为并运算，φ为空集）描述。导致的不确定性是信息不完全型不确定。当对b进行纵向分解时，只要分解完一方，则余下的就是另一方，这种分解相对来讲较易。
共轭型对立可用方程x·y=︱x︱·︱y︱（︱x︱为x的模）描述。导致的不确定性是不知道型不确定。当对b进行纵向分解时，如分解到同一度a1+b1j，则a1-b1j就是分解到的对立度，此时j=√-1。
如果把同异反看作一个三维坐标系，i，j，k分别表示差异度、对立度、同一度标记。由限制条件a+b+c=1，可知联系度u的解空间是第Ⅰ象限内的平面a+b+c=1。对不确定性度量的目标是分解b，使得同一度尽量地大，若给定问题的联系度为A点，则B点是理想的目标，问题求解过程就是找到与B点最近的一点（图1）。
五、联系数学中的基本概念
定义1：如果两个概念x、y满足下面条件之一，则x、y为对立概念，记为x!y：
1)y=k/x，（k为不等零的常数）。
2)y=﹁x
3)y=–x
4)y∧x=φ，且y∨x=b
5)x·y=︱x︱·︱y︱
实际中，第5种类型的对立概念不常用。
定理1：若x!y，则y!x。（证明从略，下同）
定义2：A，B为集合，如果某一概念Z使A，B之间发生联系，称A，B之间存在概念映射，记为A< z >B，映射的像记为B|z。
定义3：A，B为集合，若存在x!y，使得A< x >B（或A< y >B），则称A，B为x!y下的集对（简称集对），记为SPx!y(A,B)，或简记为SP(A,B)。
由定义3知，SPx!y(A,B)是一个系统，A，B之间存在内在的对立关系。
定理2：给定SP(A,B)，A，B之间至少存在两个概念映射。
定义4：给定SPx!y(A,B)和问题的目标T，若B|x与T一致，则称与概念x一致的程度a=B|x为SPx!y(A,B)的同一度，与概念y一致的程度c=B|y为SPx!y(A,B)的对立度，b=1-a-c为SPx!y(A,B)的差异度。a、b、c简称为SPx!y(A,B)的同异反。
定理3：a+b+c=1。
定理4：给定SPx!y(A,B)和问题的目标T，B|x和B|y至少有一个与T一致。
定义5：给定SPx!y(A,B)和同异反，则称u(A,B,x)=a+bi+cj
为A，B的联系度。在不引起混淆的情况下，简记：u=a+bi+cj
i表示微观不确定性标记，取值范围[-1,1]，j表示由对立引起的宏观不确定性标记。i的含义及其度量另文讨论，在讨论j的度量之前，先看几个示例：
例1：根据以往的经验，在这个季节下雨的概率为0.7，描述明天下雨的可能性。
A={在这个季节以往下雨的经验}； B={明天的天气}；
x=“下雨”；
T=“明天下雨的程度”；
u(A,B,x)=0.7+0.3i
0.3是随机型不确定程度。
例2：某企业的技术改造方案，经过职工代表大会讨论评议，结果1/2的人赞同、1/3的人反对、1/6的人弃权，描述方案评议结果。
A={方案};B={评议者}； x=“赞同”； T=“赞同方案的程度”；
u(A,B,x)=1/2+（1/6）i+（1/3）j
1/6是不可判定型不确定程度。
例3：桌子上有10只苹果，拿走7只。描述桌子上苹果状态。
A={苹果}； B={人}； x=“拿”； T=“拿走苹果的程度”；
u(A,B,x)=0.7+0.3j
0.3是互补型不确定程度。
例4：树上有10只鸟，射中7只，描述树上鸟的状态。
A={鸟}； B={人}； x=“射中”； T=“树上鸟的程度”；
u(A,B,x)=0.3i+0.7j
0.3是虚实型不确定程度。
例5：如果100岁算年老，问60岁的人算多大程度的年老。
A={60歲的人}； B={100岁的人}； x=“年老”； T=“60岁年老的程度”；
u(A,B,x)=0.6i+0.4j
0.4是模糊型不确定程度。
六、结束语
不确定性是自然界和人类社会中普遍存在的一种客观现象，联系数学对不确定性的处理与概率论、模糊数学等理论对不确定性的处理方法不同，不是把不确定性转化为确定性来加以研究，而是把不确定性与确定性组成一个系统来加以研究。
参考文献
[1]王志军等.联系数与系统的显著性检验[J].系统工程.1997(5)
[2]刘斌.多目录系统决策的模糊集对分析[J].系统工程理论与实践.1997(12)
[3]赵克勤.集对分析及其初步应用[M].杭州：浙江科学技术出版社.2000年.
[关键词]集对分析 联系数学 对立 不确定性 联系度
一、引言
不确定性的普遍性完全等同于确定性的普遍性，联系数学（也称集对分析）是由赵克勤在1989年提出的一种旨在对系统不确定性作同异反定量刻画的系统分析方法。该方法已在许多领域得到了应用，并证明用联系数学比用概率论、模糊集理论等方法描述不确定性更实际、更有效[1][2]。所谓集对，是指具有一定联系的两个集合所组成的对子。这里所说的“一定联系”是指对立概念。目前，在联系数学中还没有给出“对立”的定义，因而“集对”的定义就显得很难把握。引入集对概念后，可使确定性和不确定性组成一个确定不确定系统，基本思路是：在具体的问题背景下，对一个集对所具有的特性展开分析，确定集对中的两个集合在哪些特性集上同一，在哪些特性集上对立，在哪些特性集上既不同一，也不对立(即存在差异)，从而得出集对在所讨论问题的背景下的联系度u=a+bi+cj，其中a表示所论两个集合的同一度，b表示所论两个集合的差异度，c表示所论两个集合的对立度，i表示微观不确定性标记，取值范围（-1，1）；j表示对立标记，一般取值-1。容易看出，通过i，j的取值刻画不确定性科学的依据并不十分充分，弄不好，又会回到模糊集理论隶属度所带来的局限性。本文通过对对立概念的剖析，给出由对立概念引起的不确定性的定量度量。
二、联系数学中的不确定性理论
在科学、技术、社会、经济、哲学、思维等诸多领域中，不确定性一直困扰着人们的工作，以至于科学家们不得不创造出各种不确定性理论和方法。到目前为止，人们认识比较清楚的是随机不确定性和模糊不确定性。对应随机不确定性的理论是概率论。概率论强调被观察对象的相对独立性，而事实上常常难以检查这种独立性。对应模糊不确定性的理论是Zadeh的可能性理论，其中的隶属度是该理论的基石，但隶属度的确定常常带有主观性。虽然决策理论对不可判定型不确定、知识挖掘和知识发现对知识不完备型不确定、Agent理论对不可判定型不确定的研究有了许多结果，并产生了一定的积极影响，但仍处于发展初期，有许多问题需要解决。
联系数学中的不确定性理论的基本思想是：不确定是相对于确定而言的，没有确定就没有不确定，反之亦然。确定与不确定共处于一个统一体中，相互联系、相互影响、相互制约，在一定条件下相互转化。当我们从系统的角度去认识确定性与不确定性这对矛盾时，就会发现，确定性与不确定性恰好是一个确定不确定系统，确定是相对的，不确定是绝对的，把事物的确定性分成同一与对立两个侧面（在联系数学中用a，c刻画），不确定性分为宏观和微观两个层次（在联系数学中用b，i，j刻画）。
三、对立概念的定义
同一、对立是人们在进行科学理论思维时必不可少的重要概念。一般认为，同一就是等同、合一的意思，对立是相反的意思。在集对分析中的对立概念，不仅仅指矛盾的一方，而且还表示相对的一方、有联系的一方、互补的一方。
我们把对立分为五种类型，但没有给出详尽的说明，为此，说明如下:
反比型对立：目前叫倒数型对立，我们认为倒数的要求过于苛刻，实际上反比型对立描述了通常所说的“取长补短”，如：好坏。
互否型对立：目前叫有无型对立，从概念的内涵看，有无和互否都是描述“水火不容”一类对立概念，故互否和有无是一致的，为定量刻画“水火不容”叫互否更自然些。“赞成反对”就是互否型对立概念。
相反型对立：目前叫正负型对立，它描述了人们通常所说的“殊途同归”一类对立概念，即集对的成员类型是相同的，只是取值的方向相反，如：盈亏。所以叫相反型对立自然些。
互补型对立：要求对立的双方“相辅相成”，如：男女。
共轭型对立：目前叫虚实型对立。要求对立的双方，一方是虚构的，另一方是存在的，如：精神物质。为方便数学上的描述我们叫共轭型对立。
四、由对立概念引起的不确定性的度量
根据联系数学中的不确定性理论，不确定性也分为五种类型，那么不确定性五种类型和对立的五种类型是否有对应关系呢？回答是肯定的。这种回答实际上，也就给出了由对立概念引起的不确定性的度量。在下面叙述中，x、y表示不确定性（差异度）进行分解时用到的对立概念，这里的分解就是把不确定性转化为确定性的过程。
反比型对立可用方程y=b/x描述，b为差异度，导致的不确定性是模糊型不确定。当对b进行纵向分解时，同一度增加，对立度则以反比的速度减少，反之亦然。
互否型对立可用方程y=﹁x描述（﹁x为x的否定）。导致的不确定性是随机型不确定。当对b进行纵向分解时，只能分解那些互为否定的属性。
相反型对立可用方程y=–x描述（–表示方向）。导致的不确定性是不可判定型不确定。当对b进行纵向分解时，要按照不确定性意向进行分解，较难。
互补型对立可用方程y∧x=φ，且y∨x=b（∧为交运算，∨为并运算，φ为空集）描述。导致的不确定性是信息不完全型不确定。当对b进行纵向分解时，只要分解完一方，则余下的就是另一方，这种分解相对来讲较易。
共轭型对立可用方程x·y=︱x︱·︱y︱（︱x︱为x的模）描述。导致的不确定性是不知道型不确定。当对b进行纵向分解时，如分解到同一度a1+b1j，则a1-b1j就是分解到的对立度，此时j=√-1。
如果把同异反看作一个三维坐标系，i，j，k分别表示差异度、对立度、同一度标记。由限制条件a+b+c=1，可知联系度u的解空间是第Ⅰ象限内的平面a+b+c=1。对不确定性度量的目标是分解b，使得同一度尽量地大，若给定问题的联系度为A点，则B点是理想的目标，问题求解过程就是找到与B点最近的一点（图1）。
五、联系数学中的基本概念
定义1：如果两个概念x、y满足下面条件之一，则x、y为对立概念，记为x!y：
1)y=k/x，（k为不等零的常数）。
2)y=﹁x
3)y=–x
4)y∧x=φ，且y∨x=b
5)x·y=︱x︱·︱y︱
实际中，第5种类型的对立概念不常用。
定理1：若x!y，则y!x。（证明从略，下同）
定义2：A，B为集合，如果某一概念Z使A，B之间发生联系，称A，B之间存在概念映射，记为A< z >B，映射的像记为B|z。
定义3：A，B为集合，若存在x!y，使得A< x >B（或A< y >B），则称A，B为x!y下的集对（简称集对），记为SPx!y(A,B)，或简记为SP(A,B)。
由定义3知，SPx!y(A,B)是一个系统，A，B之间存在内在的对立关系。
定理2：给定SP(A,B)，A，B之间至少存在两个概念映射。
定义4：给定SPx!y(A,B)和问题的目标T，若B|x与T一致，则称与概念x一致的程度a=B|x为SPx!y(A,B)的同一度，与概念y一致的程度c=B|y为SPx!y(A,B)的对立度，b=1-a-c为SPx!y(A,B)的差异度。a、b、c简称为SPx!y(A,B)的同异反。
定理3：a+b+c=1。
定理4：给定SPx!y(A,B)和问题的目标T，B|x和B|y至少有一个与T一致。
定义5：给定SPx!y(A,B)和同异反，则称u(A,B,x)=a+bi+cj
为A，B的联系度。在不引起混淆的情况下，简记：u=a+bi+cj
i表示微观不确定性标记，取值范围[-1,1]，j表示由对立引起的宏观不确定性标记。i的含义及其度量另文讨论，在讨论j的度量之前，先看几个示例：
例1：根据以往的经验，在这个季节下雨的概率为0.7，描述明天下雨的可能性。
A={在这个季节以往下雨的经验}； B={明天的天气}；
x=“下雨”；
T=“明天下雨的程度”；
u(A,B,x)=0.7+0.3i
0.3是随机型不确定程度。
例2：某企业的技术改造方案，经过职工代表大会讨论评议，结果1/2的人赞同、1/3的人反对、1/6的人弃权，描述方案评议结果。
A={方案};B={评议者}； x=“赞同”； T=“赞同方案的程度”；
u(A,B,x)=1/2+（1/6）i+（1/3）j
1/6是不可判定型不确定程度。
例3：桌子上有10只苹果，拿走7只。描述桌子上苹果状态。
A={苹果}； B={人}； x=“拿”； T=“拿走苹果的程度”；
u(A,B,x)=0.7+0.3j
0.3是互补型不确定程度。
例4：树上有10只鸟，射中7只，描述树上鸟的状态。
A={鸟}； B={人}； x=“射中”； T=“树上鸟的程度”；
u(A,B,x)=0.3i+0.7j
0.3是虚实型不确定程度。
例5：如果100岁算年老，问60岁的人算多大程度的年老。
A={60歲的人}； B={100岁的人}； x=“年老”； T=“60岁年老的程度”；
u(A,B,x)=0.6i+0.4j
0.4是模糊型不确定程度。
六、结束语
不确定性是自然界和人类社会中普遍存在的一种客观现象，联系数学对不确定性的处理与概率论、模糊数学等理论对不确定性的处理方法不同，不是把不确定性转化为确定性来加以研究，而是把不确定性与确定性组成一个系统来加以研究。
参考文献
[1]王志军等.联系数与系统的显著性检验[J].系统工程.1997(5)
[2]刘斌.多目录系统决策的模糊集对分析[J].系统工程理论与实践.1997(12)
[3]赵克勤.集对分析及其初步应用[M].杭州：浙江科学技术出版社.2000年.