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[摘 要] 为提高金融波动率的预测精度，用极差估算股指波动率，建立了基于最小二乘小波支持向量机（LS-WSVM）的波动率预测模型，以上证综指和深证成指的日数据、周数据和月数据为数据样本，通过LL、NMSE、NMAE指标验证了LS-WSVM在波动率预测方面的有效性。结果表明，LS-WSVM用于波动率预测是有效的，对不同频率波动率的预测精度优于高斯核LS-SVM，在预测较低频率波动率中表现更好，不同小波核之间的预测精度相差不大。
[关键词] 波动率；预测；最小二乘小波支持向量机
doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 01. 042
[中图分类号] F830.9；TP183 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）01- 0104- 04
1 前 言
金融衍生品定价、资产组合配置、金融风险测度及管理都离不开对波动率的准确预测。对波动率的准确预测，一方面有助于研究者进行资产定价、套利定价和期权定价的理論研究，另一方面有助于市场监管者对金融市场运行质量进行准确评估，同时又有助于投资者对投资组合进行合理配置，有效规避投资风险。为此，国内外学者不断提出各种方法提高波动率的预测准确性。Engle和Bollerslev提出的自回归条件异方差类模型[1-2]及其扩展形式以资产收益的条件方差估计波动率，能够较好地刻画波动率的各种特征，在波动率预测中占有重要地位。
为进一步提高波动率的预测精度，Donaldson等[3]将神经网络（NN）与GARCH模型相结合预测股指波动率，Taylor[4]、Tae[5]分别利用NN预测股指波动率。这些研究证实，NN可以在一定程度上改善波动率的预测效果。但神经网络以经验风险最小化作为计算准则，在理论上存在三个问题：网络结构难以确定、存在局部极小值、收敛速度慢。由Vapnik提出的支持向量机（SVM）[6]是当前重要的机器学习算法之一，有效解决了神经网络遇到的问题。SVM的本质是求解一个带约束条件的凸二次规划问题，通过结构风险最小化准则，兼顾了学习算法的经验风险和泛化能力，在非线性回归和预测中表现优越。Perez-Cruz[7]利用SVM估计GARCH模型，进而提高了波动率的预测精度；Gavrishchaka[8]证实SVM的波动率预测效果优于“主流”波动率模型；陈诗一等[9]、王保华等[10]分别将SVM应用于波动率预测研究，证明了SVM的有效性。汤凌冰[11]利用小波核提高SVM非线性逼近能力，实证研究表明，基于小波核的SVM较基于RBF核的SVM具有更高的波动率预测精度。SVM算法的复杂性取决于数据样本的个数，样本越多，相应二次规划问题求解越复杂，计算效率越低。
最小二乘支持向量机（LS-SVM）是SVM的一种扩展形式[12]，将最小二乘算法引入到SVM中，取代了SVM的二次优化算法，通过定义拉格朗日函数，并结合最优条件，将SVM中的二次规划优化变换为线性方程求解，从而降低了算法的复杂性，提高了计算效率。Geng[13]成功地将LS-SVM应用于波动率预测研究。
核函数是LS-SVM模型的关键，LS-SVM的预测性能取决于核函数的选择。以高斯核函数为代表的常见核函数，在回归分析表现出较好的映射性能。但研究发现，这些已有核函数不能使LS-SVM逼近平方可积空间L2（R2）上的任意函数，致使LS-SVM 无法逼近任意的目标函数[14]。
最小二乘小波支持向量机（LS-WSVM）以小波核为核函数，利用小波函数的多分辨率提高LS-SVM的非线性处理能力[15]，在模式识别和非线性函数逼近等方面获得应用。目前LS-WSVM在波动率预测领域的应用很少，本文将LS-WSVM应用于波动率预测研究，通过对上证综指和深证成指不同频率波动率的实证分析，检验LS-WSVM的有效性。
2 波动率的最小二乘小波支持向量机
金融经济学研究中通常以方差估计资产收益的波动率。Parkinson证实极差能够捕捉到更多金融市场的变化信息，以极差估计波动率要比传统的样本方差估计更有效[16]。极差Rt定义为：
Rt=100×（log Pt，high-log Pt，low）（1）
其中，Pt，high与Pt，low分别为t时刻资产的最高交易价与最低交易价。为了获得更多数据变化信息，本文以当期和前4期极差的算术平均值估算波动率λt：
lt=Rt-k（2）
采用LS-WSVM算法建立波动率预测模型时，为减少预测误差的累积，利用当期波动率预测下一期波动率，即LS-WSVM的输入为当期波动率，输出为下一期波动率。设波动率时间序列为∧={λ1，λ2，…，λn}，λt≥0，t=1，2，…，n，n为样本个数，LS-WSVM通过非线性映射函数φ（ ），在高维特征空间中建立线性回归模型为：
λt 1=ωTφ（λt） b，t=1，2，…，n-1（3）
其中λt，λt 1∈R分别表示输入和输出变量，T表示“转置”运算，ω，b分别表示权向量和阈值。根据结构风险最小化原理，LS-WSVM预测可表述为最优化问题：
J（ω，b，e）=||ω||2 et2（4）
式（4）中目标函数的第1项表示正则化项，第2项表示经验误差项，正则化参数γ用来调整正则化项和经验误差项之间的平衡，et∈R表示误差。为求解以上优化问题，引入Lagrange乘子αt∈R，t=1，2，…，n-1，构建Lagrange函数：
L（ω，b，e，α）=J（ω，b，e）-αt（ωTφ（λt） b et-λt 1（5）
由Karush-Kuhn-Tucker条件，Lagrange函数分别对ω，b，e，α求偏导数并等于零，得到： ω=-αtφ（λt）αt=0λt 1=ωTφ（λt） b etγet=αt，t=1，2，…，n-1（6）
消去式（6）中的ω和e，可得到一组线性方程组：
0 HTH Ω I/γba=01（7）
其中：H=[x2，x3，…，xn]T，Ωj=HtHjK（λt，λj），t，j=1，2，…，n-1。I为n-1阶单位矩阵，α=[α1，…，αn-1]T，1=[1，1，…，1]。求解线性方程组获得a和b值，LS-WSVM回归模型为：
λt 1=αjK（λt，λj） b（8）
其中，K（λt，λj）为核函数，K（λt，λj）=φ（λt）Tφ（λj），其形式决定了非线性映射函数和特征空间的结构，选择合适的核函数成为提高LS-SVM性能的关键。由于波动率序列复杂多变，高斯核等常用核函数难以刻画波动率的复杂变化特征。
核函数构建定理指出，满足Mercer定理的平移不变小波核函数是允许的支持向量核函数[17]。现已证实，Mexican母小波、DOG母小波、Morlet母小波等都可构造出平移不变小波核函数。本文选取Mexican小波核作为核函数，具体形式如下：
K（xt，xj）=1-exp-（9）
其中，d为平移尺度因子，为伸缩因子。则Mexican小波核LS-SVM预测模型为：
t 1=αj1-exp- b（10）
3 实证研究
3.1 数据的选取
将上证综指（SHCI）和深证成指（SZCI）的日数据、周数据和月数据作为样本进行实证分析，其中，选取2009年1月5日到2013年3月15日的每日观测值作为日数据样本，共1 019组数据序列；选取2005年1月7日到2013年3月15日的每周观测值作为周数据样本，共411组数据序列；选取1991年4月30日到2013年2月28日的每月观测值作为月数据样本，共263组数据序列。按式（1）和式（2）分别计算出日波动率、周波动率和月波动率，样本总数分别为1 015个、407个和259个。
3.2 网络学习及预测
为提高LS-WSVM的收敛速度，先对三组数据样本进行归一化处理，再分别将三组数据样本分为训练样本和测试样本。对日波动率，取前715个数据作为训练样本，后300个数据作为测试样本；对周波动率，取前287个数据作为训练样本，后120个数据作为测试样本；对月波动率，取前163个数据作为训练样本，后96个数据作为测试样本。
为比较LS-WSVM的有效性，利用以高斯函数为核函数的LS-SVM模型（LS-SVM）预测SHCI和SZCI不同频率的波动率，将预测结果与LS-WSVM的预测结果进行比较。
3.3 预测性能评价指标
选取对数误差统计量（LL）、正则均方误差（NMSE）和正则均值绝对误差（NMAE）评价模型的预测性能，分别定义如下：
LL=N-1ln（t）-ln（Rt）2（11）
NMSE=（12）
NMAE=（13）
其中，N为预测样本个数，t为预测的波动率，Rt为实际波动率。以上指标值越小，表明模型预测性能越好。
3.4 結果分析
LS-WSVM和LS-SVM分别对SHCI和SZCI的日波动率、周波动率和月波动率预测结果见表1、表2和表3。SHCI中，LS-WSVM对不同频率波动率的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的对应值； SZCI中，除周波动率的NMAE外，LS-WSVM的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的对应值，表明整体上LS-WSVM对三种不同频率波动率的预测精度优于LS-SVM。计算LS-WSVM和LS-SVM对应的预测性能评价指标差值，通过差值比较不同频率波动率的预测效果。在三种不同频率波动率中，LS-WSVM对月波动的预测效果最好，差值在0.000 3～0.001 7之间；对周波动的预测效果次之，差值在0.000 1～0.001 5之间；对日波动率的预测效果最差，差值在0～0.000 3之间。
图1、图2给出了LS-WSVM和LS-SVM分别对SHCI和SZCI不同频率波动率的预测结果曲线图。由两图可看出，LS-WSVM和LS-SVM都较好地预测了SHCI和SZCI不同频率波动率的变化趋势，LS-WSVM较LS-SVM更准确地预测出了较低频率波动率的某些极值。
另选取DOG小波核、Morlet小波核作为LS-SVM核函数，分别对SHCI和SZCI的不同频率波动率进行预测，形式如下：三种不同小波核LS-SVM的波动率预测结果如表4、5、6所示。由三表可知，小波核LS-SVM在不同频率波动率预测精度方面优于高斯核LS-SVM，不同小波核之间的预测精度相差不大。
4 结 语
本文建立了基于小波核的最小二乘支持向量机波动率预测模型（LS-WSVM），利用上证综指和深证成指不同频率的实际交易数据样本，以LL、NMSE、NMAE检验其有效性。实证研究结果表明，从提高波动率预测精度角度，采用小波核LS-SVM比高斯核LS-SVM更有效，LS-WSVM对较低频率波动率具有更好的预测效果。
主要参考文献
[1]Engle R F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation[J]. Econometrica， 1982， 50： 987-1008.
[2]Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics， 1986， 31： 307-327. [3]Donaldson R G， Kamstra M. An Artificial Neural Network-GARCH Model for International Stock Return Volatility[J]. Journal of Empirical Finance， 1997， 4： 17-46.
[4]Taylor J W. A Quantile Regression Neural Network Approach to Estimating the Conditional Density of Multiperiod Returns[J]. Journal of Forecasting， 2000， 19： 299-311.
[5]Tae H R. Forecasting the Volatility of Stock Price Index[J]. Expert Systems with Applications， 2007， 33： 916-922.
[6]Vapnik V N. An Overview of Statistical Learning Theory[J]. IEEE Transactions on Neural Networks， 1999， l0（5）： 988-999.
[7]Perez-Cruz F， Afonso-Rodriguez J A， Giner J. Estimating GARCH Models Using Support Vector Machines[J]. Quantitative Finance， 2003， 3： 1-10.
[8]Gavrishchaka V V，Supriya Banerjee. Support Vector Machine as an Efficient Framework for Stock Market Volatility Forecasting[J].Computational Management Science， 2006， 3：147-160.
[9]Chen S Y， H？覿rdle W K， Jeong K. Forecasting Volatility with Support Vector Machine-based GARCH Model[J]. Journal of Forecasting， 2010， 29（4）：406-433.
[10]Wang B H， Huang H J， Wang X L. A Support Vector Machine Based MSM Model for Financial Short-term Volatility Forecasting[J]. Neural Computing
[关键词] 波动率；预测；最小二乘小波支持向量机
doi ： 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2018. 01. 042
[中图分类号] F830.9；TP183 [文献标识码] A [文章编号] 1673 - 0194（2018）01- 0104- 04
1 前 言
金融衍生品定价、资产组合配置、金融风险测度及管理都离不开对波动率的准确预测。对波动率的准确预测，一方面有助于研究者进行资产定价、套利定价和期权定价的理論研究，另一方面有助于市场监管者对金融市场运行质量进行准确评估，同时又有助于投资者对投资组合进行合理配置，有效规避投资风险。为此，国内外学者不断提出各种方法提高波动率的预测准确性。Engle和Bollerslev提出的自回归条件异方差类模型[1-2]及其扩展形式以资产收益的条件方差估计波动率，能够较好地刻画波动率的各种特征，在波动率预测中占有重要地位。
为进一步提高波动率的预测精度，Donaldson等[3]将神经网络（NN）与GARCH模型相结合预测股指波动率，Taylor[4]、Tae[5]分别利用NN预测股指波动率。这些研究证实，NN可以在一定程度上改善波动率的预测效果。但神经网络以经验风险最小化作为计算准则，在理论上存在三个问题：网络结构难以确定、存在局部极小值、收敛速度慢。由Vapnik提出的支持向量机（SVM）[6]是当前重要的机器学习算法之一，有效解决了神经网络遇到的问题。SVM的本质是求解一个带约束条件的凸二次规划问题，通过结构风险最小化准则，兼顾了学习算法的经验风险和泛化能力，在非线性回归和预测中表现优越。Perez-Cruz[7]利用SVM估计GARCH模型，进而提高了波动率的预测精度；Gavrishchaka[8]证实SVM的波动率预测效果优于“主流”波动率模型；陈诗一等[9]、王保华等[10]分别将SVM应用于波动率预测研究，证明了SVM的有效性。汤凌冰[11]利用小波核提高SVM非线性逼近能力，实证研究表明，基于小波核的SVM较基于RBF核的SVM具有更高的波动率预测精度。SVM算法的复杂性取决于数据样本的个数，样本越多，相应二次规划问题求解越复杂，计算效率越低。
最小二乘支持向量机（LS-SVM）是SVM的一种扩展形式[12]，将最小二乘算法引入到SVM中，取代了SVM的二次优化算法，通过定义拉格朗日函数，并结合最优条件，将SVM中的二次规划优化变换为线性方程求解，从而降低了算法的复杂性，提高了计算效率。Geng[13]成功地将LS-SVM应用于波动率预测研究。
核函数是LS-SVM模型的关键，LS-SVM的预测性能取决于核函数的选择。以高斯核函数为代表的常见核函数，在回归分析表现出较好的映射性能。但研究发现，这些已有核函数不能使LS-SVM逼近平方可积空间L2（R2）上的任意函数，致使LS-SVM 无法逼近任意的目标函数[14]。
最小二乘小波支持向量机（LS-WSVM）以小波核为核函数，利用小波函数的多分辨率提高LS-SVM的非线性处理能力[15]，在模式识别和非线性函数逼近等方面获得应用。目前LS-WSVM在波动率预测领域的应用很少，本文将LS-WSVM应用于波动率预测研究，通过对上证综指和深证成指不同频率波动率的实证分析，检验LS-WSVM的有效性。
2 波动率的最小二乘小波支持向量机
金融经济学研究中通常以方差估计资产收益的波动率。Parkinson证实极差能够捕捉到更多金融市场的变化信息，以极差估计波动率要比传统的样本方差估计更有效[16]。极差Rt定义为：
Rt=100×（log Pt，high-log Pt，low）（1）
其中，Pt，high与Pt，low分别为t时刻资产的最高交易价与最低交易价。为了获得更多数据变化信息，本文以当期和前4期极差的算术平均值估算波动率λt：
lt=Rt-k（2）
采用LS-WSVM算法建立波动率预测模型时，为减少预测误差的累积，利用当期波动率预测下一期波动率，即LS-WSVM的输入为当期波动率，输出为下一期波动率。设波动率时间序列为∧={λ1，λ2，…，λn}，λt≥0，t=1，2，…，n，n为样本个数，LS-WSVM通过非线性映射函数φ（ ），在高维特征空间中建立线性回归模型为：
λt 1=ωTφ（λt） b，t=1，2，…，n-1（3）
其中λt，λt 1∈R分别表示输入和输出变量，T表示“转置”运算，ω，b分别表示权向量和阈值。根据结构风险最小化原理，LS-WSVM预测可表述为最优化问题：
J（ω，b，e）=||ω||2 et2（4）
式（4）中目标函数的第1项表示正则化项，第2项表示经验误差项，正则化参数γ用来调整正则化项和经验误差项之间的平衡，et∈R表示误差。为求解以上优化问题，引入Lagrange乘子αt∈R，t=1，2，…，n-1，构建Lagrange函数：
L（ω，b，e，α）=J（ω，b，e）-αt（ωTφ（λt） b et-λt 1（5）
由Karush-Kuhn-Tucker条件，Lagrange函数分别对ω，b，e，α求偏导数并等于零，得到： ω=-αtφ（λt）αt=0λt 1=ωTφ（λt） b etγet=αt，t=1，2，…，n-1（6）
消去式（6）中的ω和e，可得到一组线性方程组：
0 HTH Ω I/γba=01（7）
其中：H=[x2，x3，…，xn]T，Ωj=HtHjK（λt，λj），t，j=1，2，…，n-1。I为n-1阶单位矩阵，α=[α1，…，αn-1]T，1=[1，1，…，1]。求解线性方程组获得a和b值，LS-WSVM回归模型为：
λt 1=αjK（λt，λj） b（8）
其中，K（λt，λj）为核函数，K（λt，λj）=φ（λt）Tφ（λj），其形式决定了非线性映射函数和特征空间的结构，选择合适的核函数成为提高LS-SVM性能的关键。由于波动率序列复杂多变，高斯核等常用核函数难以刻画波动率的复杂变化特征。
核函数构建定理指出，满足Mercer定理的平移不变小波核函数是允许的支持向量核函数[17]。现已证实，Mexican母小波、DOG母小波、Morlet母小波等都可构造出平移不变小波核函数。本文选取Mexican小波核作为核函数，具体形式如下：
K（xt，xj）=1-exp-（9）
其中，d为平移尺度因子，为伸缩因子。则Mexican小波核LS-SVM预测模型为：
t 1=αj1-exp- b（10）
3 实证研究
3.1 数据的选取
将上证综指（SHCI）和深证成指（SZCI）的日数据、周数据和月数据作为样本进行实证分析，其中，选取2009年1月5日到2013年3月15日的每日观测值作为日数据样本，共1 019组数据序列；选取2005年1月7日到2013年3月15日的每周观测值作为周数据样本，共411组数据序列；选取1991年4月30日到2013年2月28日的每月观测值作为月数据样本，共263组数据序列。按式（1）和式（2）分别计算出日波动率、周波动率和月波动率，样本总数分别为1 015个、407个和259个。
3.2 网络学习及预测
为提高LS-WSVM的收敛速度，先对三组数据样本进行归一化处理，再分别将三组数据样本分为训练样本和测试样本。对日波动率，取前715个数据作为训练样本，后300个数据作为测试样本；对周波动率，取前287个数据作为训练样本，后120个数据作为测试样本；对月波动率，取前163个数据作为训练样本，后96个数据作为测试样本。
为比较LS-WSVM的有效性，利用以高斯函数为核函数的LS-SVM模型（LS-SVM）预测SHCI和SZCI不同频率的波动率，将预测结果与LS-WSVM的预测结果进行比较。
3.3 预测性能评价指标
选取对数误差统计量（LL）、正则均方误差（NMSE）和正则均值绝对误差（NMAE）评价模型的预测性能，分别定义如下：
LL=N-1ln（t）-ln（Rt）2（11）
NMSE=（12）
NMAE=（13）
其中，N为预测样本个数，t为预测的波动率，Rt为实际波动率。以上指标值越小，表明模型预测性能越好。
3.4 結果分析
LS-WSVM和LS-SVM分别对SHCI和SZCI的日波动率、周波动率和月波动率预测结果见表1、表2和表3。SHCI中，LS-WSVM对不同频率波动率的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的对应值； SZCI中，除周波动率的NMAE外，LS-WSVM的LL、NMSE和NMAE均小于LS-SVM的对应值，表明整体上LS-WSVM对三种不同频率波动率的预测精度优于LS-SVM。计算LS-WSVM和LS-SVM对应的预测性能评价指标差值，通过差值比较不同频率波动率的预测效果。在三种不同频率波动率中，LS-WSVM对月波动的预测效果最好，差值在0.000 3～0.001 7之间；对周波动的预测效果次之，差值在0.000 1～0.001 5之间；对日波动率的预测效果最差，差值在0～0.000 3之间。
图1、图2给出了LS-WSVM和LS-SVM分别对SHCI和SZCI不同频率波动率的预测结果曲线图。由两图可看出，LS-WSVM和LS-SVM都较好地预测了SHCI和SZCI不同频率波动率的变化趋势，LS-WSVM较LS-SVM更准确地预测出了较低频率波动率的某些极值。
另选取DOG小波核、Morlet小波核作为LS-SVM核函数，分别对SHCI和SZCI的不同频率波动率进行预测，形式如下：三种不同小波核LS-SVM的波动率预测结果如表4、5、6所示。由三表可知，小波核LS-SVM在不同频率波动率预测精度方面优于高斯核LS-SVM，不同小波核之间的预测精度相差不大。
4 结 语
本文建立了基于小波核的最小二乘支持向量机波动率预测模型（LS-WSVM），利用上证综指和深证成指不同频率的实际交易数据样本，以LL、NMSE、NMAE检验其有效性。实证研究结果表明，从提高波动率预测精度角度，采用小波核LS-SVM比高斯核LS-SVM更有效，LS-WSVM对较低频率波动率具有更好的预测效果。
主要参考文献
[1]Engle R F. Autoregressive Conditional Heteroskedasticity with Estimates of the Variance of UK Inflation[J]. Econometrica， 1982， 50： 987-1008.
[2]Bollerslev T. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity[J]. Journal of Econometrics， 1986， 31： 307-327. [3]Donaldson R G， Kamstra M. An Artificial Neural Network-GARCH Model for International Stock Return Volatility[J]. Journal of Empirical Finance， 1997， 4： 17-46.
[4]Taylor J W. A Quantile Regression Neural Network Approach to Estimating the Conditional Density of Multiperiod Returns[J]. Journal of Forecasting， 2000， 19： 299-311.
[5]Tae H R. Forecasting the Volatility of Stock Price Index[J]. Expert Systems with Applications， 2007， 33： 916-922.
[6]Vapnik V N. An Overview of Statistical Learning Theory[J]. IEEE Transactions on Neural Networks， 1999， l0（5）： 988-999.
[7]Perez-Cruz F， Afonso-Rodriguez J A， Giner J. Estimating GARCH Models Using Support Vector Machines[J]. Quantitative Finance， 2003， 3： 1-10.
[8]Gavrishchaka V V，Supriya Banerjee. Support Vector Machine as an Efficient Framework for Stock Market Volatility Forecasting[J].Computational Management Science， 2006， 3：147-160.
[9]Chen S Y， H？覿rdle W K， Jeong K. Forecasting Volatility with Support Vector Machine-based GARCH Model[J]. Journal of Forecasting， 2010， 29（4）：406-433.
[10]Wang B H， Huang H J， Wang X L. A Support Vector Machine Based MSM Model for Financial Short-term Volatility Forecasting[J]. Neural Computing