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一、直接证明
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.
1. 综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.
用[P]表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，[Q]表示所要证明的结论，则综合法可表示为：
[[P⇒Q1]→[Q1⇒Q2]→[Q2⇒Q3]→…→[Qn⇒Q]]
说明 （1）综合法格式：从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出待证的结论. 它的常见书面表达形式为“因为……，所以……”或“[⇒]”.
（2）综合法是“由因导果”，此法的特点是表述简单，条理清晰.
（3）在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把题目中隐含的条件明确地表示出来.
例1 设[x、y、z]均为正实数，且[xyzx+y+z][=1]，求证：[x+yy+z2].
分析 本题需先将条件变形，再利用基本不等式证明.
证明 ∵[xyzx+y+z=1]，∴[x+y+z=1xyz].
∴[x+y+zy=1xyz⋅y=1xz].
即[xy+y2+yz=1xz]，
∴[xy+y2+yz+xz=1xz+xz2]，
即[x+yy+z2].
点拨 这个问题有点巧妙，为了应用均值不等式，不仅从已知条件和要证的结论中发现它们内在的联系，而且灵活地添项，使得证明过程格外简洁.
2. 分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.
用[Q]表示要证明的结论，则分析法可表示为：
[[Q⇒P11]→[P1⇒P2]→[P2⇒P3]] →…→得到一个明显成立的条件
说明 （1）分析法的思维特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步推理实际上是寻求它的充分条件. 分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆推证法或执果索因法.
（2）分析法格式：“要证……，只需证……”或“[⇐]”.
例2 已知[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，记[A、B、C]的对边分别为[a、b、c].求证：[1a+b+1b+c=3a+b+c].
分析 从待证等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证等式出发，分析其成立的充分条件.
证明 要证[1a+b+1b+c=3a+b+c]，
只需证[a+b+ca+b+a+b+cb+c=3]，
即证[ca+b+ab+c=1]，
也就是证[cb+c+aa+b=a+bb+c]，
即证[c2+a2=ac+b2].
∵[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，
∴[B=60∘].
由余弦定理，有[b2=c2+a2-2cacos60∘]，
即[b2=c2+a2-ca]，亦即[c2+a2=ca+b2].
因为[c2+a2=ca+b2]成立，
所以[1a+b+1b+c=3a+b+c]成立.
点拨 分析法是思考问题的一种基本方法，可以减少分析问题的盲目性，容易明确解决问题的方向.分析法证明的步骤是：未知→需知→已知，在表述中“要证”“只需证”“即证”这些常用词语是不可缺少的.
3. 分析综合法
在解决问题时，我们经常把分析法和综合法结合起来使用. 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论[Q]；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论[P].若由[P]可以推出[Q]成立，就可以证明结论成立.
用[P]表示已知条件、定义、定理、公理等，用[Q]表示要证明的结论，则上述过程可表示为：
[ [P⇒P1→P1⇒P2→⋯→Pn⇒P]
[⇓]
[Q⇒Q1→Q1⇒Q2→⋯→Qm=Q]]
说明 分析综合法一般有两种方式：一种是先以分析法为主寻求证题思路，再用综合法有条理地表述证题过程.这是因为，就表达过程而言，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法表述简单，条理清晰.因此，分析法利于思考，综合法宜于表达.另一种是将分析法与综合法结合起来使用，用来证明某些更复杂的问题.
例3 设[a、b、c]均为大于1的实数，且[ab=10]，求证：[logac+logbc4lgc].
证明 要证[logac+logbc4lgc]，
只需证[lgclga+lgclgb4lgc]，
又[c>1]，∴[lgc>0].
∴只需证[1lga+1lgb4]，
即证[lga+lgblgalgb4].
又∵[ab=10]，∴[lga+lgb=1].
∴只需证[1lgalgb4].
又∵[a>1]，[b>1]，∴[lga>0]，[lgb>0].
∴[0 ∴[1lgalgb4].
因为[1lgalgb4]成立，所以原不等式成立.
点拨 粗略一看，这里好像纯粹是分析法，其实不然，中间还同时使用了综合法. 一般地，证题时每一步到底使用何种方法没有明确的规定，主要是看证题的需要，有时是综合中带分析，有时是分析中带综合，或者综合与分析相互渗透.
例4 在两个正数[x]、[y]之间插入一个实数[a]，使[x]、[a]、[y]成等差数列，插入两个实数[b]、[c]，使[x]、[b]、[c]、[y]成等比数列.求证：[a+12b+1c+1].
分析 本题主要考查联合运用分析法和综合法来证明问题.解题的关键是同时从已知条件与结论出发，寻求其间的联系.
证明 由条件得，[2a=x+y,b2=cx,c2=by.]消去[x]、[y]，
即得[2a=b2c+c2b]且有[a>0,b>0,c>0].
要证[a+12b+1c+1]，
只需证[a+1b+1c+1]，
又[b+1+c+12b+1c+1]，
∴只需证[a+1b+1+c+12]，
即证[2ab+c].
而[2a=b2c+c2b]，只需证[b2c+c2bb+c]，
即证[b3+c3=b+cb2+c2-bcb+cbc]，
即证[b-c20].
因为[b-c20]显然成立，
所以[a+12b+1c+1]成立.
点拨 比较复杂的问题要求分析法、综合法交互运用，但表述要自然清晰、简洁明了.本题对数列知识、均值不等式的运用和代数式的恒等变形都进行了深入的考查.
二、间接证明
反证法是间接证明的一种基本方法，是数学家最有力的一件“武器”. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
说明 （1）用反证法证明命题“若[p]则[q]”的过程如下：肯定条件[p]否定结论[q]→导致逻辑矛盾→“既[p]又[¬q]”为假→“若[p]则[q]”为真.
（2）反证法证明的步骤如下：
①反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.
②归谬：从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.
③存真：由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立.
（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
（4）宜用反证法证明的题型有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④“唯一性”命题；⑤“存在性”命题；⑥“至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等.
例5 若[a、b、c∈0,2]，则[a2-b,b2-c,][c2-a]不可能都大于1.
分析 命题中的结论就是[a2-b>1,][b2-c>1,c2-a>1]不可能同时成立，即至少存在一个式子小于或等于1，显然命题的结论有多种可能性，而结论的否定只有一种情形：[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1，所以宜用反证法证明.
证明 假设“[a2-b,b2-c,c2-a]不可能都大于1”不成立，
即[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1成立，
即[a2-b>1,b2-c>1,c2-a>1]，
∴[a2-b⋅b2-c⋅c2-a>1].①
∵[a、b、c∈0,2]，
∴[2-b>0,2-c>0,2-a>0].
∴[0 即[0 同理，[0 ∴[0 即[0 ①与②矛盾，∴假设不成立，
∴原命题成立.
例6 如图，已知平面[α]∩平面[β][=]直线[a]，直线[b⊂α]，直线[c⊂β]，[b⋂a=A]，[c]∥[a].求证：[b]与[c]是异面直线.
分析 直接证明两条直线异面有困难，可考虑用反证法，否定结论“[b]与[c]是异面直线”时有两种情况：[b]与[c]平行或[b]与[c]相交，通过推理与证明，这两种情况都不成立.
证明 假设[b]、[c]不是异面直线，
则[b]∥[c]或[b⋂c=B].
（1）若[b]∥[c]，∵[a]∥[c]，∴[a]∥[b]，与[a⋂b=A]矛盾，∴[b]∥[c]不成立.
（2）若[b⋂c=B]，∵[c⊂β]，∴[B∈β].又[A∈β]，[A]、[B∈b]，∴[b⊂β].
又[b⊂α]，∴[α⋂β=b].又[α⋂β=a]，∴[a]与[b]重合，这与[a⋂b=A]矛盾，∴[b⋂c=B]不成立.
∴[b]与[c]是异面直线.
点拨 本题除了考查反证法，还需熟练应用立体几何的知识，解题时要注意分类讨论，因为[b]、[c]是异面直线的否定有两种情况：平行或相交，故应分别推出矛盾，问题才得以解决.
综合法和分析法，是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式.
1. 综合法
一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论，这种证明方法叫做综合法.
用[P]表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，[Q]表示所要证明的结论，则综合法可表示为：
[[P⇒Q1]→[Q1⇒Q2]→[Q2⇒Q3]→…→[Qn⇒Q]]
说明 （1）综合法格式：从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知”，由“推知”得“未知”，逐步推出待证的结论. 它的常见书面表达形式为“因为……，所以……”或“[⇒]”.
（2）综合法是“由因导果”，此法的特点是表述简单，条理清晰.
（3）在解决数学问题时，往往先作语言的转换，如把文字语言转换成符号语言，把符号语言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把题目中隐含的条件明确地表示出来.
例1 设[x、y、z]均为正实数，且[xyzx+y+z][=1]，求证：[x+yy+z2].
分析 本题需先将条件变形，再利用基本不等式证明.
证明 ∵[xyzx+y+z=1]，∴[x+y+z=1xyz].
∴[x+y+zy=1xyz⋅y=1xz].
即[xy+y2+yz=1xz]，
∴[xy+y2+yz+xz=1xz+xz2]，
即[x+yy+z2].
点拨 这个问题有点巧妙，为了应用均值不等式，不仅从已知条件和要证的结论中发现它们内在的联系，而且灵活地添项，使得证明过程格外简洁.
2. 分析法
一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止，这种证明方法叫做分析法.
用[Q]表示要证明的结论，则分析法可表示为：
[[Q⇒P11]→[P1⇒P2]→[P2⇒P3]] →…→得到一个明显成立的条件
说明 （1）分析法的思维特点：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，逐步推理实际上是寻求它的充分条件. 分析法是“执果索因”，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法又叫做逆推证法或执果索因法.
（2）分析法格式：“要证……，只需证……”或“[⇐]”.
例2 已知[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，记[A、B、C]的对边分别为[a、b、c].求证：[1a+b+1b+c=3a+b+c].
分析 从待证等式不易发现证明的出发点，因此我们直接从待证等式出发，分析其成立的充分条件.
证明 要证[1a+b+1b+c=3a+b+c]，
只需证[a+b+ca+b+a+b+cb+c=3]，
即证[ca+b+ab+c=1]，
也就是证[cb+c+aa+b=a+bb+c]，
即证[c2+a2=ac+b2].
∵[ΔABC]的三个内角[A、B、C]成等差数列，
∴[B=60∘].
由余弦定理，有[b2=c2+a2-2cacos60∘]，
即[b2=c2+a2-ca]，亦即[c2+a2=ca+b2].
因为[c2+a2=ca+b2]成立，
所以[1a+b+1b+c=3a+b+c]成立.
点拨 分析法是思考问题的一种基本方法，可以减少分析问题的盲目性，容易明确解决问题的方向.分析法证明的步骤是：未知→需知→已知，在表述中“要证”“只需证”“即证”这些常用词语是不可缺少的.
3. 分析综合法
在解决问题时，我们经常把分析法和综合法结合起来使用. 根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论[Q]；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论[P].若由[P]可以推出[Q]成立，就可以证明结论成立.
用[P]表示已知条件、定义、定理、公理等，用[Q]表示要证明的结论，则上述过程可表示为：
[ [P⇒P1→P1⇒P2→⋯→Pn⇒P]
[⇓]
[Q⇒Q1→Q1⇒Q2→⋯→Qm=Q]]
说明 分析综合法一般有两种方式：一种是先以分析法为主寻求证题思路，再用综合法有条理地表述证题过程.这是因为，就表达过程而言，分析法叙述繁琐，文辞冗长；综合法表述简单，条理清晰.因此，分析法利于思考，综合法宜于表达.另一种是将分析法与综合法结合起来使用，用来证明某些更复杂的问题.
例3 设[a、b、c]均为大于1的实数，且[ab=10]，求证：[logac+logbc4lgc].
证明 要证[logac+logbc4lgc]，
只需证[lgclga+lgclgb4lgc]，
又[c>1]，∴[lgc>0].
∴只需证[1lga+1lgb4]，
即证[lga+lgblgalgb4].
又∵[ab=10]，∴[lga+lgb=1].
∴只需证[1lgalgb4].
又∵[a>1]，[b>1]，∴[lga>0]，[lgb>0].
∴[0
因为[1lgalgb4]成立，所以原不等式成立.
点拨 粗略一看，这里好像纯粹是分析法，其实不然，中间还同时使用了综合法. 一般地，证题时每一步到底使用何种方法没有明确的规定，主要是看证题的需要，有时是综合中带分析，有时是分析中带综合，或者综合与分析相互渗透.
例4 在两个正数[x]、[y]之间插入一个实数[a]，使[x]、[a]、[y]成等差数列，插入两个实数[b]、[c]，使[x]、[b]、[c]、[y]成等比数列.求证：[a+12b+1c+1].
分析 本题主要考查联合运用分析法和综合法来证明问题.解题的关键是同时从已知条件与结论出发，寻求其间的联系.
证明 由条件得，[2a=x+y,b2=cx,c2=by.]消去[x]、[y]，
即得[2a=b2c+c2b]且有[a>0,b>0,c>0].
要证[a+12b+1c+1]，
只需证[a+1b+1c+1]，
又[b+1+c+12b+1c+1]，
∴只需证[a+1b+1+c+12]，
即证[2ab+c].
而[2a=b2c+c2b]，只需证[b2c+c2bb+c]，
即证[b3+c3=b+cb2+c2-bcb+cbc]，
即证[b-c20].
因为[b-c20]显然成立，
所以[a+12b+1c+1]成立.
点拨 比较复杂的问题要求分析法、综合法交互运用，但表述要自然清晰、简洁明了.本题对数列知识、均值不等式的运用和代数式的恒等变形都进行了深入的考查.
二、间接证明
反证法是间接证明的一种基本方法，是数学家最有力的一件“武器”. 一般地，假设原命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
说明 （1）用反证法证明命题“若[p]则[q]”的过程如下：肯定条件[p]否定结论[q]→导致逻辑矛盾→“既[p]又[¬q]”为假→“若[p]则[q]”为真.
（2）反证法证明的步骤如下：
①反设：假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真.
②归谬：从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾的结果.
③存真：由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立.
（3）反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
（4）宜用反证法证明的题型有：①一些基本命题、基本定理；②易导出与已知矛盾的命题；③“否定性”命题；④“唯一性”命题；⑤“存在性”命题；⑥“至多”“至少”类的命题；⑦涉及“无限”结论的命题等.
例5 若[a、b、c∈0,2]，则[a2-b,b2-c,][c2-a]不可能都大于1.
分析 命题中的结论就是[a2-b>1,][b2-c>1,c2-a>1]不可能同时成立，即至少存在一个式子小于或等于1，显然命题的结论有多种可能性，而结论的否定只有一种情形：[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1，所以宜用反证法证明.
证明 假设“[a2-b,b2-c,c2-a]不可能都大于1”不成立，
即[a2-b,b2-c,c2-a]都大于1成立，
即[a2-b>1,b2-c>1,c2-a>1]，
∴[a2-b⋅b2-c⋅c2-a>1].①
∵[a、b、c∈0,2]，
∴[2-b>0,2-c>0,2-a>0].
∴[0
∴原命题成立.
例6 如图，已知平面[α]∩平面[β][=]直线[a]，直线[b⊂α]，直线[c⊂β]，[b⋂a=A]，[c]∥[a].求证：[b]与[c]是异面直线.
分析 直接证明两条直线异面有困难，可考虑用反证法，否定结论“[b]与[c]是异面直线”时有两种情况：[b]与[c]平行或[b]与[c]相交，通过推理与证明，这两种情况都不成立.
证明 假设[b]、[c]不是异面直线，
则[b]∥[c]或[b⋂c=B].
（1）若[b]∥[c]，∵[a]∥[c]，∴[a]∥[b]，与[a⋂b=A]矛盾，∴[b]∥[c]不成立.
（2）若[b⋂c=B]，∵[c⊂β]，∴[B∈β].又[A∈β]，[A]、[B∈b]，∴[b⊂β].
又[b⊂α]，∴[α⋂β=b].又[α⋂β=a]，∴[a]与[b]重合，这与[a⋂b=A]矛盾，∴[b⋂c=B]不成立.
∴[b]与[c]是异面直线.
点拨 本题除了考查反证法，还需熟练应用立体几何的知识，解题时要注意分类讨论，因为[b]、[c]是异面直线的否定有两种情况：平行或相交，故应分别推出矛盾，问题才得以解决.