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摘 要：动点的轨迹问题是中学几何研究的基本问题之一. 求曲线的轨迹和利用轨迹方程研究曲线的性质是解析几何研究的两大基本问题. 近年来高考试题中频繁出现轨迹问题，有些看似与轨迹无关，但挖掘问题的本质确是曲线的“另类”定义，借助“另类”定义求出相关的轨迹曲线，往往能拓宽解题思路，提高解题效率. 本文就是对一道高考试题的本质挖掘及其推广与应用.
关键词：另类定义；拓展提升
试题呈现：如图1，斜线段ΑΒ与平面α所成的角为60°，Β为斜足，平面α上的动点Ρ满足∠ΡΑΒ=30°，则点Ρ的轨迹是（ ）
A. 直线 B. 抛物线
C. 椭圆 D. 双曲线的一支
数学思想指引下的解法探究与拓展提升
数学思想是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题过程中的指路明灯. 一道好的试题，不在于华丽的“包装”，而在于本身所蕴涵的思想方法. 高考试题中蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题. 在教学中教师要展现在数学思想指导下寻找解决问题的多种解法的思维历程.
视角一、坐标思想：代数方法解决几何问题
平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变量的一个代数方程来表示了. 从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.
视角二、由特殊到一般的思想将问题拓展提升
爱因斯坦曾说过：“解决一个问题好比是在草堆中寻针，别人往往寻找到一根针时即停止不再费力去做了，但我却会寻遍草堆中的所有藏针，不达目的绝不罢手.” 因此教师要善于引导学生从不同方向、不同角度、不同方位进行思考，激活学生的思维能力，帮助学生训练基本技能、基本方法，更重要的是开阔学生的思维，提升学生思维的灵活性、发散性、广阔性和深刻性.
本试题中给出了两个角：线线角与线面角，那么轨迹的形状与这两个角有什么样的联系呢？如果是圆锥曲线，那么离心率与两个角有什么关系呢？
视角三、化归思想，挖掘本质，回归本源
化归思想是数学思想之一，是把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法. 本题的实质是平面截圆锥面的问题，体现了圆锥曲线的“另类定义”即“生成性”定义.
高中解析几何教材中给出了圆锥曲线的两种定义，但这两种定义却均与“圆锥”无关，不足以揭示圆锥曲线之所以被称为“圆锥曲线”的原因. 其实，在解析法诞生以前，很早就有了关于圆锥曲线的研究，就产生了“圆锥曲线”一词，圆锥曲线来源于平面截圆锥面. 如图3所示：平面截圆锥可以得到圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线.
挖掘命题背景、感悟命题思想
“先足够地退，退到我们容易看清楚问题的地方，看透了，钻深了，然后再上去.” ——华罗庚
这句话是华罗庚先生解决数学问题的心得，对于指引数学教学也有着启发与意义，对教师理解教学有帮助. 本试题退到我们最容易看清楚的地方可以发现：命题的背景是平面截圆锥面，体现了圆锥曲线的“生成性”定义，
试题来源于人教版A版教材选修2-1的“探索与发现”，教材中利用过球外一点作球的切线，则切线长都相等的结论. 证明了用一个平面去截圆锥，得到的截口是椭圆.
同类试题探究（2008年浙江高考数学理科第10题）如图5，AB是平面α的斜线段，A是斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆
C. 一条直线 D. 两条平行直线
变式：已知底面半径为2的圆柱，一平面与圆柱的母线成60°角，求截线椭圆的焦距与离心率？
解：由题可知：椭圆的长半轴长为a==，短半轴长b=2，所以半焦距c===，焦距为2c=，离心率e===.
归纳提升：当平面α与圆柱相交
（1）若平面α与圆柱的底面平行时截口曲线为圆；
（2）若平面α与圆柱的底面不平行时，即用与圆柱母线成β
角的平面α截圆柱时截口曲线为椭圆，且椭圆的离心率为e=cosβ.
本类试题体现了高考命题的主要思想：“源于教材，又不拘泥于教材”，因为每年的高考试题中都有些题目或多或少涉及课本内容，有时就是考查课本的原题或改编题. 教材编写者在设计“探究与发现”、“信息技术与应用”、“阅读与思考”等栏目时独具匠心，不仅希望拓展学生的知识视野，让学生知道数学在生活中的应用，还让师生回归生活本源和知识本源，探究最本质的知识与方法，发现数学中一些问题的真谛和美，同时也是高考命题的重要来源.
研究高考试题的设计背景，有利于揭示问题的本质. 同时提示我们在高三复习时应注意回归课本，尤其是在一轮复习时，更是要注重回归教材，对课本资源进行挖掘、整合，多琢磨、多钻研，进行一题多变、一题多解，举一反三.
关键词：另类定义；拓展提升
试题呈现：如图1，斜线段ΑΒ与平面α所成的角为60°，Β为斜足，平面α上的动点Ρ满足∠ΡΑΒ=30°，则点Ρ的轨迹是（ ）
A. 直线 B. 抛物线
C. 椭圆 D. 双曲线的一支
数学思想指引下的解法探究与拓展提升
数学思想是人们对数学事实与理论经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题过程中的指路明灯. 一道好的试题，不在于华丽的“包装”，而在于本身所蕴涵的思想方法. 高考试题中蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题. 在教学中教师要展现在数学思想指导下寻找解决问题的多种解法的思维历程.
视角一、坐标思想：代数方法解决几何问题
平面解析几何的基本思想有两个要点：第一，在平面建立坐标系，一点的坐标与一组有序的实数对相对应；第二，在平面上建立了坐标系后，平面上的一条曲线就可由带两个变量的一个代数方程来表示了. 从这里可以看到，运用坐标法不仅可以把几何问题通过代数方法解决，而且还把变量、函数以及数和形等重要概念密切联系了起来.
视角二、由特殊到一般的思想将问题拓展提升
爱因斯坦曾说过：“解决一个问题好比是在草堆中寻针，别人往往寻找到一根针时即停止不再费力去做了，但我却会寻遍草堆中的所有藏针，不达目的绝不罢手.” 因此教师要善于引导学生从不同方向、不同角度、不同方位进行思考，激活学生的思维能力，帮助学生训练基本技能、基本方法，更重要的是开阔学生的思维，提升学生思维的灵活性、发散性、广阔性和深刻性.
本试题中给出了两个角：线线角与线面角，那么轨迹的形状与这两个角有什么样的联系呢？如果是圆锥曲线，那么离心率与两个角有什么关系呢？
视角三、化归思想，挖掘本质，回归本源
化归思想是数学思想之一，是把未知的问题转化为在已知的知识内可解的问题的一种重要的思想方法. 本题的实质是平面截圆锥面的问题，体现了圆锥曲线的“另类定义”即“生成性”定义.
高中解析几何教材中给出了圆锥曲线的两种定义，但这两种定义却均与“圆锥”无关，不足以揭示圆锥曲线之所以被称为“圆锥曲线”的原因. 其实，在解析法诞生以前，很早就有了关于圆锥曲线的研究，就产生了“圆锥曲线”一词，圆锥曲线来源于平面截圆锥面. 如图3所示：平面截圆锥可以得到圆锥曲线：椭圆、双曲线、抛物线.
挖掘命题背景、感悟命题思想
“先足够地退，退到我们容易看清楚问题的地方，看透了，钻深了，然后再上去.” ——华罗庚
这句话是华罗庚先生解决数学问题的心得，对于指引数学教学也有着启发与意义，对教师理解教学有帮助. 本试题退到我们最容易看清楚的地方可以发现：命题的背景是平面截圆锥面，体现了圆锥曲线的“生成性”定义，
试题来源于人教版A版教材选修2-1的“探索与发现”，教材中利用过球外一点作球的切线，则切线长都相等的结论. 证明了用一个平面去截圆锥，得到的截口是椭圆.
同类试题探究（2008年浙江高考数学理科第10题）如图5，AB是平面α的斜线段，A是斜足，若点P在平面α内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是（ ）
A. 圆 B. 椭圆
C. 一条直线 D. 两条平行直线
变式：已知底面半径为2的圆柱，一平面与圆柱的母线成60°角，求截线椭圆的焦距与离心率？
解：由题可知：椭圆的长半轴长为a==，短半轴长b=2，所以半焦距c===，焦距为2c=，离心率e===.
归纳提升：当平面α与圆柱相交
（1）若平面α与圆柱的底面平行时截口曲线为圆；
（2）若平面α与圆柱的底面不平行时，即用与圆柱母线成β
角的平面α截圆柱时截口曲线为椭圆，且椭圆的离心率为e=cosβ.
本类试题体现了高考命题的主要思想：“源于教材，又不拘泥于教材”，因为每年的高考试题中都有些题目或多或少涉及课本内容，有时就是考查课本的原题或改编题. 教材编写者在设计“探究与发现”、“信息技术与应用”、“阅读与思考”等栏目时独具匠心，不仅希望拓展学生的知识视野，让学生知道数学在生活中的应用，还让师生回归生活本源和知识本源，探究最本质的知识与方法，发现数学中一些问题的真谛和美，同时也是高考命题的重要来源.
研究高考试题的设计背景，有利于揭示问题的本质. 同时提示我们在高三复习时应注意回归课本，尤其是在一轮复习时，更是要注重回归教材，对课本资源进行挖掘、整合，多琢磨、多钻研，进行一题多变、一题多解，举一反三.