【摘 要】
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已有结论表明:素数集中存在任意长的算术级数.且对任意正整数k,任何具有正密度的素数子集都含一k项算术级数.考虑4h+1型素数(h为正整数),显然可得结论:一定存在k项算术级数,
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已有结论表明:素数集中存在任意长的算术级数.且对任意正整数k,任何具有正密度的素数子集都含一k项算术级数.考虑4h+1型素数(h为正整数),显然可得结论:一定存在k项算术级数, 其中每项都能表成 m2+n2的形式(m,n为整数). 当k=4时,有无穷多组这种类型的4 项算术级数(n-1)2+(n-8)2,(n-7)2+(n+4)2,(n+7)2+(n-4)2,(n+1)2+(n+8)2.注意到82+12=72+42,为了回答:是否存在互异正整数a,b,c,d满足a2+b2=c2+d2,使得对任何正整数n,8个数(n+a)2+(n+ b)2,(n+a)2+(n-b)2,(n-a)2+(n+b)2,(n-a)2+(n-b)2, (n+c)2+(n+d)2, (n+c)2+(n-d)2, (n-c)2+(n+d)2,(n-c)2+(n-d)2中总存在5项算术级数这一问题,本文采用组合方法,证明了不存在这样的正整数a,b,c,d.同时提出了3个猜想.
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