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摘要：基于拓展知识面的考虑，在初中学生第二课堂中开展了二元二次多项式因式分解的专题讲座，系统讲授了因式分解的待定系数法、一元二次方程求根公式法、双十字相乘法。对学生学习相关数学知识具有积极的意义，值得尝试。
关键词：二元二次多项式 因式分解 数学 方法
原初中代数课本，对二元二次多项式的因式分解，没有明确的、系统的指出其分解方法，学生在学习掌握这部分知识时，感到困难。历年来，一些地区的中考数学试题中，也常涉及到二元二次多项式的因式分解。虽然现行初中代数课本未讲述二元二次多项式的因式分解，但在中学数学中，有许多知识都与这类多项式的因式分解有直接或间接的联系。为此，笔者根据教学实践和课余专题讲座经历，谈谈这类多项式因式分解的几种方法。
一、待定系数分解法
待定系数法是初中代数中的一种常用的解题方法。用待定系数法分解二元二次多项式是一种最基本的一种方法。其根据是“若二元二次多项式能分解，则它分解的结果是两个二元一次因式之积”;“如果两个多项式对应项的系数相等，那么这两个多项式相等; 反之，如果两个多项式相等，那么两个多项式对应项系数必相等。”
例题1：把二元二次多项式12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3分解因式
解析：原式＝(12x2＋14xy－20y2)＋(20x－11y)＋3
因为12x2＋14xy－20y2＝(6x－5y)(2x＋4y)
所以设原式＝(6x－5y＋m)(2x＋4y＋n)
則原式＝12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3
＝12x2＋14xy－20y2＋(2m＋6n)x＋(4m－5n)y＋mn
由多项式相等，对应项系数相等，得
2m＋6n＝20 ………………………(1)
4m－5n＝－11 ……………………(2)
mn＝3………………………………(3)
联立解(1)、(2)、(3)得: m＝1, n＝3.
∴原式＝(6x－5y＋1)(2x＋4y＋3)
点评：二元二次多项式因式分解结果为“(a1x＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)”，其中系数a1、b1、c1、a2、b2、c2用待定数法确定。
二、一元二次方程求根公式分解法
一元二次方程求根公式分解法是将所分解的二元二次多项式,看作是其中一个未知数(如x或y)的一元二次方程，求出根，再利用“若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，则ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)”的原理来分解。
例题2：把二元二次多项式x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式
解析：令x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝0.
即x2＋(y＋2)x－(2y2－7y＋3)＝0.
∴x＝————————————————
－(y＋2)±(3y－4)
＝—————————
2
∴x1＝y－3,x2＝－2y＋1
故原式＝[x－(y-3)][x-(-2y+1)]＝(x－y＋3)(x＋2y－1)
点评：这里将二元二次多项式看成x的二次方程，求解出x1、x2即两个y的一次式，从而分解成“a(x－x1)(x－x2)”，最后整理为“(a1x1＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)”的一般形式。
三、双十字相乘分解法
方法是：把所给二元二次多项式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f中含x、y和xy各项分为三组，先将含x的项和常数项组成的二次三项式ax2＋dx＋f用①式分解成(a1f2x＋a2f1x＝dx)；再将含y的项与常数项组成的二次三项式cy2＋ey＋f用②式分解成（c1f2y＋c2f1y＝ey)；最后将x、y项用③式分解成(a1xc2y＋a2x·c1y＝bxy)，从而得出两个因式(a1x＋c1y＋f1)(a2x＋c2y＋f2)。
这一过程可用下列草式进行:(对二元二次多项式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f，a、b、c、d、e、f为常数，且abc≠0)。
若a1xc1yf1
a2xc2yf2
————————————————————
ax2＝a1x·a2x,cy2＝c1y·c2y,f＝f1·f2.
a1c2xy＋a2c1xy＝bxy,a1f2x＋a2f1x＝dx,c1f2y＋c2f1y＝ey.
则原式＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝(a1x＋c1y＋f1)(a2x＋c2y＋f2).
点评：双十字相乘法的关键在于组合二次项，并进行“第一个十字”的确立，并注意了上述“草式”下面的条件式。
第二课堂的专题讲座实践表明，对初中学生课余讲授二元二次多项式的因式分解，对于数学中“变量”与“常量”的相对性有了进一步的认识；使学生对数量概念的理解得到了强化、思维能力得到了升华。况且，对学生学习和掌握代数式、方程尤其是二次方程、不等式乃至解析几何，都有积极的帮助，可以有效地培养学生的数学能力，对提高学生的思维水平有积极的意义，值得尝试。
(四川省中江县南华镇西山中学 618100)
关键词：二元二次多项式 因式分解 数学 方法
原初中代数课本，对二元二次多项式的因式分解，没有明确的、系统的指出其分解方法，学生在学习掌握这部分知识时，感到困难。历年来，一些地区的中考数学试题中，也常涉及到二元二次多项式的因式分解。虽然现行初中代数课本未讲述二元二次多项式的因式分解，但在中学数学中，有许多知识都与这类多项式的因式分解有直接或间接的联系。为此，笔者根据教学实践和课余专题讲座经历，谈谈这类多项式因式分解的几种方法。
一、待定系数分解法
待定系数法是初中代数中的一种常用的解题方法。用待定系数法分解二元二次多项式是一种最基本的一种方法。其根据是“若二元二次多项式能分解，则它分解的结果是两个二元一次因式之积”;“如果两个多项式对应项的系数相等，那么这两个多项式相等; 反之，如果两个多项式相等，那么两个多项式对应项系数必相等。”
例题1：把二元二次多项式12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3分解因式
解析：原式＝(12x2＋14xy－20y2)＋(20x－11y)＋3
因为12x2＋14xy－20y2＝(6x－5y)(2x＋4y)
所以设原式＝(6x－5y＋m)(2x＋4y＋n)
則原式＝12x2＋14xy－20y2＋20x－11y＋3
＝12x2＋14xy－20y2＋(2m＋6n)x＋(4m－5n)y＋mn
由多项式相等，对应项系数相等，得
2m＋6n＝20 ………………………(1)
4m－5n＝－11 ……………………(2)
mn＝3………………………………(3)
联立解(1)、(2)、(3)得: m＝1, n＝3.
∴原式＝(6x－5y＋1)(2x＋4y＋3)
点评：二元二次多项式因式分解结果为“(a1x＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)”，其中系数a1、b1、c1、a2、b2、c2用待定数法确定。
二、一元二次方程求根公式分解法
一元二次方程求根公式分解法是将所分解的二元二次多项式,看作是其中一个未知数(如x或y)的一元二次方程，求出根，再利用“若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两个根是x1，x2，则ax2＋bx＋c＝a(x－x1)(x－x2)”的原理来分解。
例题2：把二元二次多项式x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3分解因式
解析：令x2＋xy－2y2＋2x＋7y－3＝0.
即x2＋(y＋2)x－(2y2－7y＋3)＝0.
∴x＝————————————————
－(y＋2)±(3y－4)
＝—————————
2
∴x1＝y－3,x2＝－2y＋1
故原式＝[x－(y-3)][x-(-2y+1)]＝(x－y＋3)(x＋2y－1)
点评：这里将二元二次多项式看成x的二次方程，求解出x1、x2即两个y的一次式，从而分解成“a(x－x1)(x－x2)”，最后整理为“(a1x1＋b1y＋c1)(a2x＋b2y＋c2)”的一般形式。
三、双十字相乘分解法
方法是：把所给二元二次多项式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f中含x、y和xy各项分为三组，先将含x的项和常数项组成的二次三项式ax2＋dx＋f用①式分解成(a1f2x＋a2f1x＝dx)；再将含y的项与常数项组成的二次三项式cy2＋ey＋f用②式分解成（c1f2y＋c2f1y＝ey)；最后将x、y项用③式分解成(a1xc2y＋a2x·c1y＝bxy)，从而得出两个因式(a1x＋c1y＋f1)(a2x＋c2y＋f2)。
这一过程可用下列草式进行:(对二元二次多项式ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f，a、b、c、d、e、f为常数，且abc≠0)。
若a1xc1yf1
a2xc2yf2
————————————————————
ax2＝a1x·a2x,cy2＝c1y·c2y,f＝f1·f2.
a1c2xy＋a2c1xy＝bxy,a1f2x＋a2f1x＝dx,c1f2y＋c2f1y＝ey.
则原式＝ax2＋bxy＋cy2＋dx＋ey＋f＝(a1x＋c1y＋f1)(a2x＋c2y＋f2).
点评：双十字相乘法的关键在于组合二次项，并进行“第一个十字”的确立，并注意了上述“草式”下面的条件式。
第二课堂的专题讲座实践表明，对初中学生课余讲授二元二次多项式的因式分解，对于数学中“变量”与“常量”的相对性有了进一步的认识；使学生对数量概念的理解得到了强化、思维能力得到了升华。况且，对学生学习和掌握代数式、方程尤其是二次方程、不等式乃至解析几何，都有积极的帮助，可以有效地培养学生的数学能力，对提高学生的思维水平有积极的意义，值得尝试。
(四川省中江县南华镇西山中学 618100)