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摘要:基于拓展知识面的考虑,在初中学生第二课堂中开展了二元二次多项式因式分解的专题讲座,系统讲授了因式分解的待定系数法、一元二次方程求根公式法、双十字相乘法。对学生学习相关数学知识具有积极的意义,值得尝试。
关键词:二元二次多项式 因式分解 数学 方法
原初中代数课本,对二元二次多项式的因式分解,没有明确的、系统的指出其分解方法,学生在学习掌握这部分知识时,感到困难。历年来,一些地区的中考数学试题中,也常涉及到二元二次多项式的因式分解。虽然现行初中代数课本未讲述二元二次多项式的因式分解,但在中学数学中,有许多知识都与这类多项式的因式分解有直接或间接的联系。为此,笔者根据教学实践和课余专题讲座经历,谈谈这类多项式因式分解的几种方法。
一、待定系数分解法
待定系数法是初中代数中的一种常用的解题方法。用待定系数法分解二元二次多项式是一种最基本的一种方法。其根据是“若二元二次多项式能分解,则它分解的结果是两个二元一次因式之积”;“如果两个多项式对应项的系数相等,那么这两个多项式相等; 反之,如果两个多项式相等,那么两个多项式对应项系数必相等。”
例题1:把二元二次多项式12x2+14xy-20y2+20x-11y+3分解因式
解析:原式=(12x2+14xy-20y2)+(20x-11y)+3
因为12x2+14xy-20y2=(6x-5y)(2x+4y)
所以设原式=(6x-5y+m)(2x+4y+n)
則原式=12x2+14xy-20y2+20x-11y+3
=12x2+14xy-20y2+(2m+6n)x+(4m-5n)y+mn
由多项式相等,对应项系数相等,得
2m+6n=20 ………………………(1)
4m-5n=-11 ……………………(2)
mn=3………………………………(3)
联立解(1)、(2)、(3)得: m=1, n=3.
∴原式=(6x-5y+1)(2x+4y+3)
点评:二元二次多项式因式分解结果为“(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)”,其中系数a1、b1、c1、a2、b2、c2用待定数法确定。
二、一元二次方程求根公式分解法
一元二次方程求根公式分解法是将所分解的二元二次多项式,看作是其中一个未知数(如x或y)的一元二次方程,求出根,再利用“若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”的原理来分解。
例题2:把二元二次多项式x2+xy-2y2+2x+7y-3分解因式
解析:令x2+xy-2y2+2x+7y-3=0.
即x2+(y+2)x-(2y2-7y+3)=0.
∴x=————————————————
-(y+2)±(3y-4)
=—————————
2
∴x1=y-3,x2=-2y+1
故原式=[x-(y-3)][x-(-2y+1)]=(x-y+3)(x+2y-1)
点评:这里将二元二次多项式看成x的二次方程,求解出x1、x2即两个y的一次式,从而分解成“a(x-x1)(x-x2)”,最后整理为“(a1x1+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)”的一般形式。
三、双十字相乘分解法
方法是:把所给二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f中含x、y和xy各项分为三组,先将含x的项和常数项组成的二次三项式ax2+dx+f用①式分解成(a1f2x+a2f1x=dx);再将含y的项与常数项组成的二次三项式cy2+ey+f用②式分解成(c1f2y+c2f1y=ey);最后将x、y项用③式分解成(a1xc2y+a2x·c1y=bxy),从而得出两个因式(a1x+c1y+f1)(a2x+c2y+f2)。
这一过程可用下列草式进行:(对二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f,a、b、c、d、e、f为常数,且abc≠0)。
若a1xc1yf1
a2xc2yf2
————————————————————
ax2=a1x·a2x,cy2=c1y·c2y,f=f1·f2.
a1c2xy+a2c1xy=bxy,a1f2x+a2f1x=dx,c1f2y+c2f1y=ey.
则原式=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y+f1)(a2x+c2y+f2).
点评:双十字相乘法的关键在于组合二次项,并进行“第一个十字”的确立,并注意了上述“草式”下面的条件式。
第二课堂的专题讲座实践表明,对初中学生课余讲授二元二次多项式的因式分解,对于数学中“变量”与“常量”的相对性有了进一步的认识;使学生对数量概念的理解得到了强化、思维能力得到了升华。况且,对学生学习和掌握代数式、方程尤其是二次方程、不等式乃至解析几何,都有积极的帮助,可以有效地培养学生的数学能力,对提高学生的思维水平有积极的意义,值得尝试。
(四川省中江县南华镇西山中学 618100)
关键词:二元二次多项式 因式分解 数学 方法
原初中代数课本,对二元二次多项式的因式分解,没有明确的、系统的指出其分解方法,学生在学习掌握这部分知识时,感到困难。历年来,一些地区的中考数学试题中,也常涉及到二元二次多项式的因式分解。虽然现行初中代数课本未讲述二元二次多项式的因式分解,但在中学数学中,有许多知识都与这类多项式的因式分解有直接或间接的联系。为此,笔者根据教学实践和课余专题讲座经历,谈谈这类多项式因式分解的几种方法。
一、待定系数分解法
待定系数法是初中代数中的一种常用的解题方法。用待定系数法分解二元二次多项式是一种最基本的一种方法。其根据是“若二元二次多项式能分解,则它分解的结果是两个二元一次因式之积”;“如果两个多项式对应项的系数相等,那么这两个多项式相等; 反之,如果两个多项式相等,那么两个多项式对应项系数必相等。”
例题1:把二元二次多项式12x2+14xy-20y2+20x-11y+3分解因式
解析:原式=(12x2+14xy-20y2)+(20x-11y)+3
因为12x2+14xy-20y2=(6x-5y)(2x+4y)
所以设原式=(6x-5y+m)(2x+4y+n)
則原式=12x2+14xy-20y2+20x-11y+3
=12x2+14xy-20y2+(2m+6n)x+(4m-5n)y+mn
由多项式相等,对应项系数相等,得
2m+6n=20 ………………………(1)
4m-5n=-11 ……………………(2)
mn=3………………………………(3)
联立解(1)、(2)、(3)得: m=1, n=3.
∴原式=(6x-5y+1)(2x+4y+3)
点评:二元二次多项式因式分解结果为“(a1x+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)”,其中系数a1、b1、c1、a2、b2、c2用待定数法确定。
二、一元二次方程求根公式分解法
一元二次方程求根公式分解法是将所分解的二元二次多项式,看作是其中一个未知数(如x或y)的一元二次方程,求出根,再利用“若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)”的原理来分解。
例题2:把二元二次多项式x2+xy-2y2+2x+7y-3分解因式
解析:令x2+xy-2y2+2x+7y-3=0.
即x2+(y+2)x-(2y2-7y+3)=0.
∴x=————————————————
-(y+2)±(3y-4)
=—————————
2
∴x1=y-3,x2=-2y+1
故原式=[x-(y-3)][x-(-2y+1)]=(x-y+3)(x+2y-1)
点评:这里将二元二次多项式看成x的二次方程,求解出x1、x2即两个y的一次式,从而分解成“a(x-x1)(x-x2)”,最后整理为“(a1x1+b1y+c1)(a2x+b2y+c2)”的一般形式。
三、双十字相乘分解法
方法是:把所给二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f中含x、y和xy各项分为三组,先将含x的项和常数项组成的二次三项式ax2+dx+f用①式分解成(a1f2x+a2f1x=dx);再将含y的项与常数项组成的二次三项式cy2+ey+f用②式分解成(c1f2y+c2f1y=ey);最后将x、y项用③式分解成(a1xc2y+a2x·c1y=bxy),从而得出两个因式(a1x+c1y+f1)(a2x+c2y+f2)。
这一过程可用下列草式进行:(对二元二次多项式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f,a、b、c、d、e、f为常数,且abc≠0)。
若a1xc1yf1
a2xc2yf2
————————————————————
ax2=a1x·a2x,cy2=c1y·c2y,f=f1·f2.
a1c2xy+a2c1xy=bxy,a1f2x+a2f1x=dx,c1f2y+c2f1y=ey.
则原式=ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=(a1x+c1y+f1)(a2x+c2y+f2).
点评:双十字相乘法的关键在于组合二次项,并进行“第一个十字”的确立,并注意了上述“草式”下面的条件式。
第二课堂的专题讲座实践表明,对初中学生课余讲授二元二次多项式的因式分解,对于数学中“变量”与“常量”的相对性有了进一步的认识;使学生对数量概念的理解得到了强化、思维能力得到了升华。况且,对学生学习和掌握代数式、方程尤其是二次方程、不等式乃至解析几何,都有积极的帮助,可以有效地培养学生的数学能力,对提高学生的思维水平有积极的意义,值得尝试。
(四川省中江县南华镇西山中学 618100)