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【摘 要】解决排列组合问题时，运用一些图示法能有效地辅助解决问题，同时蕴涵其中的数形结合思想，包含着一定的建模思想。因此，在平时教学中应该加强运用。
【关键词】排列组合 图象法
相对数学的其他内容而言，排列组合的应用问题有更多的背景，带了几个限制条件的排列组合问题则会让人感觉抽象，也容易造成一定的思维混乱。因此解决排列组合问题时需要一定的问题解决模型，也需要清晰的分类，树状图、空格图等能将各种不同背景的问题统一到图形模型中。韦恩图、分配图、函数图象等能帮助我们正确分类，让思考的过程清晰化。
一、借助韦恩图清晰元素属性
作为集合的图示方法，韦恩图能以直观的方式表示具有某种属性的元素全体，因此韦恩图能帮助解决其取自不同整体的抽象问题从满足不同属性的各整体中选取元素问题。
例１．集合Ａ、Ｂ各含有１２个元素，Ａ∩Ｂ含有４个元素，求同时满足下列条件的集合Ｃ的个数：（１）Ｃ?奂Ａ∪Ｂ且Ｃ中含有３个元素。（２）Ｃ∩Ａ≠?准。
分析：通过韦恩图，我们可清晰地得到在Ｂ中不属于Ａ的元素有８个， 从而考虑这８个元素中至多可以取２个元素，用分类的方法或者用反面的方法得到集合Ｃ的个数：Ｃ８２·Ｃ１２１＋Ｃ８１＋Ｃ１２２＋Ｃ１２３（或者Ｃ２０３－Ｃ８３）。
二、勾画树状图分清元素类别
许多的排列组合问题是带有各种条件限制的，借助树状图能将满足某一条件的所有清楚地分类。
例２．用０，１，２，３，４，５可以组成多少个无重复数字的３位奇数？偶数？
分析：分类法是解决排列组合应用题的重要方法，它可以按照满足某一条件分成若干类，从而可以减少难以考虑的限制条件。
按奇数分类 ，得到３Ａ４１·Ａ４１；
按偶数分类 ，得到Ａ５２＋２Ａ４１·Ａ４１．
三、运用空格图模型直观化
将元素的排列组合问题看成元素放入空格的问题，是解决排列组合问题的重要模型。
例３．（１）３封信投在４个信箱中，共有多少种不同的投法？
（２）Ａ＝｛ａ１，ａ２，ａ３｝，Ｂ＝｛ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４｝，现建立Ａ→Ｂ的映射，①可建立多少个不同的对应？②若要求Ａ中不同元素对应于Ｂ中不同的点，则可建立多少个不同的对应？
上述问题中的（１）和（２）中的①是两个完全不同背景的问题，其实它们都可以统一到空格图模型，即都是３个元素填在４个空格（不带条件）的问题，并且还可以用来解决更多的此类不同背景问题：由于每个元素填充的方法都为４种，故得到不同的映射个数为４３＝６４种。而（２）中的②即是３个元素填入４个空格（每个空格至多填一个）的问题，这就明显地可以理解为４个元素中取３个元素的排列，得到Ａ４３＝２４种。
四、构造分配图明确分配方式
与前面列出一个问题中的所有排列不同，如果要求列出所有的组合，借助树状图很难解决，这时可以运用分配图。
例４．列出从｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝中取三个元素的所有组合。
分析：与列出所有排列不同，它不考虑元素之间的次序，按照ａ→ｂ→ｃ→ｄ→ｅ的顺序，恰当的分配图可以帮助解决此类问题。
五、画出函数图象以形助数
组合数Ｃｎｘ可以看成关于ｘ的函数，借助其图象能直观地发现并运用它的对称性和增减性。如求Ｃ１０ｘ、Ｃ１１ｘ的最值问题，由于两个式子中ｘ的范围分别是０－１０（０－１１）的１１（１２）个整数，它也是函数的定义域，由函数图象的对称性和增减性即可得在ｘ＝５（ｘ＝５和６）时分别取得最大值。
如：若Ｃ１０ｆ （ｘ）＞Ｃ１０ｇ （ｘ），则根据函数图象关于直线ｘ＝５对称，可得ｆ（ｘ）－５＜ｇ（ｘ）－５０≤ｆ（ｘ）≤１００≤ｇ（ｘ）≤１０
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
【关键词】排列组合 图象法
相对数学的其他内容而言，排列组合的应用问题有更多的背景，带了几个限制条件的排列组合问题则会让人感觉抽象，也容易造成一定的思维混乱。因此解决排列组合问题时需要一定的问题解决模型，也需要清晰的分类，树状图、空格图等能将各种不同背景的问题统一到图形模型中。韦恩图、分配图、函数图象等能帮助我们正确分类，让思考的过程清晰化。
一、借助韦恩图清晰元素属性
作为集合的图示方法，韦恩图能以直观的方式表示具有某种属性的元素全体，因此韦恩图能帮助解决其取自不同整体的抽象问题从满足不同属性的各整体中选取元素问题。
例１．集合Ａ、Ｂ各含有１２个元素，Ａ∩Ｂ含有４个元素，求同时满足下列条件的集合Ｃ的个数：（１）Ｃ?奂Ａ∪Ｂ且Ｃ中含有３个元素。（２）Ｃ∩Ａ≠?准。
分析：通过韦恩图，我们可清晰地得到在Ｂ中不属于Ａ的元素有８个， 从而考虑这８个元素中至多可以取２个元素，用分类的方法或者用反面的方法得到集合Ｃ的个数：Ｃ８２·Ｃ１２１＋Ｃ８１＋Ｃ１２２＋Ｃ１２３（或者Ｃ２０３－Ｃ８３）。
二、勾画树状图分清元素类别
许多的排列组合问题是带有各种条件限制的，借助树状图能将满足某一条件的所有清楚地分类。
例２．用０，１，２，３，４，５可以组成多少个无重复数字的３位奇数？偶数？
分析：分类法是解决排列组合应用题的重要方法，它可以按照满足某一条件分成若干类，从而可以减少难以考虑的限制条件。
按奇数分类 ，得到３Ａ４１·Ａ４１；
按偶数分类 ，得到Ａ５２＋２Ａ４１·Ａ４１．
三、运用空格图模型直观化
将元素的排列组合问题看成元素放入空格的问题，是解决排列组合问题的重要模型。
例３．（１）３封信投在４个信箱中，共有多少种不同的投法？
（２）Ａ＝｛ａ１，ａ２，ａ３｝，Ｂ＝｛ｂ１，ｂ２，ｂ３，ｂ４｝，现建立Ａ→Ｂ的映射，①可建立多少个不同的对应？②若要求Ａ中不同元素对应于Ｂ中不同的点，则可建立多少个不同的对应？
上述问题中的（１）和（２）中的①是两个完全不同背景的问题，其实它们都可以统一到空格图模型，即都是３个元素填在４个空格（不带条件）的问题，并且还可以用来解决更多的此类不同背景问题：由于每个元素填充的方法都为４种，故得到不同的映射个数为４３＝６４种。而（２）中的②即是３个元素填入４个空格（每个空格至多填一个）的问题，这就明显地可以理解为４个元素中取３个元素的排列，得到Ａ４３＝２４种。
四、构造分配图明确分配方式
与前面列出一个问题中的所有排列不同，如果要求列出所有的组合，借助树状图很难解决，这时可以运用分配图。
例４．列出从｛ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ｝中取三个元素的所有组合。
分析：与列出所有排列不同，它不考虑元素之间的次序，按照ａ→ｂ→ｃ→ｄ→ｅ的顺序，恰当的分配图可以帮助解决此类问题。
五、画出函数图象以形助数
组合数Ｃｎｘ可以看成关于ｘ的函数，借助其图象能直观地发现并运用它的对称性和增减性。如求Ｃ１０ｘ、Ｃ１１ｘ的最值问题，由于两个式子中ｘ的范围分别是０－１０（０－１１）的１１（１２）个整数，它也是函数的定义域，由函数图象的对称性和增减性即可得在ｘ＝５（ｘ＝５和６）时分别取得最大值。
如：若Ｃ１０ｆ （ｘ）＞Ｃ１０ｇ （ｘ），则根据函数图象关于直线ｘ＝５对称，可得ｆ（ｘ）－５＜ｇ（ｘ）－５０≤ｆ（ｘ）≤１００≤ｇ（ｘ）≤１０
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