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学习向量，我们知道①a与非零b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使a=λb；②若a=（x1,y1 ）b =（x2,y2）则a与b平行的充要条件是x1y2=x2y1，利用向量共线的充要条件，可以解决一些代数、三角和平面几何问题，本文现举几例，
1.证明平行问题：
例1、求证：梯形对角线的中点的连线与两底平行，证明，如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为对角线BD，AC的中点，设AB=a，AD=b，因，AD∥BC，∴BC=λAD=λb,BD=AD-AB=b-a
∵E为BD的中点，所以BE=12BD=12(b-a)
∵F为AC中点，所以BF=12(BA+BC)=12(λb-a)所以BE=BF-BE=12λ-12b又∵b=1λBC
∴EF=12λ-12•1λBC∴EF∥BC
又∵EF、BC不在同一直线上∴EF∥BC
又∵AD∥BC所以EF∥AD
评析：要证明两直线平行，就是证明两条直线对应的向量是平行向量或共线向量，而要证明两个向量a，b是共线向量，就是想办法找到实数λ，使a=λb。
2.证明点共线
例2，若抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线与A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：设Ay122py1 、By222p,y2（y1≠y2）Fp2,0、C-p2,y2
∴FA=y122p-p2,y1FB=y222p,y2
由FA与FB共线得y122p-p2y2=y222p-p2y1
化简得y1y2=-p2
又,因为OA=y122p,y1OC=-p2,y2
且y122py2-y1-p2=0
所以OA与OC共线,即直线AC过原点O.
评注：本题通过证明OA与OC共线得到直线AC过原点,充分体现了平面向量与解析几何知识的整合,是应用向量解决问题的一个重要方向,也是近几年高考命题的一个热点和趋势.
3.证明等式
例3、若(x2+y2)(a2+b2)=(ax+by)2(ab≠0)求证:xa=yb
证明：所给条件即:x2+y2a2+b2=|ax+by|
若设a=(x,y)β=(a,b)
则|a|=x2+y2|β|=a2+b2
a•β=ax+by又由于|a•β|≤|a|•|β||ωsθ|≤|a||β|(θ为向量a与β夹角)
所以x2+y2•a2+b2≥|ax+by|而式中等号成立条件为|cosθ|=1
即θ=0或π
也就是向量a,β共线,这时有xa=yb
评注：以所给条件的特点出发,构造恰当的向量,利用向量共线的条件解决某些代数证明问题,思维独特,结构简单,充分体现了用向量解题的优越性.
4.求参数范围
例4、已知向量a,与b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1若向量m=a-λb.与n=λa-2b(λR)的夹角为钝角,求λ的取值范围。
解析：设向量m与n夹角为θ，由于向量m与n的夹角为钝角，
所以ωsθ＜且cosθ≠-1
cosθ=mn•n|m||n|所以m•n＜0
又∵m•n=(a-λb)(λa-2b)
=-λ2+6λ-2
由-λ2+6λ-2＜0λ＞3+7或λ＜3-7
又∵cosθ=-1向量m与n反向共线,所以m=kn(k＜0)
即a-λb=k(λa2b)
解得λ=-2(λ=2舍去)
故当cosθ≠-1时λ≠-2因此λ范围(-ω,-2)v(-2,3-7)v(3+7,+∞)
评注:此题在求解ωsθ≠-1时,若直接求解m•n|m||n|≠-1将非常复杂,但若注意到当cosθ=-1时,两向量反向共线,从而利用两向量共线的充要条件进行求解,则显得非常简单易行,体现了向量共线在解题中的作用.
5.求最值
例5设0＜x＜π求函数y=2-cosxsinx的最小值以及对应的x的值.
解析:由y=2-cosxsinxysinx+cosx=2
设a=(cosx,sinx)b=(1,y)
则a•b=ysinx+ωsx=2
而a•b|a||b|•ωsθ≤|a||b|=1•y2+1
∴y2+1≥2y≥3(y≤-3舍去)
其中等号成立条件是|a||b|即cosx1=sinxy
即2-cosxsinx=sinxcosx所以cosx=12
∴x=π3故函数的最小值等于3,此时x=π3
评注:本题通过巧构向量解决了三角函数的最值问题,给人以耳目一新的感觉,也充分展现了向量的广泛应用。
收稿日期：2008－02－25
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
1.证明平行问题：
例1、求证：梯形对角线的中点的连线与两底平行，证明，如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别为对角线BD，AC的中点，设AB=a，AD=b，因，AD∥BC，∴BC=λAD=λb,BD=AD-AB=b-a
∵E为BD的中点，所以BE=12BD=12(b-a)
∵F为AC中点，所以BF=12(BA+BC)=12(λb-a)所以BE=BF-BE=12λ-12b又∵b=1λBC
∴EF=12λ-12•1λBC∴EF∥BC
又∵EF、BC不在同一直线上∴EF∥BC
又∵AD∥BC所以EF∥AD
评析：要证明两直线平行，就是证明两条直线对应的向量是平行向量或共线向量，而要证明两个向量a，b是共线向量，就是想办法找到实数λ，使a=λb。
2.证明点共线
例2，若抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F，经过焦点F的直线交抛物线与A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：设Ay122py1 、By222p,y2（y1≠y2）Fp2,0、C-p2,y2
∴FA=y122p-p2,y1FB=y222p,y2
由FA与FB共线得y122p-p2y2=y222p-p2y1
化简得y1y2=-p2
又,因为OA=y122p,y1OC=-p2,y2
且y122py2-y1-p2=0
所以OA与OC共线,即直线AC过原点O.
评注：本题通过证明OA与OC共线得到直线AC过原点,充分体现了平面向量与解析几何知识的整合,是应用向量解决问题的一个重要方向,也是近几年高考命题的一个热点和趋势.
3.证明等式
例3、若(x2+y2)(a2+b2)=(ax+by)2(ab≠0)求证:xa=yb
证明：所给条件即:x2+y2a2+b2=|ax+by|
若设a=(x,y)β=(a,b)
则|a|=x2+y2|β|=a2+b2
a•β=ax+by又由于|a•β|≤|a|•|β||ωsθ|≤|a||β|(θ为向量a与β夹角)
所以x2+y2•a2+b2≥|ax+by|而式中等号成立条件为|cosθ|=1
即θ=0或π
也就是向量a,β共线,这时有xa=yb
评注：以所给条件的特点出发,构造恰当的向量,利用向量共线的条件解决某些代数证明问题,思维独特,结构简单,充分体现了用向量解题的优越性.
4.求参数范围
例4、已知向量a,与b的夹角为60°,且|a|=2,|b|=1若向量m=a-λb.与n=λa-2b(λR)的夹角为钝角,求λ的取值范围。
解析：设向量m与n夹角为θ，由于向量m与n的夹角为钝角，
所以ωsθ＜且cosθ≠-1
cosθ=mn•n|m||n|所以m•n＜0
又∵m•n=(a-λb)(λa-2b)
=-λ2+6λ-2
由-λ2+6λ-2＜0λ＞3+7或λ＜3-7
又∵cosθ=-1向量m与n反向共线,所以m=kn(k＜0)
即a-λb=k(λa2b)
解得λ=-2(λ=2舍去)
故当cosθ≠-1时λ≠-2因此λ范围(-ω,-2)v(-2,3-7)v(3+7,+∞)
评注:此题在求解ωsθ≠-1时,若直接求解m•n|m||n|≠-1将非常复杂,但若注意到当cosθ=-1时,两向量反向共线,从而利用两向量共线的充要条件进行求解,则显得非常简单易行,体现了向量共线在解题中的作用.
5.求最值
例5设0＜x＜π求函数y=2-cosxsinx的最小值以及对应的x的值.
解析:由y=2-cosxsinxysinx+cosx=2
设a=(cosx,sinx)b=(1,y)
则a•b=ysinx+ωsx=2
而a•b|a||b|•ωsθ≤|a||b|=1•y2+1
∴y2+1≥2y≥3(y≤-3舍去)
其中等号成立条件是|a||b|即cosx1=sinxy
即2-cosxsinx=sinxcosx所以cosx=12
∴x=π3故函数的最小值等于3,此时x=π3
评注:本题通过巧构向量解决了三角函数的最值问题,给人以耳目一新的感觉,也充分展现了向量的广泛应用。
收稿日期：2008－02－25
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”