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摘 要：本文通过探究两道相似的竞赛题的解法，追溯得到命制这类数学问题的依据．
关键词：竞赛；等腰三角形；推广
题1 如图1，在△ABC中，已知∠B=46°，∠BAD=21°，若AB=CD，试确定∠CAD的度数． （北京市竞赛题）
解法１：如图1，作△ABD关于AD的对称图形△AED，AE交BC于点O，则∠EAD=21°，AE=AB，所以DE=DB. 又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=46°. 连结CE，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE. 又DC=AE，则AO＝CO，∠OCA＝∠OAC， ∠COE=2∠ACO，∠COE=2∠AED=92°，故∠ACO=46°=∠OAC，所以∠CAD=∠DAE+∠OAC=67°．
评注：题中求出了∠ACB=46°，所以AB＝AC．
解法2：如图2，过点A作AE∥BC，过D点作DE∥AB，连结EC，因为∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，所以∠DCE=∠CED=（180°－46°）=67°.
又∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°，故∠ADC=∠DCE，从而梯形ADCE为等腰梯形，因此AC=DE，故AC=AB=CD，于是∠CAD=∠ADC=67°．
解法3：如图3，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连结BE，DE，则四边形AEDC为平行四边形，所以ED=AC.
因为AB=CD=AE，所以∠BEA=∠
关键词：竞赛；等腰三角形；推广
题1 如图1，在△ABC中，已知∠B=46°，∠BAD=21°，若AB=CD，试确定∠CAD的度数． （北京市竞赛题）
解法１：如图1，作△ABD关于AD的对称图形△AED，AE交BC于点O，则∠EAD=21°，AE=AB，所以DE=DB. 又∠ADC=21°+46°=67°，故∠ADE=∠ADB=180°－67°=113°，∠CDE=113°－67°=46°. 连结CE，∠ODE=∠OED=46°，得OD=OE. 又DC=AE，则AO＝CO，∠OCA＝∠OAC， ∠COE=2∠ACO，∠COE=2∠AED=92°，故∠ACO=46°=∠OAC，所以∠CAD=∠DAE+∠OAC=67°．
评注：题中求出了∠ACB=46°，所以AB＝AC．
解法2：如图2，过点A作AE∥BC，过D点作DE∥AB，连结EC，因为∠EDC=∠ABC=46°，DE=AB=CD，所以∠DCE=∠CED=（180°－46°）=67°.
又∠ADC=∠ABC+∠BAD=46°+21°=67°，故∠ADC=∠DCE，从而梯形ADCE为等腰梯形，因此AC=DE，故AC=AB=CD，于是∠CAD=∠ADC=67°．
解法3：如图3，过点A作AE∥BC，且AE=DC，连结BE，DE，则四边形AEDC为平行四边形，所以ED=AC.
因为AB=CD=AE，所以∠BEA=∠