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含绝对值不等式的常用解法有:
(1)基本性质法:对aER,I|《a台a《x《a;|lxl》ar《-a或》a。
(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号。(3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解。
(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解。
(5)数形结合法:在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像,利用函数图像求解。
下面我们重点讲解如何运用几何意义,解答绝对值不等式问题。
问题一、利用几何意义解两项绝对值不等式
代数法与几何意义解决绝对值不等式问题的对比。
例1在实数范围内,求不等式|2x1| |2x 1|《6的解集。
解法一:代数法解决绝对值不等式。分类讨论去掉绝对值符号解不等式。
评注:代数法解决绝对值不等式问题时,要根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后利用数形结合思想解决问题,这是常用的思维方法。利用零点分类讨论法解决绝对值不等式问题时,注意分类讨论要不重不漏。利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想。
问题二、利用几何意义解三项绝对值不等式
例2
解不等式|x-1| |x-2|《
|x 1|。
解析:所求不等式的几何意义是在数轴上找出到点ξ=1与点2=2的距离之和不大于到点=一1的距离的所有流动点x。
结合图1进行判断,在?与之间的一切点显示都合乎要求。事实上,这种点到?与2的距离和正好是1,而到的距离是2 (x-1)=1 x(1
(1)基本性质法:对aER,I|《a台a《x《a;|lxl》ar《-a或》a。
(2)平方法:两边平方去掉绝对值符号。(3)零点分区间法(或叫定义法):含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分区间法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解。
(4)几何法:利用绝对值的几何意义,画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点的距离求解。
(5)数形结合法:在平面直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图像,利用函数图像求解。
下面我们重点讲解如何运用几何意义,解答绝对值不等式问题。
问题一、利用几何意义解两项绝对值不等式
代数法与几何意义解决绝对值不等式问题的对比。
例1在实数范围内,求不等式|2x1| |2x 1|《6的解集。
解法一:代数法解决绝对值不等式。分类讨论去掉绝对值符号解不等式。
评注:代数法解决绝对值不等式问题时,要根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值符号,转化为分段函数,然后利用数形结合思想解决问题,这是常用的思维方法。利用零点分类讨论法解决绝对值不等式问题时,注意分类讨论要不重不漏。利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用零点分段法求解,体现了分类讨论的思想。
问题二、利用几何意义解三项绝对值不等式
例2
解不等式|x-1| |x-2|《
|x 1|。
解析:所求不等式的几何意义是在数轴上找出到点ξ=1与点2=2的距离之和不大于到点=一1的距离的所有流动点x。
结合图1进行判断,在?与之间的一切点显示都合乎要求。事实上,这种点到?与2的距离和正好是1,而到的距离是2 (x-1)=1 x(1