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解抽象函数问题要灵活应用题目条件赋值、转化和配凑，即通过对题设条件进行分析、联想，然后进行类比、猜想等合理思维方法，即可寻觅它的函数模型，借鉴函数模型的性质法则，探索出此类问题的解题思路。
一、求函数值
从特殊性入手，赋以某些变量恰当的特殊值，探索函数值变化规律，然后运用数值运算、推陈出新，求出函数值。
例1：设定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x+2）=13，若f（1）=2，求f（99）的值.
分析：f（x+2）=，f（x+4）=f[（x+2）+2]=x=f（x），函数f（x）是以4为周期的函数，f（99）=f（-1）.
二、求函数解析式
采取变量代换，去特殊值，联立方程消元或等价转换，逆推归纳等方法，选取既能简化运算，又易消元的变量或特殊值，求解析式。
例2：已知2f（x）+f（-x）=3x+2，求f（x）.
分析：∵2f（x）+f（-x）=3x+2 ①
用-x替换x得2f（-x）+f（x）=-3x+2 ②
由①②联立方程组得：f（x）=
三、求函数定义域，值域
抽象函数的定义域一般要根据问题的要求来研究，求值域时要重视对应法则的作用，还要注意定义域对它们的制约。
例3：若f（x）的定义域为[0，2]，求y=f（x-1）+f（x）的定义域.
分析：f（x）的定义域为[0，2]，则0≤x-1≤2且0≤x≤2得1≤x≤2，则y=f（x-1）+f（x）的定义域为[1，2].
例4：若定义域在R上的函数y=f（x）的值域为[a，b]，求f（x+1）的值域.
分析：抓住f（x）的定义域为R这个条件，则x+1∈R，则f（x+1）的值域也是[a，b].
四、求函数单调性
基本方法是定义法，根据所给条件判断f（x1）-f（x2）符号，设法构造出x1-x2的因式。
例5：若定义域在R上的函数y=f（x）对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）f（y），当x>0时，有f（x）>1，求证：f（x）在R上为增函数.
分析：可证f（x）在R上恒大于0.
设x1，x2∈R，且x10，
则f（x2-x1）>1，且f（x1）>0，
∵f（x+y）=f（x）f（y）
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）f（x1）>f（x1）
∴f（x）在R上为增函数.
五、求函数奇偶性
抽象函数的奇偶性的判断，关键找出f（x）与f（-x）的关系，因此先探索f（0）的值。
例6：若定义域在R上的函数y=f（x），对任意x、y∈R， 有f（x+y）-f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，求证：y=f（x）是偶函数
分析：令x=y=0，则2f（0）=2f 2（0），且f（0）≠0，∴f（0）=1令x=0，则f（y）+f（-y）=2f2（0）f（y）=2f（y）.
∴f（-y）=f（y），即f（-x）=f（x）∴函数y=f（x）是偶函数.
六、求函数周期性
充分利用定义寻找常数T，反复使用恒等式。
例7：已知y=f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f （x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立。求证：f（x）是周期函数.
分析：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）
=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）
∴f （x+3）=f [（x+1）+2]=-f [（x+1）-1]=-f（x）
∴f （x+6）=f [（x+3）+3]=-f （x+3）=f（x）
∴f （x）是周期函数且6是它的一个周期.
七、抽象函数性质的应用
1.求解不等式
把不等式中出现的常数转化为某自变量的函数值，把不等式两边都化为同一自变量的函数值的形式，然后根据单调性得到自变量应满足的不等式，再进行求解。
例8：函数f（x）对任意的实数m、n，有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x>0时，有f（x）>1，f（x）在R上为增函数，若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）<3.
分析：令x=y=2，则f（4）=2f（2）-1，又f（4）=5，所以f（3）=3.
∵f（x）在R上为增函数，∴3m2-m-2<2，解得原不等式的解集为（-1，）.
2.求函数最值
求抽象函数最值一般有两条途径，一是由初等连续函数定义在区间上的单调性去求;二是根据条件，即根据函数性质建立不等式去求。
例9：已知定义域在R上的奇函数y=f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），当x<0时，有f（x）>0，f（1）=-2求f（x）在[-3，3]上的最值.
分析：设x1、x2∈R，且x1 f（x1）-f（x2）=f（x1）+f（-x2）=f（x1-x2）>0，
∴f（x1）>f（x2）>0
∴f（x）在R上为单调递减函数.
∵f（1）=-2 ∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6，
f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.
一、求函数值
从特殊性入手，赋以某些变量恰当的特殊值，探索函数值变化规律，然后运用数值运算、推陈出新，求出函数值。
例1：设定义在R上的函数f（x）满足f（x）f（x+2）=13，若f（1）=2，求f（99）的值.
分析：f（x+2）=，f（x+4）=f[（x+2）+2]=x=f（x），函数f（x）是以4为周期的函数，f（99）=f（-1）.
二、求函数解析式
采取变量代换，去特殊值，联立方程消元或等价转换，逆推归纳等方法，选取既能简化运算，又易消元的变量或特殊值，求解析式。
例2：已知2f（x）+f（-x）=3x+2，求f（x）.
分析：∵2f（x）+f（-x）=3x+2 ①
用-x替换x得2f（-x）+f（x）=-3x+2 ②
由①②联立方程组得：f（x）=
三、求函数定义域，值域
抽象函数的定义域一般要根据问题的要求来研究，求值域时要重视对应法则的作用，还要注意定义域对它们的制约。
例3：若f（x）的定义域为[0，2]，求y=f（x-1）+f（x）的定义域.
分析：f（x）的定义域为[0，2]，则0≤x-1≤2且0≤x≤2得1≤x≤2，则y=f（x-1）+f（x）的定义域为[1，2].
例4：若定义域在R上的函数y=f（x）的值域为[a，b]，求f（x+1）的值域.
分析：抓住f（x）的定义域为R这个条件，则x+1∈R，则f（x+1）的值域也是[a，b].
四、求函数单调性
基本方法是定义法，根据所给条件判断f（x1）-f（x2）符号，设法构造出x1-x2的因式。
例5：若定义域在R上的函数y=f（x）对任意的实数x、y，有f（x+y）=f（x）f（y），当x>0时，有f（x）>1，求证：f（x）在R上为增函数.
分析：可证f（x）在R上恒大于0.
设x1，x2∈R，且x1
则f（x2-x1）>1，且f（x1）>0，
∵f（x+y）=f（x）f（y）
∴f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）f（x1）>f（x1）
∴f（x）在R上为增函数.
五、求函数奇偶性
抽象函数的奇偶性的判断，关键找出f（x）与f（-x）的关系，因此先探索f（0）的值。
例6：若定义域在R上的函数y=f（x），对任意x、y∈R， 有f（x+y）-f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，求证：y=f（x）是偶函数
分析：令x=y=0，则2f（0）=2f 2（0），且f（0）≠0，∴f（0）=1令x=0，则f（y）+f（-y）=2f2（0）f（y）=2f（y）.
∴f（-y）=f（y），即f（-x）=f（x）∴函数y=f（x）是偶函数.
六、求函数周期性
充分利用定义寻找常数T，反复使用恒等式。
例7：已知y=f（x）是实数集R上的函数，且对任意x∈R，f （x）=f（x+1）+f（x-1）恒成立。求证：f（x）是周期函数.
分析：∵f（x）=f（x+1）+f（x-1）∴f（x+1）=f（x）-f（x-1），
f（x+2）=f[（x+1）+1]=f（x+1）-f（x）
=f（x）-f（x-1）-f（x）=-f（x-1）
∴f （x+3）=f [（x+1）+2]=-f [（x+1）-1]=-f（x）
∴f （x+6）=f [（x+3）+3]=-f （x+3）=f（x）
∴f （x）是周期函数且6是它的一个周期.
七、抽象函数性质的应用
1.求解不等式
把不等式中出现的常数转化为某自变量的函数值，把不等式两边都化为同一自变量的函数值的形式，然后根据单调性得到自变量应满足的不等式，再进行求解。
例8：函数f（x）对任意的实数m、n，有f（x+y）=f（x）+f（y）-1，当x>0时，有f（x）>1，f（x）在R上为增函数，若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）<3.
分析：令x=y=2，则f（4）=2f（2）-1，又f（4）=5，所以f（3）=3.
∵f（x）在R上为增函数，∴3m2-m-2<2，解得原不等式的解集为（-1，）.
2.求函数最值
求抽象函数最值一般有两条途径，一是由初等连续函数定义在区间上的单调性去求;二是根据条件，即根据函数性质建立不等式去求。
例9：已知定义域在R上的奇函数y=f（x）满足f（a+b）=f（a）+f（b），当x<0时，有f（x）>0，f（1）=-2求f（x）在[-3，3]上的最值.
分析：设x1、x2∈R，且x1
∴f（x1）>f（x2）>0
∴f（x）在R上为单调递减函数.
∵f（1）=-2 ∴f（2）=f（1）+f（1）=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-6，
f（-3）=-f（3）=6
∴f（x）在[-3，3]上的最大值为6，最小值为-6.