学生在写作文时，老师总是要求发散思维，我们在解题时，也应该充分发散思维，产生想象、联想以便于帮助我们有效的解决问题.在教学中，我们有意识的强调一些常见几何体——正方体和长方体，在正方体中，面的对角线连接成为一个正四面体，很容易求出该正四面体的体积，如试题1，线线角，线面角等；在长方体中，应让学生探究出体对角线与棱或面所成角的余弦值的平方和为定值，此结论要让学生能分离出来，能达到举一反三的效果，命题者以此命制的试题，我们可以把它还原回去，问题便游忍而解——即揣摩命题人的命题思路.请看下列几道试题：
　　1. 给定依次排列的四个相互平行的平面α1,α2,α3,α4，其中每相邻两个平面间的距离都为1，若一个正四面体A1A2A3A4的四个顶点满足：Ai∈αi(i=1,2,3,4)，求该正四面体A1A2A3A4的体积．
　　解析：（补形）因为正四面体可由正方体连接相应面的对角线而得，如图所示，由题意可知，不妨设A1到面EFA2的距离为1，即A1到EF的距离为1，令A1E=α，在Rt△A1EF中，A1E·A1FEF=1，a·a2a2+a22=1，a=5，
　　V四面体A1A2A3A4=V正方体-4VEA1A2A4=a3-4×13×12×a3=553
　　2. 空间一条直线n与一个长方体的各个面所成的角都为α，而另一条直线与这个长方体的各条棱所成的角都为β，则cos2α+cos2β=（）
　　A. 12 B. 34
　　C. 43 D. 1
　　解析：以长方体的一个顶点为一正方体的一个顶点构造一个正方体，则是该正方体的对角线与原长方体的各个面所成的角都为α，与长方体的各条棱所成的角都为β，设正方体的棱长为a，则cos2α+cos2β=2a3a2+a3a2=1，选D.
　　3. （第四届“希望杯”）三棱锥PABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=90°，M为底面ABC内的任意点，∠APM=α，∠BPM=β，sinα=63，cosβ=66,则∠CPM的值是（）
　　A. 30°B. 45°
　　C. 60°D. 75°
　　解析：我们可以以PA,PB,PC为边构造长方体，PM为长方体的一条体对角线，在长方体中，体对角线与棱所成角的余弦值的平方的和为1，即有cos2α+cos2β+cos2∠CPM=1，代入数据得∠CPM=45°，即选B.
　　评述：对于2、3两题，解决问题的思想方法，来源于在长方体中，体的对角线与或面所成角的余弦值的平方和为定值.
　　4. 已知平面及以下四个几何体：
　　① 长、宽、高皆不相等的长方体；
　　② 底面为平行四边形但不是矩形和菱形的四菱柱；
　　③ 正四面体；
　　④ 各棱长皆不相等三棱锥.
　　则这几个几何体在平面上的射影可以是正方形的是（把所有正确的序号都填上）
　　说明：初看此题，选③,因为在正方体里可以作出一个正四面体；投影在底面是一个正方形，其他的呢？不敢保证正确，不可能只有③正确？应该还有其他选项，于是从选③的思想出发，既然正四面体是可以从正方体中产生，而其他的几何体就不能产生投影是一个正方形吗？所以我只须作出一个正四棱柱，在正四棱柱内能放以上几何体就可以了.
　　解析：我们只须画出一个正四棱柱，在正四棱柱内能画出以上几何体说可以了，
　　故填①②③④.
　　5. 在四面体ABCD中AB=CD=10，AC=BD=5，AD=BC=13，则四面体ABCD的外接球的表面积为.
　　分析：从题意看，有三对是相等的，我们会联想到长方体面的对角线刚好有三对相等，因此，对于选择题，我们只要能构造一个长方体，问题就好解了.
　　解析：构造一个长方体，问题就转化为一个长方体外接球的问题，AB=10，AC=5，AD=13，设长方体的棱长为a,b,c，外接球的半径为R，则四面体ABCD的外接球的球心是长方体的中心，则
　　a2+b2=5a2+c2=10b2+c2=132R=a2+b2+c2=14
　　R=142,S球=4πR2=14π
　　结语：以上试题不是很难，我们在审题时，一定要细心，逐字逐句，甚至于一个标点符号也不放过，充分产生想象和联想，这样我们才能准确地理解和把握命题者给我们的信息，有效地解决问题.如果我们在平时的教学中不作拓展，那么在考试时，我们的一部分学生会吃亏的，只要谈到正四面体，正方形我们就可以把它通过补形或是放在正方体（或长方体）中求解更方便、更直观、让人一目了然.