初中数学教材里有两个重要的公理：一个是“两点间线段最短”，另一个是“垂线段最短”.它们对于解决动点问题中的路线最短问题是非常重要的工具.教者应多思考、多归纳，引起足够重视.
　　1.计算一个动点问题中的路线最短
　　教材中提出的问题：在一条河l的同侧有张庄A、李庄B，问在河边的什么位置建水泵站，使安装水管的长度和最短？
　　具体做法：如图，作A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，点P为建水泵站的位置.
　　理由：连接PA，∵点A、A′关于l对称
　　∴PA=PA′
　　又∵PA=PA′
　　∴PA PB=PA′ PB=A′B，则A′B的长为PA PB和的最小值.
　　当P在直线l上另一个位置P′都会有P′A′ P′B>A′B（两点之间线段最短）.
　　思考1：已知一点P在∠AOB的内部，在OA，OB边上分别取一点M，N使△PMN的周长最小（将军饮马问题）？
　　具体做法：如图作P关于OA、OB的对称点P′、P″，连接P′P″分别交OA、OB于M、N，则△PMN的周长最小.
　　理由：易证△PMN的周长为P′P″的长，由两点之间线段最短可知△PMN的周长最小.
　　思考2：已知两条线段AC与BD有唯一的公共点M，以A、B、C、D为顶点所构成的多边形中，面积最大时，求该多边形周长的最小值？分两种情况讨论.
　　①构成三角形时，设AC与BD的夹角为α，AC=a，BD=b，则S=absinα，当α=90°时S最大，即AC⊥BD.
　　∵C=AB AD BD=AB AD b
　　∴当AB AD最小时，C最小.
　　作法：过点A作直线l//BD，作点B关于l的对称点B′，连接DB′交l于A，此时C最小.
　　理由：∵BD=b，AB=AB′，AB AD=BD′
　　利用两点间线段最短可知C最小
　　∵直线l//BD，点B、点B′关于l对称，
　　∴B′B⊥BD.
　　在Rt△B′BD中，BB′=2a，B′D==，
　　∴C最小值为b .
　　②构成四边形，易证AC⊥BD时，四边形ABCD面积最大.
　　由①得，AB=AD时，AB AD最小.
　　CD=CB时，CB CD最小.
　　BA=BC时，BA BC最小.
　　DA=DC时，DA DC最小.
　　∴当AC和BD互相平分时，四边形ABCD周长最小.
　　又∵AC=a，BD=b，
　　∴四边形ABCD是边长为