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摘 要：本文讨论了一个优美的不等式，并给出了它的一种推广．
关键词：不等式；凸性；凸函数
在《一个等周问题的探讨》一文中，作者讨论了一个优美的不等式：即若0<α<β<，则<<．特别在《一个优美不等式的直观证明》一文中，作者利用数形结合给出了一种几何证明．笔者通过深入研究，探讨了此不等式的内涵，发现作者的证明是基于正弦函数的凹性和正切函数的凸性，由此推广了不等式成立的范围．
命题：设f（x）为a<α<β 证明：在f（x）的图象上取两点A（α，f（α）），B（β，f（β）），则OA，OB的斜率分别为kOA=，kOB=，然后利用f（x）的凹性，可知kOA>kOB，即为<；同理可证不等式右边．
即证．
容易验证f（x）=sinx为凹函数，g（x）=tanx为凸函数，利用命题即可得到前面的优美不等式．另外，类比可以得到下面很漂亮的推论．
推论：设0<α<β<+∞，则有<<，其中sinhx=为双曲正弦函数，tanhx=为双曲正切函数．
证明：利用命题只需证明sinhx为凸函数，tanhx为凹函数即可，仅证第一步，由于当x>0时，（sinhx）″=sinhx>0，所以sinhx为凸函数，即证．
关键词：不等式；凸性；凸函数
在《一个等周问题的探讨》一文中，作者讨论了一个优美的不等式：即若0<α<β<，则<<．特别在《一个优美不等式的直观证明》一文中，作者利用数形结合给出了一种几何证明．笔者通过深入研究，探讨了此不等式的内涵，发现作者的证明是基于正弦函数的凹性和正切函数的凸性，由此推广了不等式成立的范围．
命题：设f（x）为a<α<β
即证．
容易验证f（x）=sinx为凹函数，g（x）=tanx为凸函数，利用命题即可得到前面的优美不等式．另外，类比可以得到下面很漂亮的推论．
推论：设0<α<β<+∞，则有<<，其中sinhx=为双曲正弦函数，tanhx=为双曲正切函数．
证明：利用命题只需证明sinhx为凸函数，tanhx为凹函数即可，仅证第一步，由于当x>0时，（sinhx）″=sinhx>0，所以sinhx为凸函数，即证．