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〔关键词〕 数学教学；变式教学；数学能力；概念；定理；公式；例题；习题
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2011）07（A）—0034—０３
素质教育是21世纪中国教育的主旋律，课堂教学是实施素质教育的重要环节，而中学数学课堂教学操作模式是实施数学素质教育的关键.为了全面提高学生的基本素质、培养学生的创新精神、开发学生的智能潜力，作为教学模式的一种——变式教学，是提高学生数学能力的一种重要途径.
变式是指相对于某种范式（即教材中具体数学思维成果，包含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，即不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式.变式有多种形式，如形式变式、内容变式、方法变式等.变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径.通过变式进行技能和思维的训练叫做变式训练；采用变式进行教学叫做变式教学.变式教学要求教师在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程.因此，变式教学有利于培养学生研究、探索问题的能力，是教学中学生思维训练和技能培养的重要途径.
我认为在变式教学的过程中，应包括以下几个方面的内容：
一、概念、定理、公式的变式教学
1. 知识形成过程中的问题设计.从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程和其内涵、外延的揭示过程比数学概念的定义本身更重要.在知识形成过程的教学中，教师不应直接将现成结论教给学生，而应充分利用实验、特例、多媒体教学等手段，设计系列问题，增加辅助、探索环节，引导学生从直观想象出发去发现、猜想.通过多样化的变式，培养学生观察、分析以及概括的能力.然后，让他们给出验证或理论证明，使他们形成一个完整的认知过程，逐步掌握认识事物、发现规律和真理的方式、方法.
2. 基本概念辨析型变式.数学概念的变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.
对概念的引入变式举例如下：
例1奇偶函数的定义，可通过下列变式题组引入：
（1）设f（x）=2x2，g（x）=x4+1，计算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
（2）设f（x）=x3，g（x）=-，计算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
首先，教师应引导学生观察计算结果，并得出结论：在（1）中，有f（x）=f（-x），g（x）=g（-x）；在（2）中，有f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）.然后，启发学生指出两类函数的特点，从而引进奇偶函数的概念.
对概念的巩固变式举例如下：
例2已知f（x）=x（1-x）（x>0），x（1+x）（x<0），证明f（x）是奇函数.
变式1已知f（x）=x（1-x） （x>0），1（x=0），x（1+x）（x<0），试判断f（x）的奇偶性；
变式2已知f（x）=x（1-x） （x>0），０（x=0），x（1+x）（x<0），试判断f（x）的奇偶性；
变式3已知f（x）为奇函数，且x>0时，（f）x=x（1-x），求f（x）在x<0时的表达式；
变式4已知f（x）是偶函数，且x>0时，（f）x=x（1-x），求f（x）在x<0时的表达式.
通过上述变式的引入，可以使学生不仅对函数的奇偶性定义有了更深刻的理解，而且对不同题型的解法之间的内在联系有了更深入的认识.
在概念形成后，教师不应急于让学生应用概念解决问题，而应引导学生多角度、多方位、多层次地探索概念的变式，透过现象看本质.一方面，可针对概念的内涵与外延设计变式问题，在弄清其内涵与外延的过程中，培养学生思维的深刻性；另一方面，可针对一些内容或形式相似、易造成混淆的问题，在教学中设计辨析变式问题，使学生在错综复杂的事物联系中发现事物的本质，并学会客观地评价事物.
3. 定理、公式的深化变式.一些定理、公式的推导、证明方法具有典型性，往往代表了一类典型的解题方法或思想，对它们的证明及推导方法加以探索，有利于学生解题思想方法的形成、巩固，并深化已学过的知识，从而培养学生的求异思维、创新意识.
例3（等比数列求和公式的推导）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其前n项和为：Sn=na1（q=1），（q≠1）.当q=1时，Sn=na1是显然的，下面仅给出q≠1时的公式推导方法：
方法一：（错位相减法）设Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.
①-②得：（1-q）Sn=a1-a1qn，∴当q≠1时，Sn=.
方法二：（公式法）由整式除法知，当q≠1时，=1+q+q2+…+qn-1，两边同乘以a1，得：=a1（1+q+q2+ … +qn-1）， ∴ Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.
方法三：（转换法）Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q（a1+a1q+ … +a1qn-1）=a1+qSn . ∴当q≠1时，Sn+a1q=a1+qSn，即Sn=.
方法四:（比例性质法）==…==q，由等比定理得q=，即=q，当q≠1时得：Sn=.
4. 图形变式.在数学教学中教师应尽可能利用图形位置和衬托背景的变化，反复变更概念的非本质属性，突出且保持概念的内涵特征，帮助学生形成正确的概念思维，培养学生思维的广阔性.
二、例题、习题的变式教学
1. 一题多解变式.即引导学生对同一问题从不同角度加以思考，探求不同的解答方案，从而培养学生思维的敏捷性.
例4已知a，b，m∈R+且a.
证法1：∵a，b，m∈R+，∴欲证>，只需证（a+m）b>a（b+m），即bm>am，因此只需证明b>a成立.∵a.
证法2：∵a，b，m∈R+，a=-1，故>.
证法3：∵a，b，m∈R+，a=，即>.
证法4：∵b>a>0，∴可设b=ka（k>1），而m∈R+，∴=>==.即>.
上述各种证法涉及不等式证明的常用方法：分析法、比较法、放缩法及构造法等.通过对本题证法的全方位探讨，无疑能培养学生的观察能力、想象能力及综合能力.
2. 一法多用变式.即将解决某一问题的方法加以归纳、总结并形成技巧，用以解决其他问题.这种变式能达到多题归一的目的，能培养学生对知识、方法的迁移能力.
3. 一题多变变式.即从一道习题出发，运用逆向或横向思维，通过改变题目条件、变化题型、变特殊条件为一般条件等手段，使原来的一道题变成一类题，再由一类题变为多类题，并通过对变题的研究、解决，使学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性、创造性的变式.
例5求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标.
变题一：（将条件一般化，提高应变能力）在曲线y2=4-2x上求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短，并求最短距离.
变题二：（改变背景，提高创新能力）抛物线G1：y2=4-2x与动圆G2：（x-a）2+y2=1没有公共点，求a的取值范围.
变题三：已知抛物线C：y2=4-2x，圆心在x轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点，求动圆半径的取值范围.
变题四：（联系实际，增强应用意识）一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y=（0≤y≤20），在杯内放一个玻璃球，要使球触及杯底，求玻璃球半径r的取值范围.
变题五：（变换条件结论，提高探索能力）是否存在满足下列条件的抛物线：（1）准线是x=；（2）顶点在x轴上；（3）点O（0，0）到此抛物线上动点M的距离的最小值为.若存在，有几条？并求方程.若不存在，说明理由.
三、教法、学法的变式
所谓教法、学法的变式，即教师在一堂课中根据教材的特点在贯穿启发式教学的同时，或讲授、或点拨、或讨论、或探索、或练习、或实验，运用多种教学手段，不断变换教与学的方法，充分发挥学生的主体作用，使教师的主导作用与学生的主体作用达到和谐统一，大幅度提高课堂教学效率.
四、数学变式教学应注意以下几个方面
如上对主要的数学变式教学方法进行了说明，但应当指出，数学变式不是为了变式而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律.其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能、技巧，完成“应用——理解——形成技能——培养能力”的认知过程.因此，数学变式教学要有一定的艺术性，要正确把握变式的度. 一般在数学变式教学时应注意以下几个问题：
1. 差异性. 数学变式教学要突出一个变字，避免简单的重复.变式题组的题目要有明显的差异，每道题要使学生既感到熟悉，又感到新鲜.从心理学的角度看，新鲜的题目对学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力就集中，思维就敏捷，从而能使训练达到较好的效果.因此，数学变式教学要努力做到变中求活，变中求新，变中求异，变中求广.
2. 层次性.数学变式教学要有一定的难度，才能调动学生的积极思考.但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，以充分激发学生的好奇心和求知欲；要让学生经过思考，能够跨过一个个门坎，从而起到培养学生的思维能力，发展学生的智力的作用.
3. 开阔性.一幅好画，境界开阔就会令人回味无穷.同样，数学变式教学，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实.因此，所选范例必须要有典型性：一要注意知识的横向联系；二要能够进行一题多解；三要具有延伸性，可进行一题多变.
4. 灵活性.根据教学内容和学生的实际情况，数学变式训练的方式要灵活多样，口头、书面、板演均可，力求使学生的独立练习和教师的启发引导下的半独立练习相结合.同时，根据教学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，以充分展示知识螺旋上升的形式. 这种灵活的训练方式不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高学生大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果.
编辑：刘立英
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463（2011）07（A）—0034—０３
素质教育是21世纪中国教育的主旋律，课堂教学是实施素质教育的重要环节，而中学数学课堂教学操作模式是实施数学素质教育的关键.为了全面提高学生的基本素质、培养学生的创新精神、开发学生的智能潜力，作为教学模式的一种——变式教学，是提高学生数学能力的一种重要途径.
变式是指相对于某种范式（即教材中具体数学思维成果，包含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等）的变化形式，即不断变更问题的情境或改变思维的角度，在保持事物本质特征不变的情况下，使事物的非本质属性不断迁移的变化方式.变式有多种形式，如形式变式、内容变式、方法变式等.变式既是一种重要的思想方法，又是一种重要的教学途径.通过变式进行技能和思维的训练叫做变式训练；采用变式进行教学叫做变式教学.变式教学要求教师在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程.因此，变式教学有利于培养学生研究、探索问题的能力，是教学中学生思维训练和技能培养的重要途径.
我认为在变式教学的过程中，应包括以下几个方面的内容：
一、概念、定理、公式的变式教学
1. 知识形成过程中的问题设计.从培养学生思维能力、创新意识的要求来看，数学概念的形成过程和其内涵、外延的揭示过程比数学概念的定义本身更重要.在知识形成过程的教学中，教师不应直接将现成结论教给学生，而应充分利用实验、特例、多媒体教学等手段，设计系列问题，增加辅助、探索环节，引导学生从直观想象出发去发现、猜想.通过多样化的变式，培养学生观察、分析以及概括的能力.然后，让他们给出验证或理论证明，使他们形成一个完整的认知过程，逐步掌握认识事物、发现规律和真理的方式、方法.
2. 基本概念辨析型变式.数学概念的变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.
对概念的引入变式举例如下：
例1奇偶函数的定义，可通过下列变式题组引入：
（1）设f（x）=2x2，g（x）=x4+1，计算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
（2）设f（x）=x3，g（x）=-，计算①f（1），f（-1），g（2），g（-2）；② f（a），f（-a），g（a），g（-a）；③ f（x），
f（-x），g（x），g（-x）.
首先，教师应引导学生观察计算结果，并得出结论：在（1）中，有f（x）=f（-x），g（x）=g（-x）；在（2）中，有f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x）.然后，启发学生指出两类函数的特点，从而引进奇偶函数的概念.
对概念的巩固变式举例如下：
例2已知f（x）=x（1-x）（x>0），x（1+x）（x<0），证明f（x）是奇函数.
变式1已知f（x）=x（1-x） （x>0），1（x=0），x（1+x）（x<0），试判断f（x）的奇偶性；
变式2已知f（x）=x（1-x） （x>0），０（x=0），x（1+x）（x<0），试判断f（x）的奇偶性；
变式3已知f（x）为奇函数，且x>0时，（f）x=x（1-x），求f（x）在x<0时的表达式；
变式4已知f（x）是偶函数，且x>0时，（f）x=x（1-x），求f（x）在x<0时的表达式.
通过上述变式的引入，可以使学生不仅对函数的奇偶性定义有了更深刻的理解，而且对不同题型的解法之间的内在联系有了更深入的认识.
在概念形成后，教师不应急于让学生应用概念解决问题，而应引导学生多角度、多方位、多层次地探索概念的变式，透过现象看本质.一方面，可针对概念的内涵与外延设计变式问题，在弄清其内涵与外延的过程中，培养学生思维的深刻性；另一方面，可针对一些内容或形式相似、易造成混淆的问题，在教学中设计辨析变式问题，使学生在错综复杂的事物联系中发现事物的本质，并学会客观地评价事物.
3. 定理、公式的深化变式.一些定理、公式的推导、证明方法具有典型性，往往代表了一类典型的解题方法或思想，对它们的证明及推导方法加以探索，有利于学生解题思想方法的形成、巩固，并深化已学过的知识，从而培养学生的求异思维、创新意识.
例3（等比数列求和公式的推导）设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则其前n项和为：Sn=na1（q=1），（q≠1）.当q=1时，Sn=na1是显然的，下面仅给出q≠1时的公式推导方法：
方法一：（错位相减法）设Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①，qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.
①-②得：（1-q）Sn=a1-a1qn，∴当q≠1时，Sn=.
方法二：（公式法）由整式除法知，当q≠1时，=1+q+q2+…+qn-1，两边同乘以a1，得：=a1（1+q+q2+ … +qn-1）， ∴ Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.
方法三：（转换法）Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q（a1+a1q+ … +a1qn-1）=a1+qSn . ∴当q≠1时，Sn+a1q=a1+qSn，即Sn=.
方法四:（比例性质法）==…==q，由等比定理得q=，即=q，当q≠1时得：Sn=.
4. 图形变式.在数学教学中教师应尽可能利用图形位置和衬托背景的变化，反复变更概念的非本质属性，突出且保持概念的内涵特征，帮助学生形成正确的概念思维，培养学生思维的广阔性.
二、例题、习题的变式教学
1. 一题多解变式.即引导学生对同一问题从不同角度加以思考，探求不同的解答方案，从而培养学生思维的敏捷性.
例4已知a，b，m∈R+且a
证法1：∵a，b，m∈R+，∴欲证>，只需证（a+m）b>a（b+m），即bm>am，因此只需证明b>a成立.∵a
证法2：∵a，b，m∈R+，a
证法3：∵a，b，m∈R+，a
证法4：∵b>a>0，∴可设b=ka（k>1），而m∈R+，∴=>==.即>.
上述各种证法涉及不等式证明的常用方法：分析法、比较法、放缩法及构造法等.通过对本题证法的全方位探讨，无疑能培养学生的观察能力、想象能力及综合能力.
2. 一法多用变式.即将解决某一问题的方法加以归纳、总结并形成技巧，用以解决其他问题.这种变式能达到多题归一的目的，能培养学生对知识、方法的迁移能力.
3. 一题多变变式.即从一道习题出发，运用逆向或横向思维，通过改变题目条件、变化题型、变特殊条件为一般条件等手段，使原来的一道题变成一类题，再由一类题变为多类题，并通过对变题的研究、解决，使学生形成完整的知识结构，培养学生思维的灵活性、创造性的变式.
例5求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标.
变题一：（将条件一般化，提高应变能力）在曲线y2=4-2x上求一点M，使此点到A（a，0）的距离最短，并求最短距离.
变题二：（改变背景，提高创新能力）抛物线G1：y2=4-2x与动圆G2：（x-a）2+y2=1没有公共点，求a的取值范围.
变题三：已知抛物线C：y2=4-2x，圆心在x轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点，求动圆半径的取值范围.
变题四：（联系实际，增强应用意识）一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是y=（0≤y≤20），在杯内放一个玻璃球，要使球触及杯底，求玻璃球半径r的取值范围.
变题五：（变换条件结论，提高探索能力）是否存在满足下列条件的抛物线：（1）准线是x=；（2）顶点在x轴上；（3）点O（0，0）到此抛物线上动点M的距离的最小值为.若存在，有几条？并求方程.若不存在，说明理由.
三、教法、学法的变式
所谓教法、学法的变式，即教师在一堂课中根据教材的特点在贯穿启发式教学的同时，或讲授、或点拨、或讨论、或探索、或练习、或实验，运用多种教学手段，不断变换教与学的方法，充分发挥学生的主体作用，使教师的主导作用与学生的主体作用达到和谐统一，大幅度提高课堂教学效率.
四、数学变式教学应注意以下几个方面
如上对主要的数学变式教学方法进行了说明，但应当指出，数学变式不是为了变式而变式，而是要根据教学需要，遵循学生的认知规律.其目的是通过变式训练，使学生在理解知识的基础之上，把学到的知识转化为能力，形成技能、技巧，完成“应用——理解——形成技能——培养能力”的认知过程.因此，数学变式教学要有一定的艺术性，要正确把握变式的度. 一般在数学变式教学时应注意以下几个问题：
1. 差异性. 数学变式教学要突出一个变字，避免简单的重复.变式题组的题目要有明显的差异，每道题要使学生既感到熟悉，又感到新鲜.从心理学的角度看，新鲜的题目对学生的刺激性强，学生的神经兴奋度高，做题时注意力就集中，思维就敏捷，从而能使训练达到较好的效果.因此，数学变式教学要努力做到变中求活，变中求新，变中求异，变中求广.
2. 层次性.数学变式教学要有一定的难度，才能调动学生的积极思考.但是，变式要由易到难，层层递进，让问题处于学生思维水平的最近发展区，以充分激发学生的好奇心和求知欲；要让学生经过思考，能够跨过一个个门坎，从而起到培养学生的思维能力，发展学生的智力的作用.
3. 开阔性.一幅好画，境界开阔就会令人回味无穷.同样，数学变式教学，一定要内涵丰富，境界开阔，给学生留下充足的思维空间，让学生感到内容充实.因此，所选范例必须要有典型性：一要注意知识的横向联系；二要能够进行一题多解；三要具有延伸性，可进行一题多变.
4. 灵活性.根据教学内容和学生的实际情况，数学变式训练的方式要灵活多样，口头、书面、板演均可，力求使学生的独立练习和教师的启发引导下的半独立练习相结合.同时，根据教学内容，有时可分散训练，有时可集中训练，有时一个题目的变式可分几次完成，以充分展示知识螺旋上升的形式. 这种灵活的训练方式不仅可以提高学生的兴趣，集中学生的注意力，而且可以使学生的多种感官参与学习，提高学生大脑和神经的兴奋度，达到最佳的训练效果.
编辑：刘立英
注：“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”