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〔关键词〕 数学教学;变式教学;数学能力;概念;定理;公式;例题;习题
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463(2011)07(A)—0034—03
素质教育是21世纪中国教育的主旋律,课堂教学是实施素质教育的重要环节,而中学数学课堂教学操作模式是实施数学素质教育的关键.为了全面提高学生的基本素质、培养学生的创新精神、开发学生的智能潜力,作为教学模式的一种——变式教学,是提高学生数学能力的一种重要途径.
变式是指相对于某种范式(即教材中具体数学思维成果,包含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等)的变化形式,即不断变更问题的情境或改变思维的角度,在保持事物本质特征不变的情况下,使事物的非本质属性不断迁移的变化方式.变式有多种形式,如形式变式、内容变式、方法变式等.变式既是一种重要的思想方法,又是一种重要的教学途径.通过变式进行技能和思维的训练叫做变式训练;采用变式进行教学叫做变式教学.变式教学要求教师在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程.因此,变式教学有利于培养学生研究、探索问题的能力,是教学中学生思维训练和技能培养的重要途径.
我认为在变式教学的过程中,应包括以下几个方面的内容:
一、概念、定理、公式的变式教学
1. 知识形成过程中的问题设计.从培养学生思维能力、创新意识的要求来看,数学概念的形成过程和其内涵、外延的揭示过程比数学概念的定义本身更重要.在知识形成过程的教学中,教师不应直接将现成结论教给学生,而应充分利用实验、特例、多媒体教学等手段,设计系列问题,增加辅助、探索环节,引导学生从直观想象出发去发现、猜想.通过多样化的变式,培养学生观察、分析以及概括的能力.然后,让他们给出验证或理论证明,使他们形成一个完整的认知过程,逐步掌握认识事物、发现规律和真理的方式、方法.
2. 基本概念辨析型变式.数学概念的变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.
对概念的引入变式举例如下:
例1奇偶函数的定义,可通过下列变式题组引入:
(1)设f(x)=2x2,g(x)=x4+1,计算①f(1),f(-1),g(2),g(-2);② f(a),f(-a),g(a),g(-a);③ f(x),
f(-x),g(x),g(-x).
(2)设f(x)=x3,g(x)=-,计算①f(1),f(-1),g(2),g(-2);② f(a),f(-a),g(a),g(-a);③ f(x),
f(-x),g(x),g(-x).
首先,教师应引导学生观察计算结果,并得出结论:在(1)中,有f(x)=f(-x),g(x)=g(-x);在(2)中,有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x).然后,启发学生指出两类函数的特点,从而引进奇偶函数的概念.
对概念的巩固变式举例如下:
例2已知f(x)=x(1-x)(x>0),x(1+x)(x<0),证明f(x)是奇函数.
变式1已知f(x)=x(1-x) (x>0),1(x=0),x(1+x)(x<0),试判断f(x)的奇偶性;
变式2已知f(x)=x(1-x) (x>0),0(x=0),x(1+x)(x<0),试判断f(x)的奇偶性;
变式3已知f(x)为奇函数,且x>0时,(f)x=x(1-x),求f(x)在x<0时的表达式;
变式4已知f(x)是偶函数,且x>0时,(f)x=x(1-x),求f(x)在x<0时的表达式.
通过上述变式的引入,可以使学生不仅对函数的奇偶性定义有了更深刻的理解,而且对不同题型的解法之间的内在联系有了更深入的认识.
在概念形成后,教师不应急于让学生应用概念解决问题,而应引导学生多角度、多方位、多层次地探索概念的变式,透过现象看本质.一方面,可针对概念的内涵与外延设计变式问题,在弄清其内涵与外延的过程中,培养学生思维的深刻性;另一方面,可针对一些内容或形式相似、易造成混淆的问题,在教学中设计辨析变式问题,使学生在错综复杂的事物联系中发现事物的本质,并学会客观地评价事物.
3. 定理、公式的深化变式.一些定理、公式的推导、证明方法具有典型性,往往代表了一类典型的解题方法或思想,对它们的证明及推导方法加以探索,有利于学生解题思想方法的形成、巩固,并深化已学过的知识,从而培养学生的求异思维、创新意识.
例3(等比数列求和公式的推导)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其前n项和为:Sn=na1(q=1),(q≠1).当q=1时,Sn=na1是显然的,下面仅给出q≠1时的公式推导方法:
方法一:(错位相减法)设Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①,qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.
①-②得:(1-q)Sn=a1-a1qn,∴当q≠1时,Sn=.
方法二:(公式法)由整式除法知,当q≠1时,=1+q+q2+…+qn-1,两边同乘以a1,得:=a1(1+q+q2+ … +qn-1), ∴ Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.
方法三:(转换法)Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q(a1+a1q+ … +a1qn-1)=a1+qSn . ∴当q≠1时,Sn+a1q=a1+qSn,即Sn=.
方法四:(比例性质法)==…==q,由等比定理得q=,即=q,当q≠1时得:Sn=.
4. 图形变式.在数学教学中教师应尽可能利用图形位置和衬托背景的变化,反复变更概念的非本质属性,突出且保持概念的内涵特征,帮助学生形成正确的概念思维,培养学生思维的广阔性.
二、例题、习题的变式教学
1. 一题多解变式.即引导学生对同一问题从不同角度加以思考,探求不同的解答方案,从而培养学生思维的敏捷性.
例4已知a,b,m∈R+且a.
证法1:∵a,b,m∈R+,∴欲证>,只需证(a+m)b>a(b+m),即bm>am,因此只需证明b>a成立.∵a.
证法2:∵a,b,m∈R+,a=-1,故>.
证法3:∵a,b,m∈R+,a=,即>.
证法4:∵b>a>0,∴可设b=ka(k>1),而m∈R+,∴=>==.即>.
上述各种证法涉及不等式证明的常用方法:分析法、比较法、放缩法及构造法等.通过对本题证法的全方位探讨,无疑能培养学生的观察能力、想象能力及综合能力.
2. 一法多用变式.即将解决某一问题的方法加以归纳、总结并形成技巧,用以解决其他问题.这种变式能达到多题归一的目的,能培养学生对知识、方法的迁移能力.
3. 一题多变变式.即从一道习题出发,运用逆向或横向思维,通过改变题目条件、变化题型、变特殊条件为一般条件等手段,使原来的一道题变成一类题,再由一类题变为多类题,并通过对变题的研究、解决,使学生形成完整的知识结构,培养学生思维的灵活性、创造性的变式.
例5求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标.
变题一:(将条件一般化,提高应变能力)在曲线y2=4-2x上求一点M,使此点到A(a,0)的距离最短,并求最短距离.
变题二:(改变背景,提高创新能力)抛物线G1:y2=4-2x与动圆G2:(x-a)2+y2=1没有公共点,求a的取值范围.
变题三:已知抛物线C:y2=4-2x,圆心在x轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点,求动圆半径的取值范围.
变题四:(联系实际,增强应用意识)一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是y=(0≤y≤20),在杯内放一个玻璃球,要使球触及杯底,求玻璃球半径r的取值范围.
变题五:(变换条件结论,提高探索能力)是否存在满足下列条件的抛物线:(1)准线是x=;(2)顶点在x轴上;(3)点O(0,0)到此抛物线上动点M的距离的最小值为.若存在,有几条?并求方程.若不存在,说明理由.
三、教法、学法的变式
所谓教法、学法的变式,即教师在一堂课中根据教材的特点在贯穿启发式教学的同时,或讲授、或点拨、或讨论、或探索、或练习、或实验,运用多种教学手段,不断变换教与学的方法,充分发挥学生的主体作用,使教师的主导作用与学生的主体作用达到和谐统一,大幅度提高课堂教学效率.
四、数学变式教学应注意以下几个方面
如上对主要的数学变式教学方法进行了说明,但应当指出,数学变式不是为了变式而变式,而是要根据教学需要,遵循学生的认知规律.其目的是通过变式训练,使学生在理解知识的基础之上,把学到的知识转化为能力,形成技能、技巧,完成“应用——理解——形成技能——培养能力”的认知过程.因此,数学变式教学要有一定的艺术性,要正确把握变式的度. 一般在数学变式教学时应注意以下几个问题:
1. 差异性. 数学变式教学要突出一个变字,避免简单的重复.变式题组的题目要有明显的差异,每道题要使学生既感到熟悉,又感到新鲜.从心理学的角度看,新鲜的题目对学生的刺激性强,学生的神经兴奋度高,做题时注意力就集中,思维就敏捷,从而能使训练达到较好的效果.因此,数学变式教学要努力做到变中求活,变中求新,变中求异,变中求广.
2. 层次性.数学变式教学要有一定的难度,才能调动学生的积极思考.但是,变式要由易到难,层层递进,让问题处于学生思维水平的最近发展区,以充分激发学生的好奇心和求知欲;要让学生经过思考,能够跨过一个个门坎,从而起到培养学生的思维能力,发展学生的智力的作用.
3. 开阔性.一幅好画,境界开阔就会令人回味无穷.同样,数学变式教学,一定要内涵丰富,境界开阔,给学生留下充足的思维空间,让学生感到内容充实.因此,所选范例必须要有典型性:一要注意知识的横向联系;二要能够进行一题多解;三要具有延伸性,可进行一题多变.
4. 灵活性.根据教学内容和学生的实际情况,数学变式训练的方式要灵活多样,口头、书面、板演均可,力求使学生的独立练习和教师的启发引导下的半独立练习相结合.同时,根据教学内容,有时可分散训练,有时可集中训练,有时一个题目的变式可分几次完成,以充分展示知识螺旋上升的形式. 这种灵活的训练方式不仅可以提高学生的兴趣,集中学生的注意力,而且可以使学生的多种感官参与学习,提高学生大脑和神经的兴奋度,达到最佳的训练效果.
编辑:刘立英
注:“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
〔中图分类号〕 G633.6〔文献标识码〕 A
〔文章编号〕 1004—0463(2011)07(A)—0034—03
素质教育是21世纪中国教育的主旋律,课堂教学是实施素质教育的重要环节,而中学数学课堂教学操作模式是实施数学素质教育的关键.为了全面提高学生的基本素质、培养学生的创新精神、开发学生的智能潜力,作为教学模式的一种——变式教学,是提高学生数学能力的一种重要途径.
变式是指相对于某种范式(即教材中具体数学思维成果,包含基本知识、知识结构、典型问题、思维模式等)的变化形式,即不断变更问题的情境或改变思维的角度,在保持事物本质特征不变的情况下,使事物的非本质属性不断迁移的变化方式.变式有多种形式,如形式变式、内容变式、方法变式等.变式既是一种重要的思想方法,又是一种重要的教学途径.通过变式进行技能和思维的训练叫做变式训练;采用变式进行教学叫做变式教学.变式教学要求教师在课堂上通过变式展示知识发生、发展、形成的完整的认知过程.因此,变式教学有利于培养学生研究、探索问题的能力,是教学中学生思维训练和技能培养的重要途径.
我认为在变式教学的过程中,应包括以下几个方面的内容:
一、概念、定理、公式的变式教学
1. 知识形成过程中的问题设计.从培养学生思维能力、创新意识的要求来看,数学概念的形成过程和其内涵、外延的揭示过程比数学概念的定义本身更重要.在知识形成过程的教学中,教师不应直接将现成结论教给学生,而应充分利用实验、特例、多媒体教学等手段,设计系列问题,增加辅助、探索环节,引导学生从直观想象出发去发现、猜想.通过多样化的变式,培养学生观察、分析以及概括的能力.然后,让他们给出验证或理论证明,使他们形成一个完整的认知过程,逐步掌握认识事物、发现规律和真理的方式、方法.
2. 基本概念辨析型变式.数学概念的变式主要包括概念的引入变式、辨析变式、深化变式和巩固变式.
对概念的引入变式举例如下:
例1奇偶函数的定义,可通过下列变式题组引入:
(1)设f(x)=2x2,g(x)=x4+1,计算①f(1),f(-1),g(2),g(-2);② f(a),f(-a),g(a),g(-a);③ f(x),
f(-x),g(x),g(-x).
(2)设f(x)=x3,g(x)=-,计算①f(1),f(-1),g(2),g(-2);② f(a),f(-a),g(a),g(-a);③ f(x),
f(-x),g(x),g(-x).
首先,教师应引导学生观察计算结果,并得出结论:在(1)中,有f(x)=f(-x),g(x)=g(-x);在(2)中,有f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x).然后,启发学生指出两类函数的特点,从而引进奇偶函数的概念.
对概念的巩固变式举例如下:
例2已知f(x)=x(1-x)(x>0),x(1+x)(x<0),证明f(x)是奇函数.
变式1已知f(x)=x(1-x) (x>0),1(x=0),x(1+x)(x<0),试判断f(x)的奇偶性;
变式2已知f(x)=x(1-x) (x>0),0(x=0),x(1+x)(x<0),试判断f(x)的奇偶性;
变式3已知f(x)为奇函数,且x>0时,(f)x=x(1-x),求f(x)在x<0时的表达式;
变式4已知f(x)是偶函数,且x>0时,(f)x=x(1-x),求f(x)在x<0时的表达式.
通过上述变式的引入,可以使学生不仅对函数的奇偶性定义有了更深刻的理解,而且对不同题型的解法之间的内在联系有了更深入的认识.
在概念形成后,教师不应急于让学生应用概念解决问题,而应引导学生多角度、多方位、多层次地探索概念的变式,透过现象看本质.一方面,可针对概念的内涵与外延设计变式问题,在弄清其内涵与外延的过程中,培养学生思维的深刻性;另一方面,可针对一些内容或形式相似、易造成混淆的问题,在教学中设计辨析变式问题,使学生在错综复杂的事物联系中发现事物的本质,并学会客观地评价事物.
3. 定理、公式的深化变式.一些定理、公式的推导、证明方法具有典型性,往往代表了一类典型的解题方法或思想,对它们的证明及推导方法加以探索,有利于学生解题思想方法的形成、巩固,并深化已学过的知识,从而培养学生的求异思维、创新意识.
例3(等比数列求和公式的推导)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则其前n项和为:Sn=na1(q=1),(q≠1).当q=1时,Sn=na1是显然的,下面仅给出q≠1时的公式推导方法:
方法一:(错位相减法)设Sn=a1+a1q+…+a1qn-1①,qSn=a1q+a1q2+…+a1qn②.
①-②得:(1-q)Sn=a1-a1qn,∴当q≠1时,Sn=.
方法二:(公式法)由整式除法知,当q≠1时,=1+q+q2+…+qn-1,两边同乘以a1,得:=a1(1+q+q2+ … +qn-1), ∴ Sn=a1+a1q+ … +a1qn-1=.
方法三:(转换法)Sn+1=Sn+a1qn=a1+a1q+…+a1qn-1+a1qn=a1+q(a1+a1q+ … +a1qn-1)=a1+qSn . ∴当q≠1时,Sn+a1q=a1+qSn,即Sn=.
方法四:(比例性质法)==…==q,由等比定理得q=,即=q,当q≠1时得:Sn=.
4. 图形变式.在数学教学中教师应尽可能利用图形位置和衬托背景的变化,反复变更概念的非本质属性,突出且保持概念的内涵特征,帮助学生形成正确的概念思维,培养学生思维的广阔性.
二、例题、习题的变式教学
1. 一题多解变式.即引导学生对同一问题从不同角度加以思考,探求不同的解答方案,从而培养学生思维的敏捷性.
例4已知a,b,m∈R+且a
证法1:∵a,b,m∈R+,∴欲证>,只需证(a+m)b>a(b+m),即bm>am,因此只需证明b>a成立.∵a.
证法2:∵a,b,m∈R+,a=-1,故>.
证法3:∵a,b,m∈R+,a=,即>.
证法4:∵b>a>0,∴可设b=ka(k>1),而m∈R+,∴=>==.即>.
上述各种证法涉及不等式证明的常用方法:分析法、比较法、放缩法及构造法等.通过对本题证法的全方位探讨,无疑能培养学生的观察能力、想象能力及综合能力.
2. 一法多用变式.即将解决某一问题的方法加以归纳、总结并形成技巧,用以解决其他问题.这种变式能达到多题归一的目的,能培养学生对知识、方法的迁移能力.
3. 一题多变变式.即从一道习题出发,运用逆向或横向思维,通过改变题目条件、变化题型、变特殊条件为一般条件等手段,使原来的一道题变成一类题,再由一类题变为多类题,并通过对变题的研究、解决,使学生形成完整的知识结构,培养学生思维的灵活性、创造性的变式.
例5求曲线y2=4-2x上与原点距离最近的点P的坐标.
变题一:(将条件一般化,提高应变能力)在曲线y2=4-2x上求一点M,使此点到A(a,0)的距离最短,并求最短距离.
变题二:(改变背景,提高创新能力)抛物线G1:y2=4-2x与动圆G2:(x-a)2+y2=1没有公共点,求a的取值范围.
变题三:已知抛物线C:y2=4-2x,圆心在x轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线C的顶点,求动圆半径的取值范围.
变题四:(联系实际,增强应用意识)一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是y=(0≤y≤20),在杯内放一个玻璃球,要使球触及杯底,求玻璃球半径r的取值范围.
变题五:(变换条件结论,提高探索能力)是否存在满足下列条件的抛物线:(1)准线是x=;(2)顶点在x轴上;(3)点O(0,0)到此抛物线上动点M的距离的最小值为.若存在,有几条?并求方程.若不存在,说明理由.
三、教法、学法的变式
所谓教法、学法的变式,即教师在一堂课中根据教材的特点在贯穿启发式教学的同时,或讲授、或点拨、或讨论、或探索、或练习、或实验,运用多种教学手段,不断变换教与学的方法,充分发挥学生的主体作用,使教师的主导作用与学生的主体作用达到和谐统一,大幅度提高课堂教学效率.
四、数学变式教学应注意以下几个方面
如上对主要的数学变式教学方法进行了说明,但应当指出,数学变式不是为了变式而变式,而是要根据教学需要,遵循学生的认知规律.其目的是通过变式训练,使学生在理解知识的基础之上,把学到的知识转化为能力,形成技能、技巧,完成“应用——理解——形成技能——培养能力”的认知过程.因此,数学变式教学要有一定的艺术性,要正确把握变式的度. 一般在数学变式教学时应注意以下几个问题:
1. 差异性. 数学变式教学要突出一个变字,避免简单的重复.变式题组的题目要有明显的差异,每道题要使学生既感到熟悉,又感到新鲜.从心理学的角度看,新鲜的题目对学生的刺激性强,学生的神经兴奋度高,做题时注意力就集中,思维就敏捷,从而能使训练达到较好的效果.因此,数学变式教学要努力做到变中求活,变中求新,变中求异,变中求广.
2. 层次性.数学变式教学要有一定的难度,才能调动学生的积极思考.但是,变式要由易到难,层层递进,让问题处于学生思维水平的最近发展区,以充分激发学生的好奇心和求知欲;要让学生经过思考,能够跨过一个个门坎,从而起到培养学生的思维能力,发展学生的智力的作用.
3. 开阔性.一幅好画,境界开阔就会令人回味无穷.同样,数学变式教学,一定要内涵丰富,境界开阔,给学生留下充足的思维空间,让学生感到内容充实.因此,所选范例必须要有典型性:一要注意知识的横向联系;二要能够进行一题多解;三要具有延伸性,可进行一题多变.
4. 灵活性.根据教学内容和学生的实际情况,数学变式训练的方式要灵活多样,口头、书面、板演均可,力求使学生的独立练习和教师的启发引导下的半独立练习相结合.同时,根据教学内容,有时可分散训练,有时可集中训练,有时一个题目的变式可分几次完成,以充分展示知识螺旋上升的形式. 这种灵活的训练方式不仅可以提高学生的兴趣,集中学生的注意力,而且可以使学生的多种感官参与学习,提高学生大脑和神经的兴奋度,达到最佳的训练效果.
编辑:刘立英
注:“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”