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摘 要:随机控制理论在金融风险管理中的广泛应用,在国外是个热门课题,也是个前沿问题,是门亟待蓬勃发展的学科。本文通过对国外这个领域研究的发展现状和研究成果的介绍,旨在引起国内更多学者的关注,并做出更大的成绩。
关键词:模型 破产概率 再保险 投资 最优
中图分类号:F81文献标识码:A 文章编号:1007-3973 (2010) 01-123-02
近年来,利用随机控制解决保险问题受到越来越多的关注。这是由于保险公司可以投资于股票市场,可以采取再保险策略,也可以在特定限制下支付红利,使特定目标函数最大化。早在1967年,KarlBorch在伦敦皇家统计协会中作报告就指出:控制过程理论好像是为保险者已经奋斗了超过了一个世纪的问题所制造的泰勒模式。如果保险者和工程师已经意识到他们一直在研究同样的问题,并且已经联系超过了五十年,考虑这个理论如何发展将会是非常有趣且有用的。
直到1994和1995年,保险上的随机控制文章才开始出现,例如Martin-lf,Brackett和Xia或Browne从那时起,这个领域迅速发展,Soren Asmussen, Michael Taksar
BjameHoejaard, HanspeterSchmidli等人写了大量文章。在这些研究中,按保险者盈余过程的不同可分为两类:一类是经典的Crame-Lundberg模型,另一类是近似扩散模型;按最优化标准分也可分为两类:一类是以保险公司的破产概率最小作为优化标准,另一类是破产时刻预期累计收益最大,如效用最大、红利支付最大等作为最优化标准。我们将按照模型的不同介绍该领域内的主要结果:
1经典Cramer-Lundberg模型
1903年,Lundberg引入了一个基于齐次泊松理赔过程的累计风险过程,从那时起,破产概率的估计一直是风险理论研究的中心问题。其中最著名的结论是如果理赔量指数矩存在,破产概率与初始盈余呈指数递减关系。(见文献Gerber.H.U.,Asmussen.S.).
近年来,很多人提出了更一般的问题:如果允许保险者投资于风险资产(比如风险资产价格服从几何布朗运动),则他所能获得的最小破产概率是多少,他所能采取的最优策略是什么,这样做是否比不进行投资所获得的破产概率小?如果他采取再保策略,他所能获得的最小破产概率又是多少,对应的再保策略是什么?
对于最优投资问题,当股票价格服从几何布朗运动时,Paulsen和Gjessing在所有盈余都投资于风险资产的假设下,研究了破产概率的近似估计问题;K2alashnikov和Norberg研究了同样的问题。Frovola,Kabanov和Pergamenshchikov研究的是投资财富的常数比例于风险资产上。在上述所有情况中,在理赔量指数矩存在时,破产概率以初始盈余的负指数幂递减。Hipp和Plum(2001,2003)考虑了更一般的情况,并分析了破产概率最小标准下的最优投资策略。他们得到了相应问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程,证明了解的存在性和识别定理,然后给出了指数理赔分布和特殊参数值时的详细解。这表明在指数理赔分布时,最小破产概率与初始盈余呈指数递减关系;J.Gaier,P.Grandits和W.Schachermayer在同样的模型下利用鞅方法考虑了破产概率的近似估计问题,并得到了在近似最小破产概率下的最优投资策略是常数,与初始盈余无关,这反映了破产概率是保险公司最小的策略是保险公司所采取的最保守的一种策略。Hanspeter Schmidli也考虑了这个问题,他研究了当理赔分布是次指数分布时最优策略下破产概率的近似问题,并得到了在此种情况下,当初始盈余趋向于无穷时,最优策略也趋于无穷。
对于再保问题,一般的研究主要集中在比例再保和超额再保上。HanspeterSchimidli分别研究了此模型下的最优比例再保险策略和超额再保险下的最小破产概率的cramer-Lundberg近似。ChristianHipp和Michael Vogt研究了最优超额再保险。他们证明了相应的HJB方程存在光滑解,并给出了HJB方程的识别定理。对指数理赔分布是Pareto分布时给出了数值解。
为了减少风险,保险公司可以在采取投资策略的同时采取再保险策略。一直以来,这方面的研究较少.Hanspeter Schmidli对这个问题作了研究,他对理赔分布在指数矩存在,不存在两种情况分别得到了破产概率的Clamer-Lundberg近似。他在2002年利用鞅方法,进行测度变换,考虑了当理赔分布指数矩存在时的最优投资和比例再保策略,他并没有详细地给出最优策略,却给出了此种情况下的破产概率的Cramer-Lundberg近似。2004年,他又研究了理赔指数矩不存在的情况下同样的问题。此时为了保证Lundberg指数的存在,得到了最优再保策略是0,这样就将问题转化成了没有再保策情况下保险者的最优投资问题。他证明了比例再保策略收敛于0,最优投资策略收敛于一个常数,并给出了破产概率的Cramer-Lundberg近似。但是在这两篇文章中,Hanspeter Schmidli 没有给出HJB方程的识别定理,且没有说明解的存在性。
在Cramer-Lundberg模型下,以破产时刻预期累计折现收益最大为目标函数的文献有Hipp(2003)等,以红利支付为目标函数的文献有AsmussenS.和Taksar、B.Hjgaard和MTaksar,Jostein Paulsen Pablo Azcue和Nora Muler等,其中Pablo Azcue和Nora Muler给出了最优比例再保险策略及红利支付的粘性解。
2近似扩散模型
虽然经典Cramer-Lundberg模型近似于保险公司的现实状况,但在经典Cramer-Lundberg模型中,很多问题无法得到精确解,故近年来,很多文献将其近似为扩散模型,且当保险公司盈余过程相对于单个理赔来说较大时,扩散模型也确实能很好的模拟保险公司的动态盈余过程。Sid Browne(1994)研究了近似扩散模型的最优投资问题,他在股票价格服从几何布朗运动且与保险公司扩散过程模型中的布朗运动不独立时,得到了在破产概率最小限制下的最优投资策略是常数,并利用光滑粘性条件详细计算了最小破产概率。Hanspeter Schmidli研究了扩散模型中的最优比例再保险策略,他得到了此时的最优策略是一个常数,并给出了此常数值以及破产概率的具体形式.Michael I.Taksar,Charlotte Markussen假定公司过程为扩散过程,公司盈余全部投资于股票市场(股票价格服从几何布朗运动)时,在破产概率最小限制下保险公司所采取的最优比例再保策略.B.Hjgaard和M.Taksar考虑了扩散模型中,在预期折现收益最大限制下的最优比例在保险策略。对于红利支付的文献可参见AsmussenS.和M.Taksar,B.Hjgaard和M.Taksar.
3研究前景
对于经典的Cramer-Lundberg模型,现在需要研究的问题还很多,不同的理赔分布会对应不同的破产概率,故可从理赔分布方面来研究;在上述文献中,绝大多数文章对于投资问题的假设都是股票价格服从几何布朗运动,而我们知道,几何布朗运动不是刻画股票价格的唯一模型,市场中常见的股票价格模型还有多维扩散模型,跳扩散模型,随机波动率模型等,故我们还可从不同的股票价格模型来进行考虑;投资再保问题仍然是一个亟待解决的问题,由于再保策略出现在随机跳中,如何解出再保策略以及它所对应的HJB方程的光滑解是否存在,如果不存在光滑解,能否确定其粘性解也需要进行进一步的研究。
参考文献:
[1]Asmussen S.and M.Taksar(1997), Controlled diffusion models for optimal dividend payout.Insurance: Mathematics andEconomics 20,1--15.
[2]Asmussen S. (2000) , Ruin probabilities.World Scientific,Singspore.
[3]Brockett P. and Xia X.(1995), Operations research in insurance: a review. Trans. Act. Soc. XLVII, 7-80.
[4]Browne,S. (1995), Optimal investment policies for a firmwith a random risk process:exponentional utility and minimizing the probabnility of ruin .Math.Operations Res.20,937--958.
[5]Frolova,A.,Kabanov,Y.,Pergamenshchikov,S.(2002), In the insurance business risky investments are dangerous. Finance and Stochastics,6,227---235.
[6]Gerber.H.U.(1979),An Introduction to Mathematical Risk Theory.S.S.Heubner Foundation Monographs,University of Pennsilvania.
[7]Gaier,J. Grandits,P.and Schachermeyer,W.(2003),Asymptotic ruin probabilities and optimal investment. Ann. Appl. Probab.,13,1054--1076.
[8]Hipp,C.(2003),Stochastic control with applicaton in insurance . Report,University of Karlsruhe.
[9]Hipp,C. and M.Plum(2000), Optimal investment for insurers.Insureance: Mathematics and Economics,27,215--228.
[10]Hipp,C. and M.Plum(2003) , Optimal investment for investors with State dependent income,and for insurers. Finance and Stochastics,7,299--321.
[11]Hipp,C.and M.Vogt(2003), Optimal dynamic XL reinsurance.ASTIN Bulletin,33,193--208.
[12]Hipp,C. and H.Schmidli(2003), Asymptotics of the ruinprobability for the controlled risk process:the small claimscase .To appear in Scandinavian Actuarial Journal.
[13]Hjgaard,B.and M.Taksar(1997), Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal,166--180.
[14]Hjgaard,B.andM.Taksar(1999),Controlling risk exposure and dividend pay-out scemes:Insurance company example.Mathematical Finance,9.153--182.
[15]Hjgaard,B.and M.Taksar(2000),Optimal dynamic portfolio selection for a corporation with controllable risk and dividend distribution policy. Submitted for publication.
[16]Hjgaard,B.and M.Taksar(2001),Optimal risk control for alarge corporation in the presence of return on investments. Finance and Stochatics,5,527--547.
[17]Kalashnikov,V.and Norberg.R.(2002),Power tailed ruinprobabilities in the presence of risky investments. StochasticProcess. Appl. 98,211--228.
[18]Martin-Lf,A.(1994),Lectures on the use of control theory ininsurance. Scandinavian Actuarial Journal,1--25.
[19]Pablo Azcue and Nora Muler(2005),Optimal reinsuranceand dividend distribution policies in the Cramer-Lundbergmodel.Mathematicsal Finance,15,261--308.
[20]Paulsen,J.and Gjessing,H.K.(1997),Ruin theory withstochastic return on investments.Adv.in Appl.Probab.29,965--985.
[21]Schmidli,H.(2001),Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting. Scand. Actuarial J.,55--68.
[22]Schmidli,H.(2002),Asymptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance policies: the large claim case. Working paper 179,Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[23]Schmidli,H.(2003),Asymptotics of ruin probabilities for riskprocesses under optimal reinsurance policies: the small claimcase. Working paper 180,Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[24]Schmidli,H.(2004),Asymptotics of ruin probabilities for riskprocesses under optimal reinsurance and investment policies:the large claim case.Queueing Syst.Theory Appl.,to appear.
[25] Schmidli,H.(2004),On Cramer-Lundberg approximationsfor ruin probabilities under optimal excess of loss reinsurance.Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[26]Schmidli,H.(2005),On optimal investments and subexponentialclaims. Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[27]Taksar,M.and Markussen,C.(2003),Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios.Finance and Stochatics,7,97--121.
关键词:模型 破产概率 再保险 投资 最优
中图分类号:F81文献标识码:A 文章编号:1007-3973 (2010) 01-123-02
近年来,利用随机控制解决保险问题受到越来越多的关注。这是由于保险公司可以投资于股票市场,可以采取再保险策略,也可以在特定限制下支付红利,使特定目标函数最大化。早在1967年,KarlBorch在伦敦皇家统计协会中作报告就指出:控制过程理论好像是为保险者已经奋斗了超过了一个世纪的问题所制造的泰勒模式。如果保险者和工程师已经意识到他们一直在研究同样的问题,并且已经联系超过了五十年,考虑这个理论如何发展将会是非常有趣且有用的。
直到1994和1995年,保险上的随机控制文章才开始出现,例如Martin-lf,Brackett和Xia或Browne从那时起,这个领域迅速发展,Soren Asmussen, Michael Taksar
BjameHoejaard, HanspeterSchmidli等人写了大量文章。在这些研究中,按保险者盈余过程的不同可分为两类:一类是经典的Crame-Lundberg模型,另一类是近似扩散模型;按最优化标准分也可分为两类:一类是以保险公司的破产概率最小作为优化标准,另一类是破产时刻预期累计收益最大,如效用最大、红利支付最大等作为最优化标准。我们将按照模型的不同介绍该领域内的主要结果:
1经典Cramer-Lundberg模型
1903年,Lundberg引入了一个基于齐次泊松理赔过程的累计风险过程,从那时起,破产概率的估计一直是风险理论研究的中心问题。其中最著名的结论是如果理赔量指数矩存在,破产概率与初始盈余呈指数递减关系。(见文献Gerber.H.U.,Asmussen.S.).
近年来,很多人提出了更一般的问题:如果允许保险者投资于风险资产(比如风险资产价格服从几何布朗运动),则他所能获得的最小破产概率是多少,他所能采取的最优策略是什么,这样做是否比不进行投资所获得的破产概率小?如果他采取再保策略,他所能获得的最小破产概率又是多少,对应的再保策略是什么?
对于最优投资问题,当股票价格服从几何布朗运动时,Paulsen和Gjessing在所有盈余都投资于风险资产的假设下,研究了破产概率的近似估计问题;K2alashnikov和Norberg研究了同样的问题。Frovola,Kabanov和Pergamenshchikov研究的是投资财富的常数比例于风险资产上。在上述所有情况中,在理赔量指数矩存在时,破产概率以初始盈余的负指数幂递减。Hipp和Plum(2001,2003)考虑了更一般的情况,并分析了破产概率最小标准下的最优投资策略。他们得到了相应问题的Hamilton-Jacobi-Bellman方程,证明了解的存在性和识别定理,然后给出了指数理赔分布和特殊参数值时的详细解。这表明在指数理赔分布时,最小破产概率与初始盈余呈指数递减关系;J.Gaier,P.Grandits和W.Schachermayer在同样的模型下利用鞅方法考虑了破产概率的近似估计问题,并得到了在近似最小破产概率下的最优投资策略是常数,与初始盈余无关,这反映了破产概率是保险公司最小的策略是保险公司所采取的最保守的一种策略。Hanspeter Schmidli也考虑了这个问题,他研究了当理赔分布是次指数分布时最优策略下破产概率的近似问题,并得到了在此种情况下,当初始盈余趋向于无穷时,最优策略也趋于无穷。
对于再保问题,一般的研究主要集中在比例再保和超额再保上。HanspeterSchimidli分别研究了此模型下的最优比例再保险策略和超额再保险下的最小破产概率的cramer-Lundberg近似。ChristianHipp和Michael Vogt研究了最优超额再保险。他们证明了相应的HJB方程存在光滑解,并给出了HJB方程的识别定理。对指数理赔分布是Pareto分布时给出了数值解。
为了减少风险,保险公司可以在采取投资策略的同时采取再保险策略。一直以来,这方面的研究较少.Hanspeter Schmidli对这个问题作了研究,他对理赔分布在指数矩存在,不存在两种情况分别得到了破产概率的Clamer-Lundberg近似。他在2002年利用鞅方法,进行测度变换,考虑了当理赔分布指数矩存在时的最优投资和比例再保策略,他并没有详细地给出最优策略,却给出了此种情况下的破产概率的Cramer-Lundberg近似。2004年,他又研究了理赔指数矩不存在的情况下同样的问题。此时为了保证Lundberg指数的存在,得到了最优再保策略是0,这样就将问题转化成了没有再保策情况下保险者的最优投资问题。他证明了比例再保策略收敛于0,最优投资策略收敛于一个常数,并给出了破产概率的Cramer-Lundberg近似。但是在这两篇文章中,Hanspeter Schmidli 没有给出HJB方程的识别定理,且没有说明解的存在性。
在Cramer-Lundberg模型下,以破产时刻预期累计折现收益最大为目标函数的文献有Hipp(2003)等,以红利支付为目标函数的文献有AsmussenS.和Taksar、B.Hjgaard和MTaksar,Jostein Paulsen Pablo Azcue和Nora Muler等,其中Pablo Azcue和Nora Muler给出了最优比例再保险策略及红利支付的粘性解。
2近似扩散模型
虽然经典Cramer-Lundberg模型近似于保险公司的现实状况,但在经典Cramer-Lundberg模型中,很多问题无法得到精确解,故近年来,很多文献将其近似为扩散模型,且当保险公司盈余过程相对于单个理赔来说较大时,扩散模型也确实能很好的模拟保险公司的动态盈余过程。Sid Browne(1994)研究了近似扩散模型的最优投资问题,他在股票价格服从几何布朗运动且与保险公司扩散过程模型中的布朗运动不独立时,得到了在破产概率最小限制下的最优投资策略是常数,并利用光滑粘性条件详细计算了最小破产概率。Hanspeter Schmidli研究了扩散模型中的最优比例再保险策略,他得到了此时的最优策略是一个常数,并给出了此常数值以及破产概率的具体形式.Michael I.Taksar,Charlotte Markussen假定公司过程为扩散过程,公司盈余全部投资于股票市场(股票价格服从几何布朗运动)时,在破产概率最小限制下保险公司所采取的最优比例再保策略.B.Hjgaard和M.Taksar考虑了扩散模型中,在预期折现收益最大限制下的最优比例在保险策略。对于红利支付的文献可参见AsmussenS.和M.Taksar,B.Hjgaard和M.Taksar.
3研究前景
对于经典的Cramer-Lundberg模型,现在需要研究的问题还很多,不同的理赔分布会对应不同的破产概率,故可从理赔分布方面来研究;在上述文献中,绝大多数文章对于投资问题的假设都是股票价格服从几何布朗运动,而我们知道,几何布朗运动不是刻画股票价格的唯一模型,市场中常见的股票价格模型还有多维扩散模型,跳扩散模型,随机波动率模型等,故我们还可从不同的股票价格模型来进行考虑;投资再保问题仍然是一个亟待解决的问题,由于再保策略出现在随机跳中,如何解出再保策略以及它所对应的HJB方程的光滑解是否存在,如果不存在光滑解,能否确定其粘性解也需要进行进一步的研究。
参考文献:
[1]Asmussen S.and M.Taksar(1997), Controlled diffusion models for optimal dividend payout.Insurance: Mathematics andEconomics 20,1--15.
[2]Asmussen S. (2000) , Ruin probabilities.World Scientific,Singspore.
[3]Brockett P. and Xia X.(1995), Operations research in insurance: a review. Trans. Act. Soc. XLVII, 7-80.
[4]Browne,S. (1995), Optimal investment policies for a firmwith a random risk process:exponentional utility and minimizing the probabnility of ruin .Math.Operations Res.20,937--958.
[5]Frolova,A.,Kabanov,Y.,Pergamenshchikov,S.(2002), In the insurance business risky investments are dangerous. Finance and Stochastics,6,227---235.
[6]Gerber.H.U.(1979),An Introduction to Mathematical Risk Theory.S.S.Heubner Foundation Monographs,University of Pennsilvania.
[7]Gaier,J. Grandits,P.and Schachermeyer,W.(2003),Asymptotic ruin probabilities and optimal investment. Ann. Appl. Probab.,13,1054--1076.
[8]Hipp,C.(2003),Stochastic control with applicaton in insurance . Report,University of Karlsruhe.
[9]Hipp,C. and M.Plum(2000), Optimal investment for insurers.Insureance: Mathematics and Economics,27,215--228.
[10]Hipp,C. and M.Plum(2003) , Optimal investment for investors with State dependent income,and for insurers. Finance and Stochastics,7,299--321.
[11]Hipp,C.and M.Vogt(2003), Optimal dynamic XL reinsurance.ASTIN Bulletin,33,193--208.
[12]Hipp,C. and H.Schmidli(2003), Asymptotics of the ruinprobability for the controlled risk process:the small claimscase .To appear in Scandinavian Actuarial Journal.
[13]Hjgaard,B.and M.Taksar(1997), Optimal proportional reinsurance policies for diffusion models. Scandinavian Actuarial Journal,166--180.
[14]Hjgaard,B.andM.Taksar(1999),Controlling risk exposure and dividend pay-out scemes:Insurance company example.Mathematical Finance,9.153--182.
[15]Hjgaard,B.and M.Taksar(2000),Optimal dynamic portfolio selection for a corporation with controllable risk and dividend distribution policy. Submitted for publication.
[16]Hjgaard,B.and M.Taksar(2001),Optimal risk control for alarge corporation in the presence of return on investments. Finance and Stochatics,5,527--547.
[17]Kalashnikov,V.and Norberg.R.(2002),Power tailed ruinprobabilities in the presence of risky investments. StochasticProcess. Appl. 98,211--228.
[18]Martin-Lf,A.(1994),Lectures on the use of control theory ininsurance. Scandinavian Actuarial Journal,1--25.
[19]Pablo Azcue and Nora Muler(2005),Optimal reinsuranceand dividend distribution policies in the Cramer-Lundbergmodel.Mathematicsal Finance,15,261--308.
[20]Paulsen,J.and Gjessing,H.K.(1997),Ruin theory withstochastic return on investments.Adv.in Appl.Probab.29,965--985.
[21]Schmidli,H.(2001),Optimal proportional reinsurance policies in a dynamic setting. Scand. Actuarial J.,55--68.
[22]Schmidli,H.(2002),Asymptotics of ruin probabilities for risk processes under optimal reinsurance policies: the large claim case. Working paper 179,Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[23]Schmidli,H.(2003),Asymptotics of ruin probabilities for riskprocesses under optimal reinsurance policies: the small claimcase. Working paper 180,Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[24]Schmidli,H.(2004),Asymptotics of ruin probabilities for riskprocesses under optimal reinsurance and investment policies:the large claim case.Queueing Syst.Theory Appl.,to appear.
[25] Schmidli,H.(2004),On Cramer-Lundberg approximationsfor ruin probabilities under optimal excess of loss reinsurance.Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[26]Schmidli,H.(2005),On optimal investments and subexponentialclaims. Laboratory of Actuarial Mathematics,University of Copenhagen.
[27]Taksar,M.and Markussen,C.(2003),Optimal dynamic reinsurance policies for large insurance portfolios.Finance and Stochatics,7,97--121.