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摘 要 维多利亚时期的英国数学日新月异，新旧数学思想不断冲撞交锋，本文通过分析我们熟悉的数学家道奇森（卡罗尔）的数学工作和小说作品中的数学思想，以其作为一面镜子，反映出维多利亚时期数学思想和数学知识的历史发展。
关键词 维多利亚时期 数学史 道奇森 爱丽丝漫游奇境记
一 引言
若在英国历史中穿行，人们无法不被维多利亚时期（1837—1901）吸引，并驻足凝望这段如维多利亚女王王冠上的明珠一般璀璨和辉煌的时代。回溯17、18世纪的英格兰，注意那些在未来将会燎原的思想星点，以及不断积累的社会、宗教制度的变革，这些充足的养分终于促使维多利亚时期的英国陡然绽放了最绚丽的花朵：政治上，继承了1688年光荣革命的遗产并进一步完善君主立宪制，国内稳定安宁；经济上，发展了18世纪工业革命以来的技术成果进入蒸汽时代，资本主义经济蓬勃发展，成为世界工业大国，举办万国博览会，海上贸易繁荣昌盛；军事上，军工发达，海军舰队强大，并对外殖民扩张，拥有世界1/4的土地，占有丰富的资源，被称为日不落帝国。可以说维多利亚时期的英国是当时的超级大国，一切都在向顶点攀登。作为时代缩影的科学也不例外，从17、18世纪以来科学越来越受到重视，社会地位越来越高，并形成了皇家学会（1663）、王家研究院（1799）等科学组织和机构，并且科学技术和应用紧密结合。科学以惊人的速度发展并不断超越自身，以至于开尔文勋爵（Lord Kelvin，1824—1907）在19世纪的“最后一天”宣称“物理学大厦”已经建成，余下的只是装饰的工作；1900年，在巴黎第二次国际会议上，庞加莱（J. H. Poincaré，1854—1912）夸耀数学中“绝对的严密性”已经达到（[1]，页97—98）。
新的世界图景展现在19世纪人们的面前。新旧世界、新旧知识观的冲突开始显现。充满大机器和蒸汽的机器时代和过去人力手工劳作的对比，将具体的人和事物抽象化；大航海和扩张的时代将传统直觉上平直的时空连通起来，弯曲成了曲面。这两点在维多利亚时期的英国数学的发展中显得尤其突出。18世纪末和19世纪早期，当英国人还沉浸在牛顿数学物理学和对欧几里得（Euclidean）平直时空的信仰中时，德国、法国以及欧洲的一些分析数学家和代数学家开始注意到抽象的代数形式，如伽罗瓦（Evariste Galois，1811—1832）；并开始注意到欧几里得几何学的“平行公设”以及证明中存在太多感官经验和纯直觉的知识（[1]，页75），因此定义了全新的非欧（non-Euclidean）几何学，如高斯（C. F. Gauss，1777—1855）和波尔约（Janos Bolyai，1802—1860）等对欧几里得几何“平行公设”的质疑和对非欧几何的一致性的研究。在这样的时代背景中，一群年轻的英国数学家，如皮考克（George Peacock，1791—1858）和巴贝奇（Charles Babbage，1792—1871）等，建立了剑桥分析学会，并挑战英国传统的数学思想，将抽象代数、形式逻辑和非欧几何发展成为了维多利亚时期英国数学的主题。
当然，并不是英国当时所有的数学家都是全然接受这些抽象和非直觉的数学潮流的，大部分数学家还在传统和现代之间摇摆。为了更好地研究维多利亚时期的英国数学的发展和冲突，我们希望找一个自身包含这些冲突的数学家来研究。事实上，一位大众很熟悉的数学家恰好提供了这样的线索，他就是道奇森（Charles L. Dodgson，1832—1898）——那位用笔名刘易斯·卡洛爾（Lewis Carroll）写下了《爱丽丝漫游奇境记》（Alice’s Adventures in Wonderland）的数学家。梅拉尼·贝利（Melanie Bayley）[2， 3]将道奇森分析为一位传统的数学家，对18世纪线性方程的解法和行列式，以及欧几里得几何学感兴趣，但是对维多利亚时期抽象的数学潮流感到反感，并且她认为《爱丽丝漫游奇境记》就是一部对当时数学发展的讽喻之作。
因此，我们将以道奇森为线索，作为一面镜子，缩略反映维多利亚时期数学的发展和潮流，描绘出一副这个时期的数学背景和进程的知识地图。下面分别将从道奇森的生平、《爱丽丝漫游奇境记》中的数学知识和当时的数学发展、以及道奇森的一些具体工作贡献出发，逐步实现这一目标。
二 道奇森的生平
查尔斯·路德维奇·道奇森1832年生于一个传统的英国家庭中，父亲查尔斯·道奇森（Charles Dodgson，1800—1868）是一名传统牧师，获得牛津大学基督教会学院古典学和数学学位，1825年娶了自己的表妹弗兰妮·路德维奇（Franny Lutwidge），生下了11个孩子。道奇森（下文道奇森都指C. L.道奇森）就是他们最大的儿子，前面有三个姐姐。道奇森从小接受父亲严格的数学教育，以及母亲对他在文学和宗教方面的熏陶，一直到他11岁离开家去里士满念书。道奇森14岁升入著名的拉格比公学，渐渐在数学方面表现出了很强的能力。1851年道奇森进入牛津大学基督教会学院学习数学，1855年获得了硕士学位，并获得了基督教会学院的数学讲师职位。需要注意的是，同年，亨利·利德尔（Henry Liddell，1811—1898）被任命为基督教会学院的院长，他便是爱丽丝（Alice Liddell，1852—1934）的父亲。1856年，道奇森和利德尔家的三姐妹相识了。
在任教期间，道奇森教授欧几里得几何学，由于意识到其中的不准确和不一致的地方，他于1860年写出了对于欧几里得几何学前两本书的笔记，用以弥补这些不足。道奇森对代数，尤其是解方程，即行列式有专门的研究，1867年出版了《行列式初论》（An Elementary Treatise on Determinants），讨论了增广矩阵和方程组是否相容（即有解）的关系，提出并证明了道奇森定理①。1870年出版了《代数公式和规则》（Algebraic Formulae and Rules）以及《算术公式和规则》（Arithmetical Formulae and Rules），同时继续研究欧几里得几何学，1879年写出小册子《欧几里得和他的现代对手》（Euclid and His Modern Rivals），讨论了第五公设不能从其他公设中推出的问题。虽然道奇森意识到了1830年间就萌芽的非欧几何学，但是他拒绝接受，并认为它们是和我们生活的几何世界无关的，1888年还是发展了关于平行的新理论（[5]，p. 107），用一条新公设取代第五公设（图1）。除此之外，道奇森对于数学和推理基础的逻辑学也深有研究，1887年出版了《逻辑游戏》（The Game of Logic），并于1896年汇集其对于逻辑学的思考，写出《符号逻辑，第一部：基础》（Symbolic Logic，Part I： Elementary），但其第二、三部直到他去世后才被出版。在逻辑学上，他发展了下角数码标记法，也像维恩（John Venn，1834—1923）一样发明了可视化的逻辑图式，并用于分析三段论和复合三段论。 学术活动外，从1855年开始道奇森对摄影技术和摄影活动开始产生浓厚的兴趣，1856年买了自己第一台相机，并从此开始了其作为摄影师的一生。他为许多诗人名流拍摄人像，如罗塞蒂（Dante G. Rossetti，1828—1882），丁尼生（Lord A. Tennyson，1809—1892）等人。他对年轻的小女孩和内衣尤其感兴趣，这也在他的摄影作品中体现出来（[6]，p. 2）。利德尔家的三姐妹经常成为他拍摄的模特（图2）。正如传记家所述：“如果道奇森没有写下爱丽丝系列书，他可能会作为一个杰出的摄影师被铭记，如果他也没有成为一个摄影师，他也可会作为一个数学家被铭记。”（[6]，p. 6）值得一提的是，1862年7月4日，道奇森和其朋友鲁宾逊·达克沃兹（Robinson Duckworth，1834—1911），以及包括爱丽丝在内的利德尔家三姐妹乘船去伊希斯河旅行，这次旅行为其以爱丽丝为原型写的小说《爱丽丝漫游奇境记》提供了灵感和大纲。传记家对道奇森与爱丽丝的关系有许多不同的猜测，但无论如何，道奇森和利德尔家的关系出现了裂痕，后来利德尔夫人拒绝了道奇森想要继续和三姐妹的旅行的请求，道奇森和爱丽丝姐妹的亲密关系破灭。
三 《爱丽丝漫游奇境记》中的数学和逻辑思想
正如前文我们强调的，道奇森是一个传统的、偏好欧几里得几何和传统代数的一位数学家，对如火如荼发展的抽象代数和非欧几何持批评和怀疑的态度。有研究维多利亚时期文学的学者[2， 3]将道奇森的数学思想和其文学作品联系起来，用文学分析方式分析道奇森写作的动机和意图，将道奇森描述为一个保守的数学家，其作品多体现为对其当代数学发展的一种讽刺；斯坦福大学人类科学技术中心的数学家基思·德夫林（Keith Devlin，1947—）也同意这种张力在道奇森文学作品中的体现。在这一部分，我们将对《爱丽丝漫游奇境记》中体现道奇森数学思想的片段进行分析，并结合当时的数学发展和重要人物的思想进行比较，也尽力尝试揭示道奇森作为维多利亚时期数学发展的一面镜子，其反映出来的新旧数学发展和冲突的历史面貌。
在《爱丽丝漫游奇境记》中，爱丽丝因为追赶一只揣着怀表穿着背心的兔子掉进了兔子洞，因此进入了和陆上世界不同的光怪陆离的地下世界，遇见了许多奇怪的事物，如抽着水烟（hookah）的毛毛虫、变成小猪的孩子、微笑的柴郡猫、三月兔和疯帽匠等，经历了似乎不合逻辑、疯狂的历险。书中爱丽丝的身体在一天内从3英寸变到9英尺变来变去，甚至在吃了毛毛虫身下的蘑菇后，身体还会进行不等比例的变化：
“多么奇怪的感觉呀！”爱丽丝说，“我准是变成望远镜里的小人啦。”……她又吃起来，很快就把那块蛋糕吃光了。“真奇怪啊，太奇怪了！”爱丽丝喊起来，她惊讶得一时简直连话也说不上来了。“现在我有方法了，就像最大的望远镜看到的人一样啦！再见吧，我的双脚！”（[7]，页8—11）
过了一会儿，她才想起手里还拿着那两块蘑菇呢，于是就开始小心地在这块上咬一点儿，在那块上啃一点儿，有时候长得高些，有时候缩得矮些，最后，她终于把身体调整到自己本来的大小了。（[7]，页40）
而且在不断变化的过程中，爱丽丝多次在质疑“自己到底变成了谁”这个自我同一性的问题，在吃了蘑菇脖子变得很长时，树上的鸽子也对爱丽丝说道：
鸽子提高声音，简直像是在喊，“……哎呀！该死的蛇” ！
“可我告诉你，我不是蛇！”爱丽丝说，“我是一个……我是一个……”
“说呀，你是一个什么？”鸽子问道，“看得出你要编造个故事” 。
“我…我是个小姑娘。”爱丽丝说。想起这一天经历过的种种变化，她自己也满心狐疑。（[7]，页40）
这一段体现了对欧几里得几何坚守的道奇森和非欧几何学发展之间的张力，欧几里得几何强调比例变化，相似、全等等几何关系，爱丽丝吃下蛋糕的时候从3英寸到9英尺的变化就是这样的等比例变化，不过此时爱丽丝并没有全然质疑自己的同一性，还通过回忆日常世界的知识来确认自己；但是在吃蘑菇变化的时候，她的身体并不是进行等比例变化，而是任意部分进行任意的变化，这提醒人注意19世纪非欧几何、射影几何的发展，以及早期拓扑思想的起源。
由于18世纪分析学家的努力，分析数学在19世纪被大量应用于几何学的研究中，高斯就利用微积分的技巧建立了曲面和曲面三角形角度之和的关系，从而使得人们可以大胆放弃早已被质疑的平行公设，因为平行公设将推出平面三角形内角之和等于两直角之和的结论。在此基础上，到了19世纪20年代，罗巴切夫斯基（Nikolas I. Lobachevsky，1792—1856）和波尔约建立了非欧几何学，使得几何学更加推广和抽象。对非欧几何的分析离不开19世纪抽象代数的发展，在弯曲的曲面上如何定义测量，传统直觉的定义已经行不通，因此需要借助射影几何的思想。射影几何研究在投影下几何图形的不变的性质，这些发展就促使了拓扑学思想的发生。按照克莱因（Felix C. Klein，1849—1925）所说：“拓扑所研究的是几何图形的那样一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意变形下保持不变，只要在变形过程中既不使原来不同的点融化为同一个点，又不使新点产生。”（[1]，页260）这一点在早期射影几何学家彭赛列（Jean-Victor Poncelet，1788—1867）的“連续性原理”（principle of continuity）中就有体现，彭赛列将此原理表述为：“让一个图形经历一系列连续变化，只要这些变化被限制使得这个图形的某些普遍的性质保持为真，那么这些性质也将会被每一个变化过程中的那些图形所共享。”[2]
于是我们看在爱丽丝吃下蘑菇后，其脖子不断变长，被道奇森描述得像蛇一样，失去了作为“小姑娘”的特征，这正是表现了他对当时射影几何和非欧几何发展的讽刺，体现其荒谬的逻辑结果。传达同样思想的线索片段我们还可以在公爵夫人家逐渐连续变化为小猪的小娃娃中看到： 那孩子又哼了一声，爱丽丝不安地朝他望了一眼，看看出了什么事。只见他的鼻子向上翻的厉害，根本不像是个孩子的鼻子，完全是个猪鼻子，他的眼睛也变得越来越小……突然这东西又哼了一声，声音那么响亮，她吃了一惊，连忙扭头望去。这一次她没有看错：它实实在在是头小猪。她觉得，要是再抱着它走，可就太荒唐了。她把它放在地上，看着它平静地跑进树林，心里感到十分轻松。爱丽丝自言自语说：“它要是个孩子，长大准丑的要命，可它是只相当漂亮的猪。”（[7]，頁46—47）
道奇森对公爵家的喧闹和潜伏戾气场景的描述，显得这一切荒谬可笑，他通过这样的方式表达对新近的几何学发展的不满。另一处比较清晰看出射影几何在作品中的例子就是读者熟悉的柴郡猫的微笑：
“好吧”，猫儿说。这一次，它消失得挺缓慢，先从尾巴开始，最后是嘴巴上的微笑，那个微笑在它的身体消失后很久才消失掉。（[7]，页49）
在猫消失的过程中，直到整个身子都消失不见，其微笑的嘴一直保持在原地不变，这幅场景很好地还原了彭赛列的连续性原理的过程。但在道奇森的描述下显得荒谬和奇异。
除了在几何学发展中的张力，爱丽丝的历险还影射出了道奇森与所处时代中抽象数学——尤其是抽象代数的发展之间的张力。如果说在非欧几何方面维多利亚时期的英国数学家受到法国、德国数学家的影响更大的话——当然英国还有赫赫有名的克利福德（William K. Clifford，1845—1879）——那么在抽象代数和逻辑基础的研究上，英国的数学家可以说是引领了世界的潮流：皮考克、德摩根（De Morgan，1806—1871）、布尔（George Boole，1815—1864）、维恩、哈密顿（William R. Hamilton，1805—1865）等著名的逻辑学家和代数学家都活跃在此时期。19世纪前代数学家的工作主要是解方程，而到了19世纪，尤其是19世纪的英国，以符号运算以及它与数学事实之间关系的新兴趣为特征（[5]，页876）。皮考克是这个代数变革运动的倡导者，他在1830年的《代数学》（Treatise on Algebra）中定义符号代数为“通过定义任意法则的方法研究任意标志和符号的组合的科学”。皮考克的思想直接影响了德摩根，后者深刻意识到代数的基础和代数法则不必基于算术法则，相信代数系统可以通过任意选择一些符号和建立这些符号的一套运算法则来建立，而不用参考算术法则，只要其后能解释这些法则之间的相互作用就行了（[5]，页879）。例如，假设符号M、N，+，以及M+N=N+M作为唯一的组合关系。在这里我们如何通过这个符号建立一个有意义的代数呢？有几种方式：1）M和N可以是一些量，+表示第二个量加到第一个量的符号。2）M和N可以是数，+表示第一个数被第二个数乘……4）M和N可以是人，+表示前一个人是后一个人的兄弟……（[8]，pp. 92—93）于是符号代数，或者说抽象代数，不再仅仅将代数运算建立在普通的算术法则上，也不再将运算基于实数或者复数上，而是更一般的抽象的符号代数，引进更抽象的结构用以统一表面上千差万别的数学领域。对比在第二部分介绍的道奇森的著作和工作我们可以知道他在代数领域主要感兴趣的还是传统的代数学，方程的解法，行列式的快速运算等。在《爱丽丝漫游奇境记》中，确实有多处我们也可以看出他对在英国蓬勃发展的抽象的符号代数的讽刺。首先，在爱丽丝刚掉进兔子洞里，因为吃了蛋糕变得巨大，为了确认自己还是以前那个爱丽丝，她开始背起的“奇怪”的九九乘法表：
我来试试看，以前知道的东西现在是不是还知道。我想想：四乘以五等于十二，四乘以六等于十三，四乘以七等于……啊，天哪！照这么背下去，永远也到不了二十啦！（[7]，页13）
这确实是一张奇怪的乘法表，但是聪明的读者能很快发现道奇森在和我们玩变换进制的代数游戏。4×5的结果若是用18进制而不是10进制表示的时候结果确实是12；同理，4×6的结果用21进制而不是10进制表示的时候结果是13，而不是24；4×7用23进制表示而不是10进制时结果是14……依此类推，也可以计算证明，在这个序列之后要使结果等于20的情况并不可能存在。道奇森通过这一种反直觉的方式呈现了出来。在另一处，道奇森通过写爱丽丝和疯帽子的对话，来体现他对不可交换的阿贝尔群的抽象代数的讽喻：
“我当然要说”，爱丽丝连忙回答道，“至少……至少我说的就是我心里想的……反正是一码事，你知道了吧”。“根本就不是一码事！”帽子匠说道：“你还不如说，‘我看见我吃的东西’跟‘我吃我看见的东西’也是一码事呢！”（[7]，页51—52）
在另一处，爱丽丝和仿龟的对话，道奇森通过故意拼错和改写加减乘除的单词词组，也体现了他对抽象代数定义的任意的符号运算规则的质疑和讽刺：
“我没有能力学它”，仿龟叹了口气说，“我只学普通课程”。“那是些什么课？”爱丽丝问道。“当然开始是堵（读）和泄（写）啦”，仿龟回答道，“还有不同的算术运算——假发（Ambition），剪发（Distraction），丑法（Uglification）和锄法（Derision）”。（[7]，页74）
不过最令人觉得惊奇，且在《爱丽丝漫游奇境记》中最为脍炙人口的片段就是那场和三月兔、疯帽子和睡鼠举办的疯狂的茶会。这个茶会上只有三个“人”：疯帽子、三月兔和睡鼠，而且“桌子很大，可他们三个都挤在桌子的一角”。在爱丽丝和他们的对话中，茶会的有趣性质也显现了出来：
“从那以后”，帽子匠用悲伤的声调接着说，“我要时间干什么它都不干了。它总是指着六点钟”。爱丽丝脑子里突然一亮，问道：“这就是这儿摆了这么多茶具的缘故吧？”“是啊”，帽子匠叹了口气说道，“时间总是停留在午茶时间，我们喝完茶，连洗这些茶具的时间都没有，只好没完没了地接着喝。”“我猜，你们就这么连续不断地围绕着桌子转？”，爱丽丝问道。“对极啦”，帽子匠说，“茶具用脏了，我们就往下挪”。（[7]，页55） 时间、旋转和数字3，这些元素让人很明确地想起19世纪中叶维多利亚时期爱尔兰数学家、物理学家哈密顿，以及他发明的四元数（Quaternions）。我们知道，对一个二维点，在复数坐标上很容易对其进行表示和操作，如“向量”A=a+bi，其中运算法则为i2=-1，若将其画在复平面上，对这个A乘以i就会得到逆时针旋转90度的点A'，若是想要旋转45度，则对这个坐标乘以（1/√2，i/√2）即可。于是我们看出对一个二维“向量”，将其旋转只需要一个二元数组即可。那么对于三维的“向量”该如何旋转的问题，哈密顿一开始一直苦苦寻求通过三元数组（从二维推广而来的，表示空间的三个坐标）给出三维旋转的办法，但是最后均失败了。不过最后，他给出了正确的计算方法，发现其需要的不是三元数组，而是四元数组，被称为四元数。其形式为h=a+bi+cj+dk，其中运算法则为i2=j2=k2=ijk=-1。在三维中旋转给定一个旋转轴V=（vx， vy， vz），给定旋转的角度后，就可以利用四元数进行计算一个点p=（px，py，pz）在这个条件下旋转后的像了：首先，找到对应的四元数h=（cos（θ/2），sin（θ/2）*vx，sin（θ/2）*vy，sin（θ/2）*vz），并且定义纯四元数qp=（0，px，py，pz），接下来计算p'=h*qp*h-1，计算得到的p'一定也是纯四元数，其三个坐标p'x，p'y，p'z表示的就是旋转后的三维空间坐标。哈密顿在发现三元数不能解释三位旋转而加入一个额外旋转项（extra-spatial term）之后实现了三维旋转，因此他对这一项的解释为：“像绝大多数维多利亚时期数学家，他认为这一项得代表着什么意义，因此在他1853年的著作《四元数讲义》中加了一条脚注，‘将这一项同时间概念联系起来在我看来是自然的。’”[2， 3]不过，在每次旋转后我们得到的总是纯四元数，即这项时间项总是为0的，因此在道奇森的小说中，这个茶会总是被困在六点钟，茶会上的人不断在停止的时间之中绕着茶桌进行旋转。从现代群论的角度看，四元数所在群为S3群，四元数代表的三维旋转就是SO（3）。四元数集合形成了实数上的非交换的除法代数。哈密顿的代数是第一个不遵守皮考克和德摩根提出的规律的符号系统，它的建立消除了考虑不满足这些规律体系的存在问题，使皮考克所主张的自由构造成为现实（[5]，页884）。道奇森生动地将四元数的数学思想和过程描述在了爱丽丝经历的历险之中，显得荒诞和奇异。
至此，我们将道奇森《爱丽丝漫游奇境记》中体现维多利亚时期数学思想和数学知识发展的张力结合历史做了简要分析，表现了在非欧几何学和抽象代数的发展中带来的新奇有趣的思想。
四 道奇森的逻辑学
维多利亚时期英国的数学家对于数学基础的逻辑学，尤其是符号逻辑的发展给予了极大的关注，德摩根、布尔和维恩都在形式逻辑领域做出了先驱的贡献。布尔于1854年出版的《思维规律研究》使得逻辑学脱离了亚里士多德传统的形而上学分析，进入了数学领域，通过定义逻辑推理运算的符号和语言，建立逻辑学并构造其方法。在此书中，布尔构造了布尔代数，这种取值为0，1的逻辑运算如今在计算机领域被广泛使用，是计算机基本理论之一。
道奇森在逻辑学上也有所建树，他同维恩一般建立了可视化的逻辑方法，并用这个方法分析传统逻辑中的三段论推理和复合三段论。在其死后出版的《符号逻辑第二卷》中，还发展了了现在所称为“逻辑树”的一种分析符合命题有效性的图示方法，这种思想和方法在现在逻辑学自动证明中也有重要应用。
在道奇森的逻辑学系统中，他强调七种基本概念：命题（Proposition）、属性（Attribute）、词项（Term）、对象（Subject）、谓词（Predicate）、特称命题（Particular）和全稱命题（Universal）。这些概念和现代逻辑学的概念几近相似，就不在此赘述。道奇森设计了用来表达命题的逻辑图（图3）[9]，例如对于两个属性x和y，可以利用两条线将组合性质xy、xy'（not y）、x'y（not x）、x'y'划分成四个区域（如果是三个属性x、y、m则分为8个区域（图3左），属性m为x、y围成的方框内，m'即为方框外的区域）。在某个区域内用标记I表示“一个或更多”，用0表示“没有”。
如图3右中标记的I，就代表命题“一些x-（对象）是y-（对象）”或者命题“一些y-（对象）是x-（对象）”。若考虑如图3右边的意义，则表示“一些x是y，且没有x是y'”，其等价于“所有x都是y”。这个模式表示了一个全称命题。将其简单地推广到三属性的情况，如图3左，这个图式表示“所有x都是y。”
这个简单的逻辑图式表示方法也可以用来分析三段论：道奇森将其分为三个步骤，第一，将含有属性x、y、z的全称命题分解为多个特称命题，至少挑选两个作为前提；第二，在前提中重复出现两次的属性被称为中间项（Middle term），在结论中被消去，即结论是关于另两个属性的命题。举例而言，若我们有两个前提为：（1）没有x是m，（2）一些m是y'，那么首先我们在上述的逻辑图式中画出已知条件（图4左）。
那么因为结论消去了中间项m，于是我们得到右图关于x-y的划分图式，那么根据图式，结论就为“一些x'是y'。”
利用这些图式分析传统三段论以及各种变格具有很好的效果。值得提醒的是，这种图式并不是道奇森第一次提出的，稍早于道奇森，维恩就提出了鼎鼎有名的文氏图（图5）。通过对比，在二维的情况，道奇森的图可以说是文氏图的一种修正，因为文氏图没有包含所有的情况，而道奇森的图能够涵盖所有的情况。四维以上的对比，见图6（[5]，pp. 203—204）。
五 总结
英国维多利时期呈现出了繁荣的盛世景象，作为其缩影的科学，尤其是其中的数学领域，维多利亚时期英国数学在抽象代数和逻辑等领域领先于世界，作出了开创性贡献。然而，高速发展的抽象数学与现代数学和传统数学之间产生了不可避免的矛盾，分析这种矛盾，可以更好地了解该时期的数学思想发展和进程。道奇森（卡洛尔）正是这样一位自身内部充满矛盾张力的数学家，其本身就像一面镜子，反映出维多利亚时代数学思想的变化和进展。
通过分析维多利亚时期欧洲非欧几何和英国抽象代数以及形式逻辑的数学史背景，以此为依据对道奇森的著名作品《爱丽丝漫游奇境记》进行分析，分析道奇森作为一个传统的数学家对高速发展的数学新图景的看法，并对他本人的贡献进行了细节介绍，还原了维多利亚时期英国数学和数学家的历史面貌。
参考文献
[1]克莱因. 古今数学思想（第四册）[M]. 邓东皋， 张恭庆译. 上海： 上海科学技术出版社， 2002.
[2] Bayley， M.. Alice's Adventures in Algebra： Wonderland Solved[N]. New Scientist， 2009-12-16.
[3] Bayley， M.. Algebra in Wonderland[N]. New York Times， 2010-03-07.
[4] 卡兹. 简明数学史： 第四卷近代数学[M]. 董晓波等译. 北京： 机械工业出版社， 2016.
[5] Wilson， R.. Lewis Carroll in Numberland： His Fantastical Mathematical Logical Life[M]. New York & London： W. W. Norton & Company， 2008.
[6] Carroll， L.， Walker， B.. Alice’s Adventures in Wonderland[M]. Indianapolis & Cleveland & New York： Hungry Minds， 2001.
[7]卡洛尔. 爱丽丝漫游奇境记[M]. 贾文浩， 贾文渊译. 北京： 北京燕山出版社， 2010.
[8] De Morgan， A.. Trigonometry and Double Algebra[M]. London： Taylor， 1849.
[9] Carroll， L.. The Game of Logic[M]. London & New York： Macmillan， 1886.
关键词 维多利亚时期 数学史 道奇森 爱丽丝漫游奇境记
一 引言
若在英国历史中穿行，人们无法不被维多利亚时期（1837—1901）吸引，并驻足凝望这段如维多利亚女王王冠上的明珠一般璀璨和辉煌的时代。回溯17、18世纪的英格兰，注意那些在未来将会燎原的思想星点，以及不断积累的社会、宗教制度的变革，这些充足的养分终于促使维多利亚时期的英国陡然绽放了最绚丽的花朵：政治上，继承了1688年光荣革命的遗产并进一步完善君主立宪制，国内稳定安宁；经济上，发展了18世纪工业革命以来的技术成果进入蒸汽时代，资本主义经济蓬勃发展，成为世界工业大国，举办万国博览会，海上贸易繁荣昌盛；军事上，军工发达，海军舰队强大，并对外殖民扩张，拥有世界1/4的土地，占有丰富的资源，被称为日不落帝国。可以说维多利亚时期的英国是当时的超级大国，一切都在向顶点攀登。作为时代缩影的科学也不例外，从17、18世纪以来科学越来越受到重视，社会地位越来越高，并形成了皇家学会（1663）、王家研究院（1799）等科学组织和机构，并且科学技术和应用紧密结合。科学以惊人的速度发展并不断超越自身，以至于开尔文勋爵（Lord Kelvin，1824—1907）在19世纪的“最后一天”宣称“物理学大厦”已经建成，余下的只是装饰的工作；1900年，在巴黎第二次国际会议上，庞加莱（J. H. Poincaré，1854—1912）夸耀数学中“绝对的严密性”已经达到（[1]，页97—98）。
新的世界图景展现在19世纪人们的面前。新旧世界、新旧知识观的冲突开始显现。充满大机器和蒸汽的机器时代和过去人力手工劳作的对比，将具体的人和事物抽象化；大航海和扩张的时代将传统直觉上平直的时空连通起来，弯曲成了曲面。这两点在维多利亚时期的英国数学的发展中显得尤其突出。18世纪末和19世纪早期，当英国人还沉浸在牛顿数学物理学和对欧几里得（Euclidean）平直时空的信仰中时，德国、法国以及欧洲的一些分析数学家和代数学家开始注意到抽象的代数形式，如伽罗瓦（Evariste Galois，1811—1832）；并开始注意到欧几里得几何学的“平行公设”以及证明中存在太多感官经验和纯直觉的知识（[1]，页75），因此定义了全新的非欧（non-Euclidean）几何学，如高斯（C. F. Gauss，1777—1855）和波尔约（Janos Bolyai，1802—1860）等对欧几里得几何“平行公设”的质疑和对非欧几何的一致性的研究。在这样的时代背景中，一群年轻的英国数学家，如皮考克（George Peacock，1791—1858）和巴贝奇（Charles Babbage，1792—1871）等，建立了剑桥分析学会，并挑战英国传统的数学思想，将抽象代数、形式逻辑和非欧几何发展成为了维多利亚时期英国数学的主题。
当然，并不是英国当时所有的数学家都是全然接受这些抽象和非直觉的数学潮流的，大部分数学家还在传统和现代之间摇摆。为了更好地研究维多利亚时期的英国数学的发展和冲突，我们希望找一个自身包含这些冲突的数学家来研究。事实上，一位大众很熟悉的数学家恰好提供了这样的线索，他就是道奇森（Charles L. Dodgson，1832—1898）——那位用笔名刘易斯·卡洛爾（Lewis Carroll）写下了《爱丽丝漫游奇境记》（Alice’s Adventures in Wonderland）的数学家。梅拉尼·贝利（Melanie Bayley）[2， 3]将道奇森分析为一位传统的数学家，对18世纪线性方程的解法和行列式，以及欧几里得几何学感兴趣，但是对维多利亚时期抽象的数学潮流感到反感，并且她认为《爱丽丝漫游奇境记》就是一部对当时数学发展的讽喻之作。
因此，我们将以道奇森为线索，作为一面镜子，缩略反映维多利亚时期数学的发展和潮流，描绘出一副这个时期的数学背景和进程的知识地图。下面分别将从道奇森的生平、《爱丽丝漫游奇境记》中的数学知识和当时的数学发展、以及道奇森的一些具体工作贡献出发，逐步实现这一目标。
二 道奇森的生平
查尔斯·路德维奇·道奇森1832年生于一个传统的英国家庭中，父亲查尔斯·道奇森（Charles Dodgson，1800—1868）是一名传统牧师，获得牛津大学基督教会学院古典学和数学学位，1825年娶了自己的表妹弗兰妮·路德维奇（Franny Lutwidge），生下了11个孩子。道奇森（下文道奇森都指C. L.道奇森）就是他们最大的儿子，前面有三个姐姐。道奇森从小接受父亲严格的数学教育，以及母亲对他在文学和宗教方面的熏陶，一直到他11岁离开家去里士满念书。道奇森14岁升入著名的拉格比公学，渐渐在数学方面表现出了很强的能力。1851年道奇森进入牛津大学基督教会学院学习数学，1855年获得了硕士学位，并获得了基督教会学院的数学讲师职位。需要注意的是，同年，亨利·利德尔（Henry Liddell，1811—1898）被任命为基督教会学院的院长，他便是爱丽丝（Alice Liddell，1852—1934）的父亲。1856年，道奇森和利德尔家的三姐妹相识了。
在任教期间，道奇森教授欧几里得几何学，由于意识到其中的不准确和不一致的地方，他于1860年写出了对于欧几里得几何学前两本书的笔记，用以弥补这些不足。道奇森对代数，尤其是解方程，即行列式有专门的研究，1867年出版了《行列式初论》（An Elementary Treatise on Determinants），讨论了增广矩阵和方程组是否相容（即有解）的关系，提出并证明了道奇森定理①。1870年出版了《代数公式和规则》（Algebraic Formulae and Rules）以及《算术公式和规则》（Arithmetical Formulae and Rules），同时继续研究欧几里得几何学，1879年写出小册子《欧几里得和他的现代对手》（Euclid and His Modern Rivals），讨论了第五公设不能从其他公设中推出的问题。虽然道奇森意识到了1830年间就萌芽的非欧几何学，但是他拒绝接受，并认为它们是和我们生活的几何世界无关的，1888年还是发展了关于平行的新理论（[5]，p. 107），用一条新公设取代第五公设（图1）。除此之外，道奇森对于数学和推理基础的逻辑学也深有研究，1887年出版了《逻辑游戏》（The Game of Logic），并于1896年汇集其对于逻辑学的思考，写出《符号逻辑，第一部：基础》（Symbolic Logic，Part I： Elementary），但其第二、三部直到他去世后才被出版。在逻辑学上，他发展了下角数码标记法，也像维恩（John Venn，1834—1923）一样发明了可视化的逻辑图式，并用于分析三段论和复合三段论。 学术活动外，从1855年开始道奇森对摄影技术和摄影活动开始产生浓厚的兴趣，1856年买了自己第一台相机，并从此开始了其作为摄影师的一生。他为许多诗人名流拍摄人像，如罗塞蒂（Dante G. Rossetti，1828—1882），丁尼生（Lord A. Tennyson，1809—1892）等人。他对年轻的小女孩和内衣尤其感兴趣，这也在他的摄影作品中体现出来（[6]，p. 2）。利德尔家的三姐妹经常成为他拍摄的模特（图2）。正如传记家所述：“如果道奇森没有写下爱丽丝系列书，他可能会作为一个杰出的摄影师被铭记，如果他也没有成为一个摄影师，他也可会作为一个数学家被铭记。”（[6]，p. 6）值得一提的是，1862年7月4日，道奇森和其朋友鲁宾逊·达克沃兹（Robinson Duckworth，1834—1911），以及包括爱丽丝在内的利德尔家三姐妹乘船去伊希斯河旅行，这次旅行为其以爱丽丝为原型写的小说《爱丽丝漫游奇境记》提供了灵感和大纲。传记家对道奇森与爱丽丝的关系有许多不同的猜测，但无论如何，道奇森和利德尔家的关系出现了裂痕，后来利德尔夫人拒绝了道奇森想要继续和三姐妹的旅行的请求，道奇森和爱丽丝姐妹的亲密关系破灭。
三 《爱丽丝漫游奇境记》中的数学和逻辑思想
正如前文我们强调的，道奇森是一个传统的、偏好欧几里得几何和传统代数的一位数学家，对如火如荼发展的抽象代数和非欧几何持批评和怀疑的态度。有研究维多利亚时期文学的学者[2， 3]将道奇森的数学思想和其文学作品联系起来，用文学分析方式分析道奇森写作的动机和意图，将道奇森描述为一个保守的数学家，其作品多体现为对其当代数学发展的一种讽刺；斯坦福大学人类科学技术中心的数学家基思·德夫林（Keith Devlin，1947—）也同意这种张力在道奇森文学作品中的体现。在这一部分，我们将对《爱丽丝漫游奇境记》中体现道奇森数学思想的片段进行分析，并结合当时的数学发展和重要人物的思想进行比较，也尽力尝试揭示道奇森作为维多利亚时期数学发展的一面镜子，其反映出来的新旧数学发展和冲突的历史面貌。
在《爱丽丝漫游奇境记》中，爱丽丝因为追赶一只揣着怀表穿着背心的兔子掉进了兔子洞，因此进入了和陆上世界不同的光怪陆离的地下世界，遇见了许多奇怪的事物，如抽着水烟（hookah）的毛毛虫、变成小猪的孩子、微笑的柴郡猫、三月兔和疯帽匠等，经历了似乎不合逻辑、疯狂的历险。书中爱丽丝的身体在一天内从3英寸变到9英尺变来变去，甚至在吃了毛毛虫身下的蘑菇后，身体还会进行不等比例的变化：
“多么奇怪的感觉呀！”爱丽丝说，“我准是变成望远镜里的小人啦。”……她又吃起来，很快就把那块蛋糕吃光了。“真奇怪啊，太奇怪了！”爱丽丝喊起来，她惊讶得一时简直连话也说不上来了。“现在我有方法了，就像最大的望远镜看到的人一样啦！再见吧，我的双脚！”（[7]，页8—11）
过了一会儿，她才想起手里还拿着那两块蘑菇呢，于是就开始小心地在这块上咬一点儿，在那块上啃一点儿，有时候长得高些，有时候缩得矮些，最后，她终于把身体调整到自己本来的大小了。（[7]，页40）
而且在不断变化的过程中，爱丽丝多次在质疑“自己到底变成了谁”这个自我同一性的问题，在吃了蘑菇脖子变得很长时，树上的鸽子也对爱丽丝说道：
鸽子提高声音，简直像是在喊，“……哎呀！该死的蛇” ！
“可我告诉你，我不是蛇！”爱丽丝说，“我是一个……我是一个……”
“说呀，你是一个什么？”鸽子问道，“看得出你要编造个故事” 。
“我…我是个小姑娘。”爱丽丝说。想起这一天经历过的种种变化，她自己也满心狐疑。（[7]，页40）
这一段体现了对欧几里得几何坚守的道奇森和非欧几何学发展之间的张力，欧几里得几何强调比例变化，相似、全等等几何关系，爱丽丝吃下蛋糕的时候从3英寸到9英尺的变化就是这样的等比例变化，不过此时爱丽丝并没有全然质疑自己的同一性，还通过回忆日常世界的知识来确认自己；但是在吃蘑菇变化的时候，她的身体并不是进行等比例变化，而是任意部分进行任意的变化，这提醒人注意19世纪非欧几何、射影几何的发展，以及早期拓扑思想的起源。
由于18世纪分析学家的努力，分析数学在19世纪被大量应用于几何学的研究中，高斯就利用微积分的技巧建立了曲面和曲面三角形角度之和的关系，从而使得人们可以大胆放弃早已被质疑的平行公设，因为平行公设将推出平面三角形内角之和等于两直角之和的结论。在此基础上，到了19世纪20年代，罗巴切夫斯基（Nikolas I. Lobachevsky，1792—1856）和波尔约建立了非欧几何学，使得几何学更加推广和抽象。对非欧几何的分析离不开19世纪抽象代数的发展，在弯曲的曲面上如何定义测量，传统直觉的定义已经行不通，因此需要借助射影几何的思想。射影几何研究在投影下几何图形的不变的性质，这些发展就促使了拓扑学思想的发生。按照克莱因（Felix C. Klein，1849—1925）所说：“拓扑所研究的是几何图形的那样一些性质，它们在图形被弯曲、拉大、缩小或任意变形下保持不变，只要在变形过程中既不使原来不同的点融化为同一个点，又不使新点产生。”（[1]，页260）这一点在早期射影几何学家彭赛列（Jean-Victor Poncelet，1788—1867）的“連续性原理”（principle of continuity）中就有体现，彭赛列将此原理表述为：“让一个图形经历一系列连续变化，只要这些变化被限制使得这个图形的某些普遍的性质保持为真，那么这些性质也将会被每一个变化过程中的那些图形所共享。”[2]
于是我们看在爱丽丝吃下蘑菇后，其脖子不断变长，被道奇森描述得像蛇一样，失去了作为“小姑娘”的特征，这正是表现了他对当时射影几何和非欧几何发展的讽刺，体现其荒谬的逻辑结果。传达同样思想的线索片段我们还可以在公爵夫人家逐渐连续变化为小猪的小娃娃中看到： 那孩子又哼了一声，爱丽丝不安地朝他望了一眼，看看出了什么事。只见他的鼻子向上翻的厉害，根本不像是个孩子的鼻子，完全是个猪鼻子，他的眼睛也变得越来越小……突然这东西又哼了一声，声音那么响亮，她吃了一惊，连忙扭头望去。这一次她没有看错：它实实在在是头小猪。她觉得，要是再抱着它走，可就太荒唐了。她把它放在地上，看着它平静地跑进树林，心里感到十分轻松。爱丽丝自言自语说：“它要是个孩子，长大准丑的要命，可它是只相当漂亮的猪。”（[7]，頁46—47）
道奇森对公爵家的喧闹和潜伏戾气场景的描述，显得这一切荒谬可笑，他通过这样的方式表达对新近的几何学发展的不满。另一处比较清晰看出射影几何在作品中的例子就是读者熟悉的柴郡猫的微笑：
“好吧”，猫儿说。这一次，它消失得挺缓慢，先从尾巴开始，最后是嘴巴上的微笑，那个微笑在它的身体消失后很久才消失掉。（[7]，页49）
在猫消失的过程中，直到整个身子都消失不见，其微笑的嘴一直保持在原地不变，这幅场景很好地还原了彭赛列的连续性原理的过程。但在道奇森的描述下显得荒谬和奇异。
除了在几何学发展中的张力，爱丽丝的历险还影射出了道奇森与所处时代中抽象数学——尤其是抽象代数的发展之间的张力。如果说在非欧几何方面维多利亚时期的英国数学家受到法国、德国数学家的影响更大的话——当然英国还有赫赫有名的克利福德（William K. Clifford，1845—1879）——那么在抽象代数和逻辑基础的研究上，英国的数学家可以说是引领了世界的潮流：皮考克、德摩根（De Morgan，1806—1871）、布尔（George Boole，1815—1864）、维恩、哈密顿（William R. Hamilton，1805—1865）等著名的逻辑学家和代数学家都活跃在此时期。19世纪前代数学家的工作主要是解方程，而到了19世纪，尤其是19世纪的英国，以符号运算以及它与数学事实之间关系的新兴趣为特征（[5]，页876）。皮考克是这个代数变革运动的倡导者，他在1830年的《代数学》（Treatise on Algebra）中定义符号代数为“通过定义任意法则的方法研究任意标志和符号的组合的科学”。皮考克的思想直接影响了德摩根，后者深刻意识到代数的基础和代数法则不必基于算术法则，相信代数系统可以通过任意选择一些符号和建立这些符号的一套运算法则来建立，而不用参考算术法则，只要其后能解释这些法则之间的相互作用就行了（[5]，页879）。例如，假设符号M、N，+，以及M+N=N+M作为唯一的组合关系。在这里我们如何通过这个符号建立一个有意义的代数呢？有几种方式：1）M和N可以是一些量，+表示第二个量加到第一个量的符号。2）M和N可以是数，+表示第一个数被第二个数乘……4）M和N可以是人，+表示前一个人是后一个人的兄弟……（[8]，pp. 92—93）于是符号代数，或者说抽象代数，不再仅仅将代数运算建立在普通的算术法则上，也不再将运算基于实数或者复数上，而是更一般的抽象的符号代数，引进更抽象的结构用以统一表面上千差万别的数学领域。对比在第二部分介绍的道奇森的著作和工作我们可以知道他在代数领域主要感兴趣的还是传统的代数学，方程的解法，行列式的快速运算等。在《爱丽丝漫游奇境记》中，确实有多处我们也可以看出他对在英国蓬勃发展的抽象的符号代数的讽刺。首先，在爱丽丝刚掉进兔子洞里，因为吃了蛋糕变得巨大，为了确认自己还是以前那个爱丽丝，她开始背起的“奇怪”的九九乘法表：
我来试试看，以前知道的东西现在是不是还知道。我想想：四乘以五等于十二，四乘以六等于十三，四乘以七等于……啊，天哪！照这么背下去，永远也到不了二十啦！（[7]，页13）
这确实是一张奇怪的乘法表，但是聪明的读者能很快发现道奇森在和我们玩变换进制的代数游戏。4×5的结果若是用18进制而不是10进制表示的时候结果确实是12；同理，4×6的结果用21进制而不是10进制表示的时候结果是13，而不是24；4×7用23进制表示而不是10进制时结果是14……依此类推，也可以计算证明，在这个序列之后要使结果等于20的情况并不可能存在。道奇森通过这一种反直觉的方式呈现了出来。在另一处，道奇森通过写爱丽丝和疯帽子的对话，来体现他对不可交换的阿贝尔群的抽象代数的讽喻：
“我当然要说”，爱丽丝连忙回答道，“至少……至少我说的就是我心里想的……反正是一码事，你知道了吧”。“根本就不是一码事！”帽子匠说道：“你还不如说，‘我看见我吃的东西’跟‘我吃我看见的东西’也是一码事呢！”（[7]，页51—52）
在另一处，爱丽丝和仿龟的对话，道奇森通过故意拼错和改写加减乘除的单词词组，也体现了他对抽象代数定义的任意的符号运算规则的质疑和讽刺：
“我没有能力学它”，仿龟叹了口气说，“我只学普通课程”。“那是些什么课？”爱丽丝问道。“当然开始是堵（读）和泄（写）啦”，仿龟回答道，“还有不同的算术运算——假发（Ambition），剪发（Distraction），丑法（Uglification）和锄法（Derision）”。（[7]，页74）
不过最令人觉得惊奇，且在《爱丽丝漫游奇境记》中最为脍炙人口的片段就是那场和三月兔、疯帽子和睡鼠举办的疯狂的茶会。这个茶会上只有三个“人”：疯帽子、三月兔和睡鼠，而且“桌子很大，可他们三个都挤在桌子的一角”。在爱丽丝和他们的对话中，茶会的有趣性质也显现了出来：
“从那以后”，帽子匠用悲伤的声调接着说，“我要时间干什么它都不干了。它总是指着六点钟”。爱丽丝脑子里突然一亮，问道：“这就是这儿摆了这么多茶具的缘故吧？”“是啊”，帽子匠叹了口气说道，“时间总是停留在午茶时间，我们喝完茶，连洗这些茶具的时间都没有，只好没完没了地接着喝。”“我猜，你们就这么连续不断地围绕着桌子转？”，爱丽丝问道。“对极啦”，帽子匠说，“茶具用脏了，我们就往下挪”。（[7]，页55） 时间、旋转和数字3，这些元素让人很明确地想起19世纪中叶维多利亚时期爱尔兰数学家、物理学家哈密顿，以及他发明的四元数（Quaternions）。我们知道，对一个二维点，在复数坐标上很容易对其进行表示和操作，如“向量”A=a+bi，其中运算法则为i2=-1，若将其画在复平面上，对这个A乘以i就会得到逆时针旋转90度的点A'，若是想要旋转45度，则对这个坐标乘以（1/√2，i/√2）即可。于是我们看出对一个二维“向量”，将其旋转只需要一个二元数组即可。那么对于三维的“向量”该如何旋转的问题，哈密顿一开始一直苦苦寻求通过三元数组（从二维推广而来的，表示空间的三个坐标）给出三维旋转的办法，但是最后均失败了。不过最后，他给出了正确的计算方法，发现其需要的不是三元数组，而是四元数组，被称为四元数。其形式为h=a+bi+cj+dk，其中运算法则为i2=j2=k2=ijk=-1。在三维中旋转给定一个旋转轴V=（vx， vy， vz），给定旋转的角度后，就可以利用四元数进行计算一个点p=（px，py，pz）在这个条件下旋转后的像了：首先，找到对应的四元数h=（cos（θ/2），sin（θ/2）*vx，sin（θ/2）*vy，sin（θ/2）*vz），并且定义纯四元数qp=（0，px，py，pz），接下来计算p'=h*qp*h-1，计算得到的p'一定也是纯四元数，其三个坐标p'x，p'y，p'z表示的就是旋转后的三维空间坐标。哈密顿在发现三元数不能解释三位旋转而加入一个额外旋转项（extra-spatial term）之后实现了三维旋转，因此他对这一项的解释为：“像绝大多数维多利亚时期数学家，他认为这一项得代表着什么意义，因此在他1853年的著作《四元数讲义》中加了一条脚注，‘将这一项同时间概念联系起来在我看来是自然的。’”[2， 3]不过，在每次旋转后我们得到的总是纯四元数，即这项时间项总是为0的，因此在道奇森的小说中，这个茶会总是被困在六点钟，茶会上的人不断在停止的时间之中绕着茶桌进行旋转。从现代群论的角度看，四元数所在群为S3群，四元数代表的三维旋转就是SO（3）。四元数集合形成了实数上的非交换的除法代数。哈密顿的代数是第一个不遵守皮考克和德摩根提出的规律的符号系统，它的建立消除了考虑不满足这些规律体系的存在问题，使皮考克所主张的自由构造成为现实（[5]，页884）。道奇森生动地将四元数的数学思想和过程描述在了爱丽丝经历的历险之中，显得荒诞和奇异。
至此，我们将道奇森《爱丽丝漫游奇境记》中体现维多利亚时期数学思想和数学知识发展的张力结合历史做了简要分析，表现了在非欧几何学和抽象代数的发展中带来的新奇有趣的思想。
四 道奇森的逻辑学
维多利亚时期英国的数学家对于数学基础的逻辑学，尤其是符号逻辑的发展给予了极大的关注，德摩根、布尔和维恩都在形式逻辑领域做出了先驱的贡献。布尔于1854年出版的《思维规律研究》使得逻辑学脱离了亚里士多德传统的形而上学分析，进入了数学领域，通过定义逻辑推理运算的符号和语言，建立逻辑学并构造其方法。在此书中，布尔构造了布尔代数，这种取值为0，1的逻辑运算如今在计算机领域被广泛使用，是计算机基本理论之一。
道奇森在逻辑学上也有所建树，他同维恩一般建立了可视化的逻辑方法，并用这个方法分析传统逻辑中的三段论推理和复合三段论。在其死后出版的《符号逻辑第二卷》中，还发展了了现在所称为“逻辑树”的一种分析符合命题有效性的图示方法，这种思想和方法在现在逻辑学自动证明中也有重要应用。
在道奇森的逻辑学系统中，他强调七种基本概念：命题（Proposition）、属性（Attribute）、词项（Term）、对象（Subject）、谓词（Predicate）、特称命题（Particular）和全稱命题（Universal）。这些概念和现代逻辑学的概念几近相似，就不在此赘述。道奇森设计了用来表达命题的逻辑图（图3）[9]，例如对于两个属性x和y，可以利用两条线将组合性质xy、xy'（not y）、x'y（not x）、x'y'划分成四个区域（如果是三个属性x、y、m则分为8个区域（图3左），属性m为x、y围成的方框内，m'即为方框外的区域）。在某个区域内用标记I表示“一个或更多”，用0表示“没有”。
如图3右中标记的I，就代表命题“一些x-（对象）是y-（对象）”或者命题“一些y-（对象）是x-（对象）”。若考虑如图3右边的意义，则表示“一些x是y，且没有x是y'”，其等价于“所有x都是y”。这个模式表示了一个全称命题。将其简单地推广到三属性的情况，如图3左，这个图式表示“所有x都是y。”
这个简单的逻辑图式表示方法也可以用来分析三段论：道奇森将其分为三个步骤，第一，将含有属性x、y、z的全称命题分解为多个特称命题，至少挑选两个作为前提；第二，在前提中重复出现两次的属性被称为中间项（Middle term），在结论中被消去，即结论是关于另两个属性的命题。举例而言，若我们有两个前提为：（1）没有x是m，（2）一些m是y'，那么首先我们在上述的逻辑图式中画出已知条件（图4左）。
那么因为结论消去了中间项m，于是我们得到右图关于x-y的划分图式，那么根据图式，结论就为“一些x'是y'。”
利用这些图式分析传统三段论以及各种变格具有很好的效果。值得提醒的是，这种图式并不是道奇森第一次提出的，稍早于道奇森，维恩就提出了鼎鼎有名的文氏图（图5）。通过对比，在二维的情况，道奇森的图可以说是文氏图的一种修正，因为文氏图没有包含所有的情况，而道奇森的图能够涵盖所有的情况。四维以上的对比，见图6（[5]，pp. 203—204）。
五 总结
英国维多利时期呈现出了繁荣的盛世景象，作为其缩影的科学，尤其是其中的数学领域，维多利亚时期英国数学在抽象代数和逻辑等领域领先于世界，作出了开创性贡献。然而，高速发展的抽象数学与现代数学和传统数学之间产生了不可避免的矛盾，分析这种矛盾，可以更好地了解该时期的数学思想发展和进程。道奇森（卡洛尔）正是这样一位自身内部充满矛盾张力的数学家，其本身就像一面镜子，反映出维多利亚时代数学思想的变化和进展。
通过分析维多利亚时期欧洲非欧几何和英国抽象代数以及形式逻辑的数学史背景，以此为依据对道奇森的著名作品《爱丽丝漫游奇境记》进行分析，分析道奇森作为一个传统的数学家对高速发展的数学新图景的看法，并对他本人的贡献进行了细节介绍，还原了维多利亚时期英国数学和数学家的历史面貌。
参考文献
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[8] De Morgan， A.. Trigonometry and Double Algebra[M]. London： Taylor， 1849.
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