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一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
(1)设集合A={x|1 CRB=( )
(A)(1,2) (B)(1,3) (C)(3,4) (D)(1,4)
(2)如果复数z=■(b∈R)的实部和虚部相等,则| z|
等于( )
(A)3■ (B)2■ (C)3 (D)2
(3)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=■,则在区间(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性相同的是( )
(A)y=-x2 1 (B)y=|x 1|
(C)y=e|x| (D)y= 2x-1,x≥0x2 1, x<0
(4)已知函数f(x)=sin(?棕x ■)(?棕>0)的最小正周期为?仔,则函数f(x)的图像( )
(A)关于直线x=■对称 (B)关于点(■,0)对称
(C)关于直线x=■对称 (D)关于点(■,0)对称
(5)下列四个结论:
①若p∧q是真命题,则?劭p可能是真命题;
②命题“?埚x0∈R,x02-x0-1<0”的否定是“?坌x∈R,x2-x-1≥0”;
③“a>5且b>-5”是“a b>0”的充要条件;
④当a<0时,幂函数y=x?琢在区间(0, ∞)上单调递减.
其中正确的是( )
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
(6)如图1,圆C内切于扇形AOB,∠AOB= ■,若向扇形AOB内随机投掷300个点,则落入圆内的点的个数估计值为( )
(A)450 (B)400
(C)200 (D)100
(7)已知等差数列{an}满足a7 a8 a9>0,a7 a10<0,那么{an}当的前n项和最大时,n=( )
(A)7 (B)8
(C)9 (D)10
(8)某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积为( )
(A)12 (B)16
(C)18 (D)24
(9)执行如图3所示的程序框图,则输出的结果是( )
(A)16
(B)17
(C)18
(D)19
(10)已知x,y满足
kx-y 2≥0,x y-2≥0,(k<0)y≥0,若目标函数z=y-x的最小值是-4,则k的值为( )
(A)-■ (B)-3 (C)-■ (D)-2
(11)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线■-■=1(a>0,b>0)的一个焦点,两条曲线的交点的连线过点F,则双曲线的离心率为( )
(A)■ (B)1 ■
(C)■ (D)1 ■
(12)已知f(x)= -x2 ■x,x<0ex-1,x≥0若函数y=f(x)-kx有3个零点,则实数k的取值范围是( )
(A)(-1,1) (B)(1, ∞)
(C)[2, ∞) (D)[1,2)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
(13)若点(a,27)在函数y=x3的图像上,则tan■的值为 .
(14)已知a>0,b>0,2a 2b=6,则■ ■的最小值为
.
(15)某校有A,B两个文学社团,若a,b,c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团,则三人不在同一个社团的概率为 .
(16)已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上,且SC⊥平面ABC,若SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,则球O的表面积为 .
三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.本大题共6小题,共70分.
(17)(本小題满分10分)
已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,有sin2B sin2C=sin2A sinBsinC.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求f(x)=sin(x-A) ■cosx(-■≤x≤?仔)的值域.
(18)(本小题满分12分)
随着国民生活水平的提高,利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数,具体统计数据如下表所示:
(Ⅰ)从这5年中随机抽取两年,求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率;
(Ⅱ)利用所给数据,求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程■=■x ■,判断它们之间是正相关还是负相关;并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式:
■=■,■=■-■■.
(19)(本小题满分12分)
如图4,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,AB=BD,BC=CD.
(Ⅰ) 求证:平面ACC1A1⊥平面A1BD;
(Ⅱ) 若BC⊥CD,AB=AA1=2,求三棱锥B1-A1BD的体积.
(20)(本小题满分12分)
如图5,椭圆C1:■ ■=1(a>b>0)和圆C2:x2 y2=b2,已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分,椭圆C1右焦点到直线x=■的距离为■,椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B. (Ⅰ) 求椭圆C1的方程;
(Ⅱ) 若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个
交点为点P、M.求证:直线MP经过一定点.
(21)(本小题满分12分)
设函数f(x)=ax b-xlnx(a>0),g(x)=■,若直线y=e-x是曲线C:y=f(x)的一条切线,其中e是自然对数的底数,且f(1)=1.
(Ⅰ) 求a,b的值;
(Ⅱ) 设0f(n).
请考生在第22、23题中任选一题做答. 如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程x=2 ■t,y=■t,(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:?籽=4cos?兹.
(I)求直线l的极坐标方程;
(II)求直线l与曲线C交点的极坐标(?籽>0,0≤?兹<2?仔).
(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x-a| |2x 1|(a>0),g(x)=x 2.
(I)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;
(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷文科数学模拟试题
参考答案
一、 选择题
1.【解析】A=(1,4),B =[-1,3],则A∩(CRB)=(3,4),选C.
2.【解析】令■=a ai,展开3-bi=a 3ai解得a=3,b=-3a=-9,故|z|=3■,选A.
3.【解析】根据题意画出每个函数的图像,可知选C.
4.【解析】由?仔=■,得?棕=2,选A.
5.【解析】①错,②对,③错,④对,选D.
6.【解析】不妨设内切圆的半径为1,则扇形的半径为3,由■·■■,n·200,选C.
7.【解析】a7 a8 a9=3a8>0,a7 a10=a8 a9<0,a8>0,a9<0,选B.
8.【解析】如图,根据三视图可知该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥,求得其体积为为24,选D.
9.【解析】n=1时,S=log2■;n=2时,S=log2■;
n=3时…S=log2■<-3, 输出n=16,选A.
10.【解析】由题意作出其平面区域,将z=y-x化为y=x z,z相当于直线y=x z的纵截距,则由平面区域可知,当目标函数z=y-x取得最小值-4时过点(4,0),故k=-■,选C.
11.【解析】两曲线的一个交点坐标为(■,p),从而■=c,p=■,故b2=2ac=c2-a2,e2-2e-1=0,解得e=1 ■,选D.
12.【解析】由f(x)-kx=0得到f(x)=kx,f(0)=0,当x<0时,得到-x2 ■x=kx,得到x=■-k<0,所以k>■,当x>0时,f(x)=ex-1,f′(x)=ex>1,所以要使y-f(x)-kx在x>0时有一个零点,则k>1,所以实数k的取值范围是(1, ∞),选B.
二、填空题
13. ■; 14. 4; 15. ■; 16. 5?仔.
13. 【解析】把点(a,27)代入y=x3,得a=3,所以tan■=
tan■=■.
14. 【解析】■ ■=■ ■=2 ■ ■≥4,当且仅当■=■即a=1.5,b=1时取“=”.
15. 【解析】a,b,c三名学生选择社团的结果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B),
(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B),共8个等可能性的基本事件,三人在同一個社团的结果有:(A,A,A),(B,B,B),共两个,所以“三人在同一个社团”的概率为■=■,而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件,所以“三人不在同一个社团”的概率1-■=■.
16.【解析】记底面三角形ABC的外接圆为⊙O′,半径为r,则2r=■=2,所以记球的半径为R,因为SC⊥平面ABC,则2R=■=■=■,所以球O的表面积为S=4?仔R2=4×?仔×(■)2=5?仔.
三、解答题
(17)解析:(Ⅰ)∵ sin2B sin2C=sin2A sinBsinc,
由正弦定理得:b2 c2=a2 bc,∴ cosA=■=■.
又∵A∈(0,?仔),∴ A=■. …………6分
(Ⅱ)f(x)=sin(x-■) ■cosx■sinx-■cosx ■cosx=■sinx ■cosx=sin(x ■)………………8分
∵ -■≤x≤?仔,∴ -■≤x ■≤■,………………9分
∴ sin(x ■)∈[-■,1],……………11分
∴ f(x)的值域为[-■,1]. ……………12分
(18) 解析:(Ⅰ)从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:(2012,2013),(2012,2014),(2012,2015),
(2012,2016),(2013,2014),(2013,2015),
(2013,2016),(2014,2015),(2014,2016),
(2015,2016)共10种, ……………………2分 至少有1年多于20人的事件有: (2012,2015),
(2012,2016),(2013,2015),(2013,2016),
(2014,2015),(2014,2016),(2015,2016)共7种,
……………………4分
则至少有1年多于10人的概率为p=■. …………5分
(Ⅱ)由已知数据得■=2014,■=16,………………7分
■(xi-■)(yi-■)=-2×(-10) (-1)×(-6) 1×6 2×10=52.
…………………………………8分
■(xi-■)2=(-1)2 (-2)2 12 22=10………………9分
所以■=■=■=5.2, ■=16-5.2×2014=-10456.8…………………………………10分
所以是正相关,回归直线的方程为■=5.2x-10456.8
………………………………11分
则第2019年的估计值为■=5.2×2019-10456.8=42
………………………………12分
(19) 解析:(Ⅰ)证明:因为AB=BD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形. …………………………………1分
所以AB=AD,又CB=CD,AC为公共边,所以△ABC≌△ADC,所以∠CAD=∠CAB,所以AC⊥BD.……………2分
又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直棱柱,所以AA1⊥平面ABCD,AA1⊥BD,…………………3分
又AC∩AA1=A,所以BD⊥平面ACC1A1,…………4分
又BD?奂平面A1BD,所以平面ACC1A1⊥平面A1BD.
………………………………………5分
(Ⅱ)因为AA1∥BB1,所以V■=V■=V■,
………………………………………7分
由(Ⅰ)知AC⊥BD,又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直棱柱,所以BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC,又BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D.……………………………………10分
记AC∩BD=O,则V■=■S△BB1D·AO=■×(■×2×2)×■=■,所以三棱锥B1-A1BD的体积为■.
……………………………………12分
(20) 解析:(Ⅰ)依题意,2b=■·2a,则a=3b,所以c=■=2■b,又■-c=■=■,所以b=1,于是a=3,所以椭圆方程为■ y2=1. ………………………………3分
(Ⅱ) 由题意知直线PE、ME的斜率存在且不为0,设直线PE的斜率为k,则PE∶y=kx-1,由y=kx-1,■ y2=1,得x=■,y=■或x=0,y=-1,所以 P(■, ■).…………………………6分
用-■去代k,得M(■,■),…………………7分
因為kPM =■=■,………………………9分
所以直线PM:y-■ = ■(x ■),即y = ■x ■,……………………………11分
所以直线PM经过定点T(0,■).………………………12分
(21)解析:(Ⅰ)设切点为T(x0,y0),因为f′(x)=a-1-lnx,………………………………1分
所以f ′(x0)=a-1-lnx0=-1,即a=lnx0 ……①
又切线方程为y-y0=-(x-x0),即y=x0 y0-x,所以x0 y0=e.………………………2分
将y0=ax0 b-x0lnx0代入上式得x0 ax0 b-x0lnx0=e,
将a=lnx0代入上式得b=e-x0,……② …………………3分
因为f(1)=1,所以b a=1,所以lnx0 e-x0=1,即lnx0-x0 e-1=0,………………………………………………4分
令h(x)=lnx-x e-1,则h′(x)=■-1=■,故h(x)是(0,1)上递增,在(1, ∞)上递减,
且当x=1时,h(x)取极大值h(x)=ln1-1 e-1=e-2>0,
因为h(e-2)=-2-e-2 e-1=e-3-e-2<0,且h(e)=0,
故h(x)在区间(e-2,1)有一个零点x■,在(1, ∞)区间上的零点为e,
因为a>0,所以a=lnx0>0,所以x0=e,………………③
将③代入①②可得a=1,b=0. …………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x-xlnx,令m=tn,则t>1,
要证f(m)>g(n),即证f(tn)>g(n)?圳tn-tnln(tn)>■?圳t-tln(tn)>■.……………………………………7分
记?渍(t)=t-tln(tn)(t>1),则?渍′(t)=1-[ln(tn) 1]=-ln(tn)=-lnm>0.
所以?渍(t)=t-tln(tn)是(1, ∞)上的增函数,?渍(t)≥?渍(1)=1-lnn,……………………9分
以下再证:1-lnn>■,即证:lnn-■<0, …………………………………………10分
记r(n)=lnn-■(00,
所以r(n)是(0,1)上的减函数,所以r(n) 综上,原不等式成立.…………………………………12分
[其它证法,如放缩法]先证f(m)>f(n),再证f(n)>g(n);先证f(m)>g(m),再证g(m)>g(n).
请考生在第22、23、24题中任选一题做答. 如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号.
(22)解析:(I)将直线l∶x=2 ■t,y=■t(t为参数),消去参数t,化为普通方程■x-y-2■=0,…………………2分
将x=?籽cos?兹,y=?籽sin?兹代入■x-y-2■=0得■?籽cos?兹-?籽sin?兹-2■=0. ……………………………4分
(II)方法一:C的普通方程为x2 y2-4x.…………6分
由■x-y-2■=0,x2 y2-4x=0,解得x=1,y=-■或x=3,y=■.…………………………………8分
所以l与C交点的极坐标分别为(2,■),(2■,■). …………………………………10分
方法二:由■?籽cos?兹-?籽sin?兹-2■=0,?籽=4cos?兹,
………………………………6分
得:sin(2?兹-■)=0,又因为?籽≥0,0≤?兹<2?仔 ………………8分
所以?籽=2,?兹=■或?籽=2■,?兹=■.
所以l与C交点的极坐标分别为(2,■),(2■,■). …………………………………10分
(23)解析:(I)当a=1时,2x-1 2x 1≤x 2
x≤-■,-4x≤x 2?圯无解,-■ 综上,不等式的解集为{x│0≤x≤■}.………………5分
(II)2x-a 2x 1≥x 2,转化为2x-a 2x 1-x-2≥0.
令h(x)=2x-a 2x 1-x-2,
因为a>0,所以h(x)=-5x a-3,x≤-■-x a-1,-■ …………………………8分
在a>0下易得h(x)min=■-1,令■-1≥0,得a≥2.
…………………………………10分
责任编辑 徐国坚
(1)设集合A={x|1
(A)(1,2) (B)(1,3) (C)(3,4) (D)(1,4)
(2)如果复数z=■(b∈R)的实部和虚部相等,则| z|
等于( )
(A)3■ (B)2■ (C)3 (D)2
(3)已知函数f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=■,则在区间(-2,0)上,下列函数中与f(x)的单调性相同的是( )
(A)y=-x2 1 (B)y=|x 1|
(C)y=e|x| (D)y= 2x-1,x≥0x2 1, x<0
(4)已知函数f(x)=sin(?棕x ■)(?棕>0)的最小正周期为?仔,则函数f(x)的图像( )
(A)关于直线x=■对称 (B)关于点(■,0)对称
(C)关于直线x=■对称 (D)关于点(■,0)对称
(5)下列四个结论:
①若p∧q是真命题,则?劭p可能是真命题;
②命题“?埚x0∈R,x02-x0-1<0”的否定是“?坌x∈R,x2-x-1≥0”;
③“a>5且b>-5”是“a b>0”的充要条件;
④当a<0时,幂函数y=x?琢在区间(0, ∞)上单调递减.
其中正确的是( )
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
(6)如图1,圆C内切于扇形AOB,∠AOB= ■,若向扇形AOB内随机投掷300个点,则落入圆内的点的个数估计值为( )
(A)450 (B)400
(C)200 (D)100
(7)已知等差数列{an}满足a7 a8 a9>0,a7 a10<0,那么{an}当的前n项和最大时,n=( )
(A)7 (B)8
(C)9 (D)10
(8)某几何体的三视图如图2所示,则该几何体的体积为( )
(A)12 (B)16
(C)18 (D)24
(9)执行如图3所示的程序框图,则输出的结果是( )
(A)16
(B)17
(C)18
(D)19
(10)已知x,y满足
kx-y 2≥0,x y-2≥0,(k<0)y≥0,若目标函数z=y-x的最小值是-4,则k的值为( )
(A)-■ (B)-3 (C)-■ (D)-2
(11)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点F恰好是双曲线■-■=1(a>0,b>0)的一个焦点,两条曲线的交点的连线过点F,则双曲线的离心率为( )
(A)■ (B)1 ■
(C)■ (D)1 ■
(12)已知f(x)= -x2 ■x,x<0ex-1,x≥0若函数y=f(x)-kx有3个零点,则实数k的取值范围是( )
(A)(-1,1) (B)(1, ∞)
(C)[2, ∞) (D)[1,2)
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.
(13)若点(a,27)在函数y=x3的图像上,则tan■的值为 .
(14)已知a>0,b>0,2a 2b=6,则■ ■的最小值为
.
(15)某校有A,B两个文学社团,若a,b,c三名学生各自随机选择参加其中的一个社团,则三人不在同一个社团的概率为 .
(16)已知三棱锥S-ABC所在顶点都在球O的球面上,且SC⊥平面ABC,若SC=AB=AC=1,∠BAC=120°,则球O的表面积为 .
三、 解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.本大题共6小题,共70分.
(17)(本小題满分10分)
已知△ABC中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,有sin2B sin2C=sin2A sinBsinC.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求f(x)=sin(x-A) ■cosx(-■≤x≤?仔)的值域.
(18)(本小题满分12分)
随着国民生活水平的提高,利用长假旅游的人越来越多.某公司统计了2012到2016年五年间本公司职员每年春节期间外出旅游的家庭数,具体统计数据如下表所示:
(Ⅰ)从这5年中随机抽取两年,求外出旅游的家庭数至少有1年多于20个的概率;
(Ⅱ)利用所给数据,求出春节期间外出旅游的家庭数与年份之间的回归直线方程■=■x ■,判断它们之间是正相关还是负相关;并根据所求出的直线方程估计该公司2019年春节期间外出旅游的家庭数.参考公式:
■=■,■=■-■■.
(19)(本小题满分12分)
如图4,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,∠BAD=60°,AB=BD,BC=CD.
(Ⅰ) 求证:平面ACC1A1⊥平面A1BD;
(Ⅱ) 若BC⊥CD,AB=AA1=2,求三棱锥B1-A1BD的体积.
(20)(本小题满分12分)
如图5,椭圆C1:■ ■=1(a>b>0)和圆C2:x2 y2=b2,已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分,椭圆C1右焦点到直线x=■的距离为■,椭圆C1的下顶点为E,过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B. (Ⅰ) 求椭圆C1的方程;
(Ⅱ) 若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个
交点为点P、M.求证:直线MP经过一定点.
(21)(本小题满分12分)
设函数f(x)=ax b-xlnx(a>0),g(x)=■,若直线y=e-x是曲线C:y=f(x)的一条切线,其中e是自然对数的底数,且f(1)=1.
(Ⅰ) 求a,b的值;
(Ⅱ) 设0
请考生在第22、23题中任选一题做答. 如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号.
(22)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程x=2 ■t,y=■t,(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:?籽=4cos?兹.
(I)求直线l的极坐标方程;
(II)求直线l与曲线C交点的极坐标(?籽>0,0≤?兹<2?仔).
(23)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲
设函数f(x)=|2x-a| |2x 1|(a>0),g(x)=x 2.
(I)当a=1时,求不等式f(x)≤g(x)的解集;
(II)若f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围.
2017年普通高等学校招生全国统一考试全国卷文科数学模拟试题
参考答案
一、 选择题
1.【解析】A=(1,4),B =[-1,3],则A∩(CRB)=(3,4),选C.
2.【解析】令■=a ai,展开3-bi=a 3ai解得a=3,b=-3a=-9,故|z|=3■,选A.
3.【解析】根据题意画出每个函数的图像,可知选C.
4.【解析】由?仔=■,得?棕=2,选A.
5.【解析】①错,②对,③错,④对,选D.
6.【解析】不妨设内切圆的半径为1,则扇形的半径为3,由■·■■,n·200,选C.
7.【解析】a7 a8 a9=3a8>0,a7 a10=a8 a9<0,a8>0,a9<0,选B.
8.【解析】如图,根据三视图可知该几何体是一个直三棱柱截去一个三棱锥,求得其体积为为24,选D.
9.【解析】n=1时,S=log2■;n=2时,S=log2■;
n=3时…S=log2■<-3, 输出n=16,选A.
10.【解析】由题意作出其平面区域,将z=y-x化为y=x z,z相当于直线y=x z的纵截距,则由平面区域可知,当目标函数z=y-x取得最小值-4时过点(4,0),故k=-■,选C.
11.【解析】两曲线的一个交点坐标为(■,p),从而■=c,p=■,故b2=2ac=c2-a2,e2-2e-1=0,解得e=1 ■,选D.
12.【解析】由f(x)-kx=0得到f(x)=kx,f(0)=0,当x<0时,得到-x2 ■x=kx,得到x=■-k<0,所以k>■,当x>0时,f(x)=ex-1,f′(x)=ex>1,所以要使y-f(x)-kx在x>0时有一个零点,则k>1,所以实数k的取值范围是(1, ∞),选B.
二、填空题
13. ■; 14. 4; 15. ■; 16. 5?仔.
13. 【解析】把点(a,27)代入y=x3,得a=3,所以tan■=
tan■=■.
14. 【解析】■ ■=■ ■=2 ■ ■≥4,当且仅当■=■即a=1.5,b=1时取“=”.
15. 【解析】a,b,c三名学生选择社团的结果有:(A,A,A),(A,A,B),(A,B,A),(B,A,A),(A,B,B),
(B,A,B),(B,B,A),(B,B,B),共8个等可能性的基本事件,三人在同一個社团的结果有:(A,A,A),(B,B,B),共两个,所以“三人在同一个社团”的概率为■=■,而“三人不在同一个社团”与“三人在同一个社团”是对立事件,所以“三人不在同一个社团”的概率1-■=■.
16.【解析】记底面三角形ABC的外接圆为⊙O′,半径为r,则2r=■=2,所以记球的半径为R,因为SC⊥平面ABC,则2R=■=■=■,所以球O的表面积为S=4?仔R2=4×?仔×(■)2=5?仔.
三、解答题
(17)解析:(Ⅰ)∵ sin2B sin2C=sin2A sinBsinc,
由正弦定理得:b2 c2=a2 bc,∴ cosA=■=■.
又∵A∈(0,?仔),∴ A=■. …………6分
(Ⅱ)f(x)=sin(x-■) ■cosx■sinx-■cosx ■cosx=■sinx ■cosx=sin(x ■)………………8分
∵ -■≤x≤?仔,∴ -■≤x ■≤■,………………9分
∴ sin(x ■)∈[-■,1],……………11分
∴ f(x)的值域为[-■,1]. ……………12分
(18) 解析:(Ⅰ)从这5年中任意抽取两年,所有的事件有:(2012,2013),(2012,2014),(2012,2015),
(2012,2016),(2013,2014),(2013,2015),
(2013,2016),(2014,2015),(2014,2016),
(2015,2016)共10种, ……………………2分 至少有1年多于20人的事件有: (2012,2015),
(2012,2016),(2013,2015),(2013,2016),
(2014,2015),(2014,2016),(2015,2016)共7种,
……………………4分
则至少有1年多于10人的概率为p=■. …………5分
(Ⅱ)由已知数据得■=2014,■=16,………………7分
■(xi-■)(yi-■)=-2×(-10) (-1)×(-6) 1×6 2×10=52.
…………………………………8分
■(xi-■)2=(-1)2 (-2)2 12 22=10………………9分
所以■=■=■=5.2, ■=16-5.2×2014=-10456.8…………………………………10分
所以是正相关,回归直线的方程为■=5.2x-10456.8
………………………………11分
则第2019年的估计值为■=5.2×2019-10456.8=42
………………………………12分
(19) 解析:(Ⅰ)证明:因为AB=BD,∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形. …………………………………1分
所以AB=AD,又CB=CD,AC为公共边,所以△ABC≌△ADC,所以∠CAD=∠CAB,所以AC⊥BD.……………2分
又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直棱柱,所以AA1⊥平面ABCD,AA1⊥BD,…………………3分
又AC∩AA1=A,所以BD⊥平面ACC1A1,…………4分
又BD?奂平面A1BD,所以平面ACC1A1⊥平面A1BD.
………………………………………5分
(Ⅱ)因为AA1∥BB1,所以V■=V■=V■,
………………………………………7分
由(Ⅰ)知AC⊥BD,又四棱柱ABCD-A1B1C1D1为直棱柱,所以BB1⊥平面ABCD,BB1⊥AC,又BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BB1D.……………………………………10分
记AC∩BD=O,则V■=■S△BB1D·AO=■×(■×2×2)×■=■,所以三棱锥B1-A1BD的体积为■.
……………………………………12分
(20) 解析:(Ⅰ)依题意,2b=■·2a,则a=3b,所以c=■=2■b,又■-c=■=■,所以b=1,于是a=3,所以椭圆方程为■ y2=1. ………………………………3分
(Ⅱ) 由题意知直线PE、ME的斜率存在且不为0,设直线PE的斜率为k,则PE∶y=kx-1,由y=kx-1,■ y2=1,得x=■,y=■或x=0,y=-1,所以 P(■, ■).…………………………6分
用-■去代k,得M(■,■),…………………7分
因為kPM =■=■,………………………9分
所以直线PM:y-■ = ■(x ■),即y = ■x ■,……………………………11分
所以直线PM经过定点T(0,■).………………………12分
(21)解析:(Ⅰ)设切点为T(x0,y0),因为f′(x)=a-1-lnx,………………………………1分
所以f ′(x0)=a-1-lnx0=-1,即a=lnx0 ……①
又切线方程为y-y0=-(x-x0),即y=x0 y0-x,所以x0 y0=e.………………………2分
将y0=ax0 b-x0lnx0代入上式得x0 ax0 b-x0lnx0=e,
将a=lnx0代入上式得b=e-x0,……② …………………3分
因为f(1)=1,所以b a=1,所以lnx0 e-x0=1,即lnx0-x0 e-1=0,………………………………………………4分
令h(x)=lnx-x e-1,则h′(x)=■-1=■,故h(x)是(0,1)上递增,在(1, ∞)上递减,
且当x=1时,h(x)取极大值h(x)=ln1-1 e-1=e-2>0,
因为h(e-2)=-2-e-2 e-1=e-3-e-2<0,且h(e)=0,
故h(x)在区间(e-2,1)有一个零点x■,在(1, ∞)区间上的零点为e,
因为a>0,所以a=lnx0>0,所以x0=e,………………③
将③代入①②可得a=1,b=0. …………………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=x-xlnx,令m=tn,则t>1,
要证f(m)>g(n),即证f(tn)>g(n)?圳tn-tnln(tn)>■?圳t-tln(tn)>■.……………………………………7分
记?渍(t)=t-tln(tn)(t>1),则?渍′(t)=1-[ln(tn) 1]=-ln(tn)=-lnm>0.
所以?渍(t)=t-tln(tn)是(1, ∞)上的增函数,?渍(t)≥?渍(1)=1-lnn,……………………9分
以下再证:1-lnn>■,即证:lnn-■<0, …………………………………………10分
记r(n)=lnn-■(0
所以r(n)是(0,1)上的减函数,所以r(n)
[其它证法,如放缩法]先证f(m)>f(n),再证f(n)>g(n);先证f(m)>g(m),再证g(m)>g(n).
请考生在第22、23、24题中任选一题做答. 如果多做,则按所做的第一题计分,答题时请写清题号.
(22)解析:(I)将直线l∶x=2 ■t,y=■t(t为参数),消去参数t,化为普通方程■x-y-2■=0,…………………2分
将x=?籽cos?兹,y=?籽sin?兹代入■x-y-2■=0得■?籽cos?兹-?籽sin?兹-2■=0. ……………………………4分
(II)方法一:C的普通方程为x2 y2-4x.…………6分
由■x-y-2■=0,x2 y2-4x=0,解得x=1,y=-■或x=3,y=■.…………………………………8分
所以l与C交点的极坐标分别为(2,■),(2■,■). …………………………………10分
方法二:由■?籽cos?兹-?籽sin?兹-2■=0,?籽=4cos?兹,
………………………………6分
得:sin(2?兹-■)=0,又因为?籽≥0,0≤?兹<2?仔 ………………8分
所以?籽=2,?兹=■或?籽=2■,?兹=■.
所以l与C交点的极坐标分别为(2,■),(2■,■). …………………………………10分
(23)解析:(I)当a=1时,2x-1 2x 1≤x 2
x≤-■,-4x≤x 2?圯无解,-■
(II)2x-a 2x 1≥x 2,转化为2x-a 2x 1-x-2≥0.
令h(x)=2x-a 2x 1-x-2,
因为a>0,所以h(x)=-5x a-3,x≤-■-x a-1,-■
在a>0下易得h(x)min=■-1,令■-1≥0,得a≥2.
…………………………………10分
责任编辑 徐国坚