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【摘要】新课标要求学生通过义务教育阶段的数学学习,获得适应社会生活和进一步发展所必需的基本思想,而函数思想是各种数学思想最重要的思想之一,它是解决面积最值问题最主要、最有效的核心思想.
【关键词】自变量;取值范围;解析式;最值;三角形;四边形;扇形
《数学新课标(2011版)》要求学生能用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系,能确定其自变量的取值范围,求出函数值,能结合对函数关系的分析,对变量的变化情况进行初步讨论.求几何图形面积的最值问题,正充分考查了学生用函数思想解决实际问题的能力.因为这类问题往往综合性较强,考查学生能力面较广,所以考查这类问题成了许多命题者的喜好.
用函数思想解决面积最值问题的步骤可归纳如下:
第一,确定自变量.这一步的关键是选定一个恰当的量作为自变量x,它可能是一条线段,也可能是一个角等.在这里,往往还需要用x去表示另一些与x相关的量.
第二,确定解析式.求表示面积的函数表达式时,有的采用直接法,即直接用面积公式求;有的采用间接法,即用面积的和或差求.这两种方法的选择,需要根据图形的特征决定.
第三,确定最值.这主要是在自变量的取值范围内根据函数的性质求面积的最值.
一、求三角形面积的最值问题
如图1所示,正方形ABCD的边长为1,E为AB边上一动点,且不与A,B重合,连接ED,过B点作BF∥DE交CD于点F,以CF为边作正方形CFMN,且点N在BC的延长线上,连接EM,DM,求△EDM面积的最小值.
分析 首先选取恰当的自变量.因为E是AB上的动点,所以可设BE为x.再分析△EDM的面积的求法.这时用三角形面积公式直接求显然不方便,所以选择间接法.不难发现S△EDM=S梯形EBCD S梯形CNMD-S梯形BNME.而这些梯形的面积都可以用含x的代数式表示,所以S△EDM关于x的函数关系式就可以求出来,进而根据函数解析式就可以求出S△EDM的最小值.
简单解析如下:
设BE=x(0
所以S△EDM=12(x 1)×1 12(1 1-x)(1-x)-12(x 1-x)(1 1-x)=12x2-12x 12,
所以当x=12时,S△EDM最小,最小值为38.
二、求四边形面积的最值问题
如图2所示,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10.D是△ABC内部或BC边上的一个动点(不与B,C重合).以D为顶点作△DEF,使△DEF∽△ABC(相似比k
【关键词】自变量;取值范围;解析式;最值;三角形;四边形;扇形
《数学新课标(2011版)》要求学生能用适当的函数表示法刻画实际问题中变量之间的关系,能确定其自变量的取值范围,求出函数值,能结合对函数关系的分析,对变量的变化情况进行初步讨论.求几何图形面积的最值问题,正充分考查了学生用函数思想解决实际问题的能力.因为这类问题往往综合性较强,考查学生能力面较广,所以考查这类问题成了许多命题者的喜好.
用函数思想解决面积最值问题的步骤可归纳如下:
第一,确定自变量.这一步的关键是选定一个恰当的量作为自变量x,它可能是一条线段,也可能是一个角等.在这里,往往还需要用x去表示另一些与x相关的量.
第二,确定解析式.求表示面积的函数表达式时,有的采用直接法,即直接用面积公式求;有的采用间接法,即用面积的和或差求.这两种方法的选择,需要根据图形的特征决定.
第三,确定最值.这主要是在自变量的取值范围内根据函数的性质求面积的最值.
一、求三角形面积的最值问题
如图1所示,正方形ABCD的边长为1,E为AB边上一动点,且不与A,B重合,连接ED,过B点作BF∥DE交CD于点F,以CF为边作正方形CFMN,且点N在BC的延长线上,连接EM,DM,求△EDM面积的最小值.
分析 首先选取恰当的自变量.因为E是AB上的动点,所以可设BE为x.再分析△EDM的面积的求法.这时用三角形面积公式直接求显然不方便,所以选择间接法.不难发现S△EDM=S梯形EBCD S梯形CNMD-S梯形BNME.而这些梯形的面积都可以用含x的代数式表示,所以S△EDM关于x的函数关系式就可以求出来,进而根据函数解析式就可以求出S△EDM的最小值.
简单解析如下:
设BE=x(0
所以S△EDM=12(x 1)×1 12(1 1-x)(1-x)-12(x 1-x)(1 1-x)=12x2-12x 12,
所以当x=12时,S△EDM最小,最小值为38.
二、求四边形面积的最值问题
如图2所示,在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10.D是△ABC内部或BC边上的一个动点(不与B,C重合).以D为顶点作△DEF,使△DEF∽△ABC(相似比k