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摘 要：求解椭圆的标准方程是椭圆中的基本问题，此类问题变化多端，理解常见的椭圆标准方程的变化题型，能够对该类试题的掌握起到关键性作用.
关键词：椭圆;标准方程;变式探究
中图分类号：G632 文獻标识码：A 文章编号：1008-0333（2020）34-0029-02
收稿日期：2020-09-05
作者简介：程传芝，女，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
一、规律分析
高考对椭圆的考查多以解答题的形式考查，也有少数年份在客观题中进行考查.以选择题、填空题的形式考查椭圆的定义、焦点坐标、离心率、标准方程等问题;以解答题的形式考查椭圆的性质、直线与椭圆的关系、与其它知识交汇（如平面向量），涉及到最值问题、定值（定点）问题、几何量的取值范围问题，以及存在型探索性问题.预计2021年高考对椭圆的命题有以下特点：（1）以选择题或填空题考查椭圆的定义和性质，难度中等;（2）以解答题形式重点考查椭圆的综合问题，多与直线结合进行命题，难度较大.
二、母题探究
母题 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为（ ）.
A.x26+y24=1 B.x216+y236=1
C.x236+y216D.x249+y29=1
解析 由长、短半轴长之和为10，焦距为45，可得a+b=10，2c=45，∴c=25.又a2=b2+c2，联立a+b=10，a2-b2=20，可解得a=6，b=4.
∵焦点在x轴上，∴所求椭圆方程为x236+y216=1.故选C.
点评 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有：
（1）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;
（2）待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n），再用待定系数法求出m，n的值即可.
三、变式分析
变式1 （已知离心率求椭圆标准方程）已知中心在坐标原点的椭圆过点A（-3，0），且离心率e=53，则椭圆的标准方程为.
解析 若焦点在x轴上，由题知a=3，因为椭圆的离心率e=ca=53，所以c=5，b=2.所以椭圆方程是x29+y24=1.若焦点在y轴上，则b=3，a2-c2=9，又离心率e=ca=53，解得a2=814.故椭圆的标方程是
y2814+x29=1.
变式2 （变换条件求椭圆方程）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为63，直线l：y=13x与椭圆E相交于A，B两点，AB=210，则椭圆的标准方程为.
解析 由离心率不妨设a=3m，c=6m，b=3m（m>0），则椭圆方程为x29m2+y23m2=1.与直线y=13x联立，可得x2=274m2，x=±332m，x1-x2=33m，且1+k2=103，由弦长公式33m×103=210，解得m=23，据此可得椭圆方程为x212+y24=1.
变式3 （变为利用点差法求椭圆标准方程）已知椭圆E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F3，0，过点F的直线交E于A、B两点.若AB的中点坐标为1，-1，则E的方程为（ ）
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1D.x218+y29=1
解析 设Ax1，y1，Bx2，y2，直线AB的斜率 k=-1-01-3=12.x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，∴1a2+1b2×12×2-2=0，即a2=2b2.又c2=9，a2=b2+c2，解得： a2=18，b2=9，方程是x218+y29=1，故选D.
参考文献：
[1]沈杰.关于椭圆标准方程的推导[J].高中数学教与学，2005（09）：13.
[2]陈明辉.椭圆标准方程推导方法的探究[J].中学生数理化（学研版），2015（04）：32-33.
[3]陈国林.椭圆中的最值问题归纳[J].数理化解题研究，2017（31）：11-12.
[责任编辑：李 璟]
关键词：椭圆;标准方程;变式探究
中图分类号：G632 文獻标识码：A 文章编号：1008-0333（2020）34-0029-02
收稿日期：2020-09-05
作者简介：程传芝，女，中学高级教师，从事高中数学教学研究.
一、规律分析
高考对椭圆的考查多以解答题的形式考查，也有少数年份在客观题中进行考查.以选择题、填空题的形式考查椭圆的定义、焦点坐标、离心率、标准方程等问题;以解答题的形式考查椭圆的性质、直线与椭圆的关系、与其它知识交汇（如平面向量），涉及到最值问题、定值（定点）问题、几何量的取值范围问题，以及存在型探索性问题.预计2021年高考对椭圆的命题有以下特点：（1）以选择题或填空题考查椭圆的定义和性质，难度中等;（2）以解答题形式重点考查椭圆的综合问题，多与直线结合进行命题，难度较大.
二、母题探究
母题 已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为45，则椭圆的标准方程为（ ）.
A.x26+y24=1 B.x216+y236=1
C.x236+y216D.x249+y29=1
解析 由长、短半轴长之和为10，焦距为45，可得a+b=10，2c=45，∴c=25.又a2=b2+c2，联立a+b=10，a2-b2=20，可解得a=6，b=4.
∵焦点在x轴上，∴所求椭圆方程为x236+y216=1.故选C.
点评 根据条件求椭圆方程常用的主要方法有：
（1）定义法，定义法的要点是根据题目所给的条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义;
（2）待定系数法，待定系数法的要点是根据题目所给的条件确定椭圆中的两个系数a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的标准方程为mx2+ny2=1（m>0，n>0，m≠n），再用待定系数法求出m，n的值即可.
三、变式分析
变式1 （已知离心率求椭圆标准方程）已知中心在坐标原点的椭圆过点A（-3，0），且离心率e=53，则椭圆的标准方程为.
解析 若焦点在x轴上，由题知a=3，因为椭圆的离心率e=ca=53，所以c=5，b=2.所以椭圆方程是x29+y24=1.若焦点在y轴上，则b=3，a2-c2=9，又离心率e=ca=53，解得a2=814.故椭圆的标方程是
y2814+x29=1.
变式2 （变换条件求椭圆方程）在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率为63，直线l：y=13x与椭圆E相交于A，B两点，AB=210，则椭圆的标准方程为.
解析 由离心率不妨设a=3m，c=6m，b=3m（m>0），则椭圆方程为x29m2+y23m2=1.与直线y=13x联立，可得x2=274m2，x=±332m，x1-x2=33m，且1+k2=103，由弦长公式33m×103=210，解得m=23，据此可得椭圆方程为x212+y24=1.
变式3 （变为利用点差法求椭圆标准方程）已知椭圆E： x2a2+y2b2=1（a>b>0）的右焦点为F3，0，过点F的直线交E于A、B两点.若AB的中点坐标为1，-1，则E的方程为（ ）
A.x245+y236=1 B.x236+y227=1
C.x227+y218=1D.x218+y29=1
解析 设Ax1，y1，Bx2，y2，直线AB的斜率 k=-1-01-3=12.x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，∴1a2+1b2×12×2-2=0，即a2=2b2.又c2=9，a2=b2+c2，解得： a2=18，b2=9，方程是x218+y29=1，故选D.
参考文献：
[1]沈杰.关于椭圆标准方程的推导[J].高中数学教与学，2005（09）：13.
[2]陈明辉.椭圆标准方程推导方法的探究[J].中学生数理化（学研版），2015（04）：32-33.
[3]陈国林.椭圆中的最值问题归纳[J].数理化解题研究，2017（31）：11-12.
[责任编辑：李 璟]