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【摘要】本文在最小方差动态套期保值理论的框架下，引入Laplace分布对DCC多元GARCH模型刻画波动率，分析了DCC-MVGARCH模型的套期保值绩效。实证结果表明：Laplace分布的DCC-MVGARCH的套期保值效果都好于正态分布的DCC-MVGARCH。
【关键词】最小方差套期保值 DCC-MVGARCH模型 多元Laplace分布
在市场化、全球化条件下，企业生产经营活动面对各种外部不确定因素的影响，其中很多因素都会通过市场价格波动风险来体现，本世纪以来国际市场大宗商品价格持续暴涨和2008年全球金融危机引爆的价格全面暴跌，但我国很多企业由于缺乏套期保值的理念而为此付出了沉重代价。为了对生产和贸易活动中涉及的商品或资产头寸进行保值，企业会买卖一定比例的期货合约。不同比例的期货合约会有不同的套期保值效果，因为现货价格和期货价格波动幅度并不完全相同。因此确定最优套期保值比率使得经过套期保值的资产组合所面临的风险最小成为了企业在套期保值操作过程中极其重要的问题，对企业稳定经营具有重要意义，同时最优套期保值比率的确定也是套期保值理论研究的核心和重点。
本文在对角多元GARCH(DCC-MVGARCH)模型套期保值研究的基础上考虑了残差项服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型对估计最优套期保值比率的影响。并对残差服从正态分布和Laplace分布这两种不同分布下的DCC-MVGARCH模型的套期保值绩效进行相应的比较。
一、模型及方法
（一）最小方差套期保值率
最小方差套期保值比率是由最小化期货与现货套期保值组合的收益率方差所得到的套期保值比率。具体推导如下：
首先构造一组期货和现货的投资组合h，其组合的收益率为：
rh=rc-hrf (1)
其中，rh为期货与现货套期保值组合的收益率，rc为现货价格的收益率，h为最小方差套期保值比率，rf为期货价格的收益率。
式(1)说明，由于套期保值者在期货市场与现货市场持有头寸的方向相反，期货与现货套期保值组合的收益率rh就是套期保值者所持有的现货收益率rc与期货收益率hrf之差。
对式(1)两边取方差，得到期货与现货价收益率组合的方差
σ2h=σ2c+h2σ2f-2hCoν(rc,rf)(2)
当式(2)对h的二阶导数为正，令h的一阶导数为0，就得到式(2)的最小值，即期货与现货套期保值组合的收益率方差的最小值。对式(2)求关于h取一阶导数，得
■=2hσ2f-2Coν(rc,rf) (3)
对式(2)求关于 h取二阶导数，得
■=2σ2f(4)
由于式(4)右侧恒大于0，所以当式(3)为0时，可以求得期货与现货套期保值组合收益率方差的最小值。令式(3)等于0，有
0=2hσ2f-2Coν(rc,rf)(5)
整理，得
h=■=ρ■ (6)
式(6)就是最小方差套期保值的公式。其中：h为最小方差套期保值比率，ρ为期货价格收益率与现货价格收益率之间的相关系数，σs为现货价格收益率的标准差，而σf为期货价格收益率的标准差，其他符号意义同上。
从方程(6)中可以看出，确定最小方差套期保值比率的关键一是对期货价格收益率与现货价格收益率之间的相关系数ρ或协方差的估计，二是现货价格收益率的标准差σs和期货价格收益率的标准差σf的估计。
（二）多元Laplace分布的定义
设有一随机向量Y=(Y1,Y2…Yn)T的密度函数满足下列表达式：
其中q(y)=(y-μ）T■-1（y-μ），E(Y)=μ,■∈R×n，是N阶矩阵，Km(χ)是修正了的第二种Bessel函数，其中阶数是m，
那么则称向量Y服从n维Laplace分布，即
Y:NL（μ，Σ）
当n=2时， ，那么向量Y服从2维Laplace分布，即。
（三）Laplace分布的DCC-MVGARCH(1,1)模型族的最小方差套期保值率计算模型
因为大量的实证研究证明二维GARCH(1,1)模型足以刻画金融时间序列的二阶矩波动且比更高阶模型在刻画二阶矩的波动效果好，而且套期保值率计算和估计只考虑期货价格和现货价格这两个时间序列，因此在本文中选择二维GARCH(1,1)模型简称BGARCH(1,1)。
DCC(1,1)-BGARCH(1,1)-L模型的定义如下：
其中
其参数集合θ=цc,цf,γcc,αcc,αff,βcc,βff可以通过最大化下列似然函数得到：
其中T为观察值的总个数。因此最小方差套期保值率的估计值可以用协方差和方差的估计值表示：
二、实证分析
（一）数据及检验
本文选用上海期货交易所的铜期货合约品种进行实证研究。铜期货价格数据来自国泰君安数据库，考虑到数据的连续性及可获得性，使用的是相应品种的期货合约的日收盘价，现货数据则来自于上海金属网（http://www.shmet.com）,使用的是相应品种的日均价及日最高价和日最低价的平均值。样本数据的时间长度为2009年6月1日到2011年6月20日，在出去双休日不交易的以及期货价格和现货价格不匹配的数据后，共得到铜期货价格和现货价格数据共计498个。
运用DCC-MVGARCH模型对铜期货最优套期保值率做实证研究用到的是对数收益率。表1是铜期货和现货价格收益率的统计特征。
表1 铜期货和现货收益率的统计特征
由表1我们可以得出以下结论：
(1)样本对数收益率序列不服从正态分布，首先J-B统计量服从自由度为2的χ2，表中的J-B统计量的值分别为84.10271和38.00006，都大于临界值5.992，因此拒绝收益率序列服从正态分布的假设；其次通过观测期货与现货收益率序列的峰度和偏度的值都分别大于3和0，可得出收益率序列存在弱左偏性和尖峰厚尾的特点。
(2)期货和现货样本收益率的D.W.统计量的值都接近2，表明收益率不存在自相关性。
(3)Q(22)的值明显大于0，所以期货与现货序列存在异方差性。
综上可得，铜期货和现货价格收益率存在尖峰厚尾、弱偏性、无自相关、异方差性。因此本文中引入Laplace分布是十分有必要的，可以跟好地拟合现实中的数据。
（二）实证结果
根据上面的数据检验结果，我们分别对现货价格和期货价格收益率序列建立残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型和残差服从正态分布的DCC-MVGARCH模型。本文以下实证将采用上述两种模型来估计铜期货的动态套期保值率。这两种不同分布的动态保值率的统计特征如下：
表2 动态套期保值率统计特征表
从表2我们看出这两种分布下的DCC-MVGARCH模型的求的套期保值率是不相同的，殘差服从正态分布的DCC-MVGARCH模型的动态套期保值率的均值小于Laplace分布的模型，但标准差又高于于Laplace分布的模型。
接着我们利用Ederington1979年提出方法来对这两种不同分布的DCC-MVGARCH模型的套期保值绩效进行比较。该方法利用对现货资产进行套期保值后方差减小的比率来衡量套期保值的效果，及通过以下公式来比较：
其中，ut表示的是未进行套期保值的现货头寸，ht表示的是使用最优套期保值比率进行套保后的投资组合，Var(rut)为投资组合未经过套期保值的收益方差。公式(7)表示套期保值对现货价格波动减少的比率。其越接近1，套期保值效果就越好。据套期保值绩效的公式(7)我们知道，要计算套期保值绩效首先要知道期货收益率和现货收益率的协方差，以及它们分别的方差。因此我们就可以得到动态最优套期保值比率进行套期保值后的收益率均值、标准差以及套期保值绩效，并对他们进行比较分析
表3 套期保值收益率均值、标准差及套期保值绩效表
从表3我们可以看出，无论使用哪个分布的DCC-MVGARCH模型估計出来的最优套期保值率进行套期保值，套保后的收益率的标准差都显著变小，虽然收益率降低，但有效地回避了价格风险。
观察上表的套期保值绩效值我们还可以发现，残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型的套期保值效果都好于残差服从正态分布的模型。
三、结论
本文选择DCC-MVGARCH模型估计铜期货的动态套期保值率，并在此模型的基础上进行改进，将原来服从正态分布的残差改为服从Laplace分布，并将这两种不同分布的DCC-MVGARCH模型估计的动态套期保值比率进行了比较。并对它们的套期保值效果进行了比较，可以得出以下及格结论：
(1)使用DCC-MVGARCH模型估计套期保值比率，得到的时变套期保值率的套期保值效率比较好，可以减少铜期货的价格风险。
(2)残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型估计的套期保值率均值高于服从正态分布的DCC-MVGARCH模型估计的时变套期保值率，其套期保值效果好于正态分布的DCC-MVGARCH模型。
(3)铜期货价格波动越大，按照多元DCC-MVGARCH模型估计得出的时变套期保值比率进行风险对冲时，效果更加明显，能够更大的降低铜现货的价格风险。
运用的DCC-MVGARCH模型特别是残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型估计出的时变套期保值比率，可以有效的减少铜的价格风险。因此在运用该模型时，可以根据该模型估计出的动态套期保值比率，结合实际情况，买入相应头寸的期货资产，从而达到降低经营风险，使企业平稳经营的目的。
参考文献
[1]樊智,张世英.多元GARCH建模及其在中国股市分析中的应用[J].管理科学学报,2003,(4):68-73.
[2]华仁海,陈百助.上海期货交易所铜、铝套期保值问题研究[J].中国金融学.2004(5):169－183.
[3]王骏,张宗成.中国期货市场套期保值绩效实证研究[J].证券市场导报.2005(11).
[4]梁朝晖.期货套期保值理论及模型的研究进展[J].西安电子科技大学学报(社会科学版).2007,17(3):53~56.
[5]彭红枫,叶永刚.中国铜期货最优套期保值比率估计及其比较研究[J].武汉大学学报,2007,11(2):80-86.
[6]李文君，尹康.多元GARCH模型研究述评[J].数量经济技术经济研究.2009(10).
[7]徐诚玮,王军.动态套保策略优于静态套保策略吗?——来自中国棉花期货的证据[J].金融市场, 2010(5):36~39.
[8]Engle,R.Dynamic Conditional Correlation:A Simple Class ofMultivariate Generalised Autoregressive Conditional Heteroskedas-
ticity Models[J].Journal of Business and Economic Statistics,2002,20.
[9]Johnson,L.L.The Theory of Hedging and Speculation in Com-modity Futures[J].Review of Economic Studies,1960,27.
[10]Ederington,L.H.The Hedging Performance of the New Futures Markets[J].Journal of Finance,1979,34.
[11]Junkus,J.C.,&Lee,C.F.Use of Three Index Futures inHedging decisions[J].Journal of Futures Markets,1985,5.
[12]Myers,R.J.,& Thompson, S.R.Generalized Optimal Hedge RatioEstimation[J].American Journal of Agricultural Economics,1989,71(4).
[13]Baillie,R.T.,&R.Myers.Bivariate GARCH Estimation of The Optimal Commodity Futures Hedge[J].Journal of Applied E-conom
etrics,1991,(6).
[14]Kroner,K.F.,&Sultan,J.Time-varying Distributions and Dynamic Hedging with Foreign Currency Futures[J].Journal of Financial and Quantitative Analysis,1993,(28).
[15]Lien,D.H.D.,&X.Luo.Multi-period Hedging in the Presencef Conditional Heteroscedasticity [J].The Journal of Futures Mar-kets,1994,(8).
[16]Park,T.H.,&L.N. Switzer.Bivariante GARCH Estimation of TheOptimal Hedge Ratios For Stock Index Futures: A Note[J].Jour-nal of Futures Markets,1995,(15).
[17]Donald Lien Yiu Kuen Tse and Albert Tsui. Evaluating Hedging Performance of the Constant-Correlation GARCH Model[J].Applied Financial Economics,2002,(12).
作者简介：刘兰燕（1985-），女，汉族，江西景德镇人，毕业于浙江财经学院金融学院，研究方:金融学；吴琼兰（1987-），女，汉族，浙江嘉善人，毕业于浙江财经学院金融学院，研究方向：金融工程。
【关键词】最小方差套期保值 DCC-MVGARCH模型 多元Laplace分布
在市场化、全球化条件下，企业生产经营活动面对各种外部不确定因素的影响，其中很多因素都会通过市场价格波动风险来体现，本世纪以来国际市场大宗商品价格持续暴涨和2008年全球金融危机引爆的价格全面暴跌，但我国很多企业由于缺乏套期保值的理念而为此付出了沉重代价。为了对生产和贸易活动中涉及的商品或资产头寸进行保值，企业会买卖一定比例的期货合约。不同比例的期货合约会有不同的套期保值效果，因为现货价格和期货价格波动幅度并不完全相同。因此确定最优套期保值比率使得经过套期保值的资产组合所面临的风险最小成为了企业在套期保值操作过程中极其重要的问题，对企业稳定经营具有重要意义，同时最优套期保值比率的确定也是套期保值理论研究的核心和重点。
本文在对角多元GARCH(DCC-MVGARCH)模型套期保值研究的基础上考虑了残差项服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型对估计最优套期保值比率的影响。并对残差服从正态分布和Laplace分布这两种不同分布下的DCC-MVGARCH模型的套期保值绩效进行相应的比较。
一、模型及方法
（一）最小方差套期保值率
最小方差套期保值比率是由最小化期货与现货套期保值组合的收益率方差所得到的套期保值比率。具体推导如下：
首先构造一组期货和现货的投资组合h，其组合的收益率为：
rh=rc-hrf (1)
其中，rh为期货与现货套期保值组合的收益率，rc为现货价格的收益率，h为最小方差套期保值比率，rf为期货价格的收益率。
式(1)说明，由于套期保值者在期货市场与现货市场持有头寸的方向相反，期货与现货套期保值组合的收益率rh就是套期保值者所持有的现货收益率rc与期货收益率hrf之差。
对式(1)两边取方差，得到期货与现货价收益率组合的方差
σ2h=σ2c+h2σ2f-2hCoν(rc,rf)(2)
当式(2)对h的二阶导数为正，令h的一阶导数为0，就得到式(2)的最小值，即期货与现货套期保值组合的收益率方差的最小值。对式(2)求关于h取一阶导数，得
■=2hσ2f-2Coν(rc,rf) (3)
对式(2)求关于 h取二阶导数，得
■=2σ2f(4)
由于式(4)右侧恒大于0，所以当式(3)为0时，可以求得期货与现货套期保值组合收益率方差的最小值。令式(3)等于0，有
0=2hσ2f-2Coν(rc,rf)(5)
整理，得
h=■=ρ■ (6)
式(6)就是最小方差套期保值的公式。其中：h为最小方差套期保值比率，ρ为期货价格收益率与现货价格收益率之间的相关系数，σs为现货价格收益率的标准差，而σf为期货价格收益率的标准差，其他符号意义同上。
从方程(6)中可以看出，确定最小方差套期保值比率的关键一是对期货价格收益率与现货价格收益率之间的相关系数ρ或协方差的估计，二是现货价格收益率的标准差σs和期货价格收益率的标准差σf的估计。
（二）多元Laplace分布的定义
设有一随机向量Y=(Y1,Y2…Yn)T的密度函数满足下列表达式：
其中q(y)=(y-μ）T■-1（y-μ），E(Y)=μ,■∈R×n，是N阶矩阵，Km(χ)是修正了的第二种Bessel函数，其中阶数是m，
那么则称向量Y服从n维Laplace分布，即
Y:NL（μ，Σ）
当n=2时， ，那么向量Y服从2维Laplace分布，即。
（三）Laplace分布的DCC-MVGARCH(1,1)模型族的最小方差套期保值率计算模型
因为大量的实证研究证明二维GARCH(1,1)模型足以刻画金融时间序列的二阶矩波动且比更高阶模型在刻画二阶矩的波动效果好，而且套期保值率计算和估计只考虑期货价格和现货价格这两个时间序列，因此在本文中选择二维GARCH(1,1)模型简称BGARCH(1,1)。
DCC(1,1)-BGARCH(1,1)-L模型的定义如下：
其中
其参数集合θ=цc,цf,γcc,αcc,αff,βcc,βff可以通过最大化下列似然函数得到：
其中T为观察值的总个数。因此最小方差套期保值率的估计值可以用协方差和方差的估计值表示：
二、实证分析
（一）数据及检验
本文选用上海期货交易所的铜期货合约品种进行实证研究。铜期货价格数据来自国泰君安数据库，考虑到数据的连续性及可获得性，使用的是相应品种的期货合约的日收盘价，现货数据则来自于上海金属网（http://www.shmet.com）,使用的是相应品种的日均价及日最高价和日最低价的平均值。样本数据的时间长度为2009年6月1日到2011年6月20日，在出去双休日不交易的以及期货价格和现货价格不匹配的数据后，共得到铜期货价格和现货价格数据共计498个。
运用DCC-MVGARCH模型对铜期货最优套期保值率做实证研究用到的是对数收益率。表1是铜期货和现货价格收益率的统计特征。
表1 铜期货和现货收益率的统计特征
由表1我们可以得出以下结论：
(1)样本对数收益率序列不服从正态分布，首先J-B统计量服从自由度为2的χ2，表中的J-B统计量的值分别为84.10271和38.00006，都大于临界值5.992，因此拒绝收益率序列服从正态分布的假设；其次通过观测期货与现货收益率序列的峰度和偏度的值都分别大于3和0，可得出收益率序列存在弱左偏性和尖峰厚尾的特点。
(2)期货和现货样本收益率的D.W.统计量的值都接近2，表明收益率不存在自相关性。
(3)Q(22)的值明显大于0，所以期货与现货序列存在异方差性。
综上可得，铜期货和现货价格收益率存在尖峰厚尾、弱偏性、无自相关、异方差性。因此本文中引入Laplace分布是十分有必要的，可以跟好地拟合现实中的数据。
（二）实证结果
根据上面的数据检验结果，我们分别对现货价格和期货价格收益率序列建立残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型和残差服从正态分布的DCC-MVGARCH模型。本文以下实证将采用上述两种模型来估计铜期货的动态套期保值率。这两种不同分布的动态保值率的统计特征如下：
表2 动态套期保值率统计特征表
从表2我们看出这两种分布下的DCC-MVGARCH模型的求的套期保值率是不相同的，殘差服从正态分布的DCC-MVGARCH模型的动态套期保值率的均值小于Laplace分布的模型，但标准差又高于于Laplace分布的模型。
接着我们利用Ederington1979年提出方法来对这两种不同分布的DCC-MVGARCH模型的套期保值绩效进行比较。该方法利用对现货资产进行套期保值后方差减小的比率来衡量套期保值的效果，及通过以下公式来比较：
其中，ut表示的是未进行套期保值的现货头寸，ht表示的是使用最优套期保值比率进行套保后的投资组合，Var(rut)为投资组合未经过套期保值的收益方差。公式(7)表示套期保值对现货价格波动减少的比率。其越接近1，套期保值效果就越好。据套期保值绩效的公式(7)我们知道，要计算套期保值绩效首先要知道期货收益率和现货收益率的协方差，以及它们分别的方差。因此我们就可以得到动态最优套期保值比率进行套期保值后的收益率均值、标准差以及套期保值绩效，并对他们进行比较分析
表3 套期保值收益率均值、标准差及套期保值绩效表
从表3我们可以看出，无论使用哪个分布的DCC-MVGARCH模型估計出来的最优套期保值率进行套期保值，套保后的收益率的标准差都显著变小，虽然收益率降低，但有效地回避了价格风险。
观察上表的套期保值绩效值我们还可以发现，残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型的套期保值效果都好于残差服从正态分布的模型。
三、结论
本文选择DCC-MVGARCH模型估计铜期货的动态套期保值率，并在此模型的基础上进行改进，将原来服从正态分布的残差改为服从Laplace分布，并将这两种不同分布的DCC-MVGARCH模型估计的动态套期保值比率进行了比较。并对它们的套期保值效果进行了比较，可以得出以下及格结论：
(1)使用DCC-MVGARCH模型估计套期保值比率，得到的时变套期保值率的套期保值效率比较好，可以减少铜期货的价格风险。
(2)残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型估计的套期保值率均值高于服从正态分布的DCC-MVGARCH模型估计的时变套期保值率，其套期保值效果好于正态分布的DCC-MVGARCH模型。
(3)铜期货价格波动越大，按照多元DCC-MVGARCH模型估计得出的时变套期保值比率进行风险对冲时，效果更加明显，能够更大的降低铜现货的价格风险。
运用的DCC-MVGARCH模型特别是残差服从Laplace分布的DCC-MVGARCH模型估计出的时变套期保值比率，可以有效的减少铜的价格风险。因此在运用该模型时，可以根据该模型估计出的动态套期保值比率，结合实际情况，买入相应头寸的期货资产，从而达到降低经营风险，使企业平稳经营的目的。
参考文献
[1]樊智,张世英.多元GARCH建模及其在中国股市分析中的应用[J].管理科学学报,2003,(4):68-73.
[2]华仁海,陈百助.上海期货交易所铜、铝套期保值问题研究[J].中国金融学.2004(5):169－183.
[3]王骏,张宗成.中国期货市场套期保值绩效实证研究[J].证券市场导报.2005(11).
[4]梁朝晖.期货套期保值理论及模型的研究进展[J].西安电子科技大学学报(社会科学版).2007,17(3):53~56.
[5]彭红枫,叶永刚.中国铜期货最优套期保值比率估计及其比较研究[J].武汉大学学报,2007,11(2):80-86.
[6]李文君，尹康.多元GARCH模型研究述评[J].数量经济技术经济研究.2009(10).
[7]徐诚玮,王军.动态套保策略优于静态套保策略吗?——来自中国棉花期货的证据[J].金融市场, 2010(5):36~39.
[8]Engle,R.Dynamic Conditional Correlation:A Simple Class ofMultivariate Generalised Autoregressive Conditional Heteroskedas-
ticity Models[J].Journal of Business and Economic Statistics,2002,20.
[9]Johnson,L.L.The Theory of Hedging and Speculation in Com-modity Futures[J].Review of Economic Studies,1960,27.
[10]Ederington,L.H.The Hedging Performance of the New Futures Markets[J].Journal of Finance,1979,34.
[11]Junkus,J.C.,&Lee,C.F.Use of Three Index Futures inHedging decisions[J].Journal of Futures Markets,1985,5.
[12]Myers,R.J.,& Thompson, S.R.Generalized Optimal Hedge RatioEstimation[J].American Journal of Agricultural Economics,1989,71(4).
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[15]Lien,D.H.D.,&X.Luo.Multi-period Hedging in the Presencef Conditional Heteroscedasticity [J].The Journal of Futures Mar-kets,1994,(8).
[16]Park,T.H.,&L.N. Switzer.Bivariante GARCH Estimation of TheOptimal Hedge Ratios For Stock Index Futures: A Note[J].Jour-nal of Futures Markets,1995,(15).
[17]Donald Lien Yiu Kuen Tse and Albert Tsui. Evaluating Hedging Performance of the Constant-Correlation GARCH Model[J].Applied Financial Economics,2002,(12).
作者简介：刘兰燕（1985-），女，汉族，江西景德镇人，毕业于浙江财经学院金融学院，研究方:金融学；吴琼兰（1987-），女，汉族，浙江嘉善人，毕业于浙江财经学院金融学院，研究方向：金融工程。