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【摘要】发展数学核心素养是数学教学研究的热点问题.“数学活动”是运用数学知识解决实际问题、发展数学核心素养的一种有效途径.本文以“数学活动——测量建筑物的高度”为例进行教学分析，提出利用估算结合操作、重视思维起点和丰富解决问题策略等途径发展学生的抽象、直观和建模等数学核心素养策略.
【关键词】“数学活动”;数学核心素养;测量
普通高中数学课程标准（2017年版）提出了数学核心素养的6个要素：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.在这样的背景下，由于“数学活动”具有独特的内容设计和活动形式，其可以有效发展学生的数学核心素养.本文以苏科版教材“数学活动——测量建筑物的高度”为例进行分析.
一、教学过程回顾
第一阶段：课前了解古人测高的智慧，估测学校教学楼的高度
学习任务：
1.上网学习，了解古人测高的方法.
2.估测学校教学楼的高度，记录估测数据并求出平均值.你发现了什么问题？你还能提出什么问题？
3.教师参与组内讨论，研究解决测量教学楼高度的方法，确定测高的数学模型，准备相关的测量工具，合作自制“简易测角仪”.
【设计意图】教师以了解古人测高的方法创设一个适合活动的情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.教师从学生目测估计开始，逐步引导学生为提高估测精确度而主动联系已知的数学知识，从理论上掌握测量的模型和方法，为实际测量奠定基础.
第二阶段：实地测量
1.学生分组，用不同的方法测量教学楼南楼和北楼的高度.测量时要相互配合，合理分工，至少测量三次，及时准确记录数据，并记录测量过程中遇到的问题和困难.
（1）平行投影法：选择晴天进行测量，主要测量楼的影长、标杆及其影长，并计算楼高.
（2）盲区法：测量观测者与楼之间的距离、遮挡杆及测量者手臂长，并计算楼高.
（3）镜面反射法：测量观测者的眼睛离地面的距离及其与镜子之间的距离、镜子与楼房之间的距离，并计算楼高.
（4）测角法：测量观测者的眼睛离地面的距离、观测楼房顶部的仰角、观测者与楼房之间的距离，并计算楼高.
2.学生在操场上测量围墙外的医院大楼高度.
先测量观测楼房顶部时的仰角，前进一段距离再次测量仰角，再利用三角函数的相关知识进行计算.
【设计意图】这样可以吸引学生积极投入实地测量活动，将枯燥的数学思考变得生动活泼，提高小组合作能力的同时使学生积累丰富的活动经验.任务难度逐渐提升，学生思维被引入更深处，其数学核心素养在实践操作中得以提升.
3.计算分析，总结反思.
根据记录的数据进行计算分析，求出平均高度，小组内讨论，完成活動成果报告.
【设计意图】测量报告提高了学生的统计与计算能力.经验和能力在反思中落地生根.
第三阶段：成果汇报
学生对比各组数据，进行思考，谈谈在本次活动中遇到的问题及困难，获得了哪些经验，有了哪些成长.
第一组：我们所选用的平行投影法必须在晴天进行测量，受天气影响，并且楼房有屋檐，因此影子不规则，这给测量带来一定难度.通过这次活动，我们切身体会到数学与生活的联系——实践是检验真理的唯一标准.
第二组：我们采用的是盲区法.测量时我们先后换了3次遮挡楼房的木棒.当木棒太短时，视线要完全遮挡住楼房需要站很远的距离，不方便测量;当木棒太长时，不方便观测.因此，木棒长度要适中.在活动中，我们感受到团队合作的重要性.
第三组：我们使用的是镜面反射法.测量的最大难点是距离的把握.镜子小，人站远了什么都看不到，需要不断调整距离才能看到楼顶.通过活动，我们积累了许多测量的经验.如果再做这样的测量，那么我们一定会更加得心应手.
第四组：我们采用的测角法需要运用到三角函数的相关知识，制作工具较为困难，而且利用量角器制作的测角工具很难观察刻度，测量出的仰角误差较大，导致最终计算出的楼高误差大.在这次活动中，从制作工具到具体测量，我们组内都进行了多次讨论，这样才保证了活动的顺利开展.面对问题，我们应该多深刻思考，只有这样，才能有创新的火花.
【设计意图】成果汇报让评价方式更加多元化.从自评到互评，再到教师评价，丰富的评价方式代替了传统的测试考查，更容易激发学生的学习兴趣，使学生更愿意主动、积极地参与数学活动，从而为后续进一步发展学生的能力与素养创造良好的学习氛围.
二、剖析素养发展
（一）情感注入，促进数学核心素养发展
积极的情感注入是完成学习任务的基础和保障.不少学困生正是由于长期缺失数学学习的热情，才逐渐失去学习数学的兴趣.实践证明，许多学困生对“数学活动”表现出异常的兴趣与热情，主要原因是数学活动课与一般数学课不一样，这种课更好“玩”，还能走出课堂，所有人都参与其中，同学间、师生间积极主动的交流更频繁，而且完成任务有成就感，很多细节久久记忆犹新.这得益于数学活动课特有的学习任务和组织形式，其能充分调动学生的积极性，如上述“测高”数学活动中，无论是交流、操作、反思，学生都亲身参与，乐在其中.积极的情感投入保证了学生的深度参与以及对测高方法的深度思考，深度学习得以落实.“数学活动”教学是对常规数学教学的补充和拓展.长期训练能让更多学生在内心深处建立对数学学习的信心，也能保持对数学学习的热情，这是促进学生数学核心素养提升的重要保障.
（二）估算结合操作，培养数学抽象素养
“数学活动”教学更关注过程，因此教师可以设计更加合理的抽象活动，并给予学生充分的动手操作与思考的空间与时间，让学生亲身经历数学抽象的全过程，并在活动过程中积累抽象的活动经验与方法.例如，利用测高活动培养与发展学生的估算能力.首先，从目测估计教学楼的高度开始，这是估测楼高最直接也最粗糙的方法，结果误差较大.教师可提出问题：如何让估测结果更加准确，并引导学生借助各种不同测量工具并数学模型进行精细化估测.学生小组利用平行投影法、镜面反射法、盲区法、测角法进行测量并计算，可使测量后的结果精度有效提高，但仍存在一定误差.学生对比不同方法的估测结果与实际楼高，可以发现不同方法误差的大小，并寻找原因，思考改进措施，进一步提高估测的精确度.在反思、总结的过程中，学生能发现影响测量结果的诸多问题，如地面不平、卷尺受风影响拉不直、楼房的影子是一个面而不是一条线、测角时观察者看不到量角器上的度数等，并针对这些问题共同商讨解决方案.反思、总结后所形成的经验才是真实的活动经验. 估算与抽象总是联系在一起，因此要想发展学生数学抽象素养，就必须要求教师能设计出更多的与抽象活动有关的实际情境，并让所有学生亲身参与其中.
（三）重视思维起点，发展数学直观素养
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.它是发现和解决问题的重要方法，也是建构抽象结构的思维起点.估测建筑物高度的活动，不仅研究数量之间的关系，而且是数形结合的载体.因此，估测的思维起点就是借助相关几何模型，利用勾股定理、相似三角形、三角函数等方法求值.在活动的初始阶段，教师可引导学生将建筑物抽象为一条线段，将测高问题转化为求线段长度的问题.学生联系相关数学模型就能画出对应的直角三角形或相似三角形，这是解决问题的第二步.在直观的图形中，学生能清楚分析需要测量的线段长度或角度，并利用对应方法进行计算.画出图形就联结了现实世界与数学问题的联系，也联结了未知与已知之间的联系.画出直角三角形的学生会思考需要测量哪些边或角，该如何测量，也就是具体的操作方式是什么;画出相似三角形的学生会思考如何摆放2个三角形位置，并进一步思考如何将其转化为实际操作.如果平时教师能指导学生多做这样的思考和实践，将形象思维与逻辑思维相融合，就能使学生的画图能力在得到提升的同时，数学直观素养得以发展.
（四）丰富解决问题策略，强化数学建模素养
数学课程标准指出，让学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的活动过程.教师要根据这样的要求有意识地培养学生数学建模的能力.学生从测高情境中抽象出的数学问题可能不够简练甚至并不准确，但可以通过合作交流、教师点拨得以规范和矫正.之后，组内讨论、分析解决问题的方法，既然目测估算误差大，就要寻找更优化的方案，从而主动联系所有已知的与测高有关的数学知识，也就是自主构建模型.通过活动，学生能主动建立下列测高模型：平行投影法、镜面反射法、盲区法、测角法，具体模型如图1.
得到的测高模型如何才能内化为学生的能力与素养？以后碰到类似的问题怎么办？因此，活动必须再经历一次讨论优化模型的过程.经过实践后再反思，学生发现平行投影法精确度最高且比较容易操作，实用性强，但易受天气影响;镜面反射法操作较为困难，很难调整镜子的位置，误差也较大，但不受天气影响;盲区法准备的木棒要长短适中，如果利用铅笔等较短的工具，就需要站在很远的位置才能遮蔽建筑物，这增加了测量距离的难度;测角法准备测量工具较为困难，观察角度误差也较大.至此，学生构建的测高模型系统基本形成，但仍不够完整，还需要通过解决更高难度的任务加以完善.教师继续提出问题：在操场上如何估测围墙外的医院大楼高度？当增加了围墙作为障碍物之后，现有模型均不能适用，学生会借助无障碍物时的测高经 图2验，继续联系其他相关的几何图形.此处的难点是围墙到医院大楼的距离无法测量，但人到围墙之间的距离可以测量，因此学生会自然联系到锐角三角函数中的“双直角模型”（如图2），这是测角法模型的拓展.学生完成一系列具有挑战性的任务之后，测高模型也逐步得以完善.在这样的深度学习活动过程中，学生能自然地建构、完善测高模型系统，其建模思想也能真正内化为自身素养.
数学建模的意识和能力要达到较高层次必然经过一个长期训练的过程.从测量距离到测量两地间的距离再到测量高度等“数学活动”都是培养学生的建模素养.教师只有重视建模的活动过程，才能使学生逐步积累数学建模的经验和方法，并形成应用数学模型解决现实问题的思维意识和习惯.
三、结束语
利用“数学活动”发展学生的数学核心素养，其并非孤立的单项训练，而是一个多种能力紧密结合、共同发展、循序渐进的过程.因此，教师在设计相关“数学活动”时，要以发展学生某一种或几种素养为主要目标，并辅以培养其他相关素养为次要目标.例如，在上述测高活动中，是以培养学生的数学抽象、数学直观、数学建模等素养为主要目标的，同时辅以发展学生逻辑推理、数学运算以及数据分析等素养.总之，正常开展“数学活动”是发展学生数学核心素养的一种有效途径，值得广大教师进一步探索.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版） [M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学（九年级下册）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2018.
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标準（2011年版） [M].北京：北京师范大学出版社，2012.
【关键词】“数学活动”;数学核心素养;测量
普通高中数学课程标准（2017年版）提出了数学核心素养的6个要素：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析.在这样的背景下，由于“数学活动”具有独特的内容设计和活动形式，其可以有效发展学生的数学核心素养.本文以苏科版教材“数学活动——测量建筑物的高度”为例进行分析.
一、教学过程回顾
第一阶段：课前了解古人测高的智慧，估测学校教学楼的高度
学习任务：
1.上网学习，了解古人测高的方法.
2.估测学校教学楼的高度，记录估测数据并求出平均值.你发现了什么问题？你还能提出什么问题？
3.教师参与组内讨论，研究解决测量教学楼高度的方法，确定测高的数学模型，准备相关的测量工具，合作自制“简易测角仪”.
【设计意图】教师以了解古人测高的方法创设一个适合活动的情境，激发学生学习兴趣和探究欲望.教师从学生目测估计开始，逐步引导学生为提高估测精确度而主动联系已知的数学知识，从理论上掌握测量的模型和方法，为实际测量奠定基础.
第二阶段：实地测量
1.学生分组，用不同的方法测量教学楼南楼和北楼的高度.测量时要相互配合，合理分工，至少测量三次，及时准确记录数据，并记录测量过程中遇到的问题和困难.
（1）平行投影法：选择晴天进行测量，主要测量楼的影长、标杆及其影长，并计算楼高.
（2）盲区法：测量观测者与楼之间的距离、遮挡杆及测量者手臂长，并计算楼高.
（3）镜面反射法：测量观测者的眼睛离地面的距离及其与镜子之间的距离、镜子与楼房之间的距离，并计算楼高.
（4）测角法：测量观测者的眼睛离地面的距离、观测楼房顶部的仰角、观测者与楼房之间的距离，并计算楼高.
2.学生在操场上测量围墙外的医院大楼高度.
先测量观测楼房顶部时的仰角，前进一段距离再次测量仰角，再利用三角函数的相关知识进行计算.
【设计意图】这样可以吸引学生积极投入实地测量活动，将枯燥的数学思考变得生动活泼，提高小组合作能力的同时使学生积累丰富的活动经验.任务难度逐渐提升，学生思维被引入更深处，其数学核心素养在实践操作中得以提升.
3.计算分析，总结反思.
根据记录的数据进行计算分析，求出平均高度，小组内讨论，完成活動成果报告.
【设计意图】测量报告提高了学生的统计与计算能力.经验和能力在反思中落地生根.
第三阶段：成果汇报
学生对比各组数据，进行思考，谈谈在本次活动中遇到的问题及困难，获得了哪些经验，有了哪些成长.
第一组：我们所选用的平行投影法必须在晴天进行测量，受天气影响，并且楼房有屋檐，因此影子不规则，这给测量带来一定难度.通过这次活动，我们切身体会到数学与生活的联系——实践是检验真理的唯一标准.
第二组：我们采用的是盲区法.测量时我们先后换了3次遮挡楼房的木棒.当木棒太短时，视线要完全遮挡住楼房需要站很远的距离，不方便测量;当木棒太长时，不方便观测.因此，木棒长度要适中.在活动中，我们感受到团队合作的重要性.
第三组：我们使用的是镜面反射法.测量的最大难点是距离的把握.镜子小，人站远了什么都看不到，需要不断调整距离才能看到楼顶.通过活动，我们积累了许多测量的经验.如果再做这样的测量，那么我们一定会更加得心应手.
第四组：我们采用的测角法需要运用到三角函数的相关知识，制作工具较为困难，而且利用量角器制作的测角工具很难观察刻度，测量出的仰角误差较大，导致最终计算出的楼高误差大.在这次活动中，从制作工具到具体测量，我们组内都进行了多次讨论，这样才保证了活动的顺利开展.面对问题，我们应该多深刻思考，只有这样，才能有创新的火花.
【设计意图】成果汇报让评价方式更加多元化.从自评到互评，再到教师评价，丰富的评价方式代替了传统的测试考查，更容易激发学生的学习兴趣，使学生更愿意主动、积极地参与数学活动，从而为后续进一步发展学生的能力与素养创造良好的学习氛围.
二、剖析素养发展
（一）情感注入，促进数学核心素养发展
积极的情感注入是完成学习任务的基础和保障.不少学困生正是由于长期缺失数学学习的热情，才逐渐失去学习数学的兴趣.实践证明，许多学困生对“数学活动”表现出异常的兴趣与热情，主要原因是数学活动课与一般数学课不一样，这种课更好“玩”，还能走出课堂，所有人都参与其中，同学间、师生间积极主动的交流更频繁，而且完成任务有成就感，很多细节久久记忆犹新.这得益于数学活动课特有的学习任务和组织形式，其能充分调动学生的积极性，如上述“测高”数学活动中，无论是交流、操作、反思，学生都亲身参与，乐在其中.积极的情感投入保证了学生的深度参与以及对测高方法的深度思考，深度学习得以落实.“数学活动”教学是对常规数学教学的补充和拓展.长期训练能让更多学生在内心深处建立对数学学习的信心，也能保持对数学学习的热情，这是促进学生数学核心素养提升的重要保障.
（二）估算结合操作，培养数学抽象素养
“数学活动”教学更关注过程，因此教师可以设计更加合理的抽象活动，并给予学生充分的动手操作与思考的空间与时间，让学生亲身经历数学抽象的全过程，并在活动过程中积累抽象的活动经验与方法.例如，利用测高活动培养与发展学生的估算能力.首先，从目测估计教学楼的高度开始，这是估测楼高最直接也最粗糙的方法，结果误差较大.教师可提出问题：如何让估测结果更加准确，并引导学生借助各种不同测量工具并数学模型进行精细化估测.学生小组利用平行投影法、镜面反射法、盲区法、测角法进行测量并计算，可使测量后的结果精度有效提高，但仍存在一定误差.学生对比不同方法的估测结果与实际楼高，可以发现不同方法误差的大小，并寻找原因，思考改进措施，进一步提高估测的精确度.在反思、总结的过程中，学生能发现影响测量结果的诸多问题，如地面不平、卷尺受风影响拉不直、楼房的影子是一个面而不是一条线、测角时观察者看不到量角器上的度数等，并针对这些问题共同商讨解决方案.反思、总结后所形成的经验才是真实的活动经验. 估算与抽象总是联系在一起，因此要想发展学生数学抽象素养，就必须要求教师能设计出更多的与抽象活动有关的实际情境，并让所有学生亲身参与其中.
（三）重视思维起点，发展数学直观素养
直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态和变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.它是发现和解决问题的重要方法，也是建构抽象结构的思维起点.估测建筑物高度的活动，不仅研究数量之间的关系，而且是数形结合的载体.因此，估测的思维起点就是借助相关几何模型，利用勾股定理、相似三角形、三角函数等方法求值.在活动的初始阶段，教师可引导学生将建筑物抽象为一条线段，将测高问题转化为求线段长度的问题.学生联系相关数学模型就能画出对应的直角三角形或相似三角形，这是解决问题的第二步.在直观的图形中，学生能清楚分析需要测量的线段长度或角度，并利用对应方法进行计算.画出图形就联结了现实世界与数学问题的联系，也联结了未知与已知之间的联系.画出直角三角形的学生会思考需要测量哪些边或角，该如何测量，也就是具体的操作方式是什么;画出相似三角形的学生会思考如何摆放2个三角形位置，并进一步思考如何将其转化为实际操作.如果平时教师能指导学生多做这样的思考和实践，将形象思维与逻辑思维相融合，就能使学生的画图能力在得到提升的同时，数学直观素养得以发展.
（四）丰富解决问题策略，强化数学建模素养
数学课程标准指出，让学生经历“问题情境——建立模型——求解验证”的活动过程.教师要根据这样的要求有意识地培养学生数学建模的能力.学生从测高情境中抽象出的数学问题可能不够简练甚至并不准确，但可以通过合作交流、教师点拨得以规范和矫正.之后，组内讨论、分析解决问题的方法，既然目测估算误差大，就要寻找更优化的方案，从而主动联系所有已知的与测高有关的数学知识，也就是自主构建模型.通过活动，学生能主动建立下列测高模型：平行投影法、镜面反射法、盲区法、测角法，具体模型如图1.
得到的测高模型如何才能内化为学生的能力与素养？以后碰到类似的问题怎么办？因此，活动必须再经历一次讨论优化模型的过程.经过实践后再反思，学生发现平行投影法精确度最高且比较容易操作，实用性强，但易受天气影响;镜面反射法操作较为困难，很难调整镜子的位置，误差也较大，但不受天气影响;盲区法准备的木棒要长短适中，如果利用铅笔等较短的工具，就需要站在很远的位置才能遮蔽建筑物，这增加了测量距离的难度;测角法准备测量工具较为困难，观察角度误差也较大.至此，学生构建的测高模型系统基本形成，但仍不够完整，还需要通过解决更高难度的任务加以完善.教师继续提出问题：在操场上如何估测围墙外的医院大楼高度？当增加了围墙作为障碍物之后，现有模型均不能适用，学生会借助无障碍物时的测高经 图2验，继续联系其他相关的几何图形.此处的难点是围墙到医院大楼的距离无法测量，但人到围墙之间的距离可以测量，因此学生会自然联系到锐角三角函数中的“双直角模型”（如图2），这是测角法模型的拓展.学生完成一系列具有挑战性的任务之后，测高模型也逐步得以完善.在这样的深度学习活动过程中，学生能自然地建构、完善测高模型系统，其建模思想也能真正内化为自身素养.
数学建模的意识和能力要达到较高层次必然经过一个长期训练的过程.从测量距离到测量两地间的距离再到测量高度等“数学活动”都是培养学生的建模素养.教师只有重视建模的活动过程，才能使学生逐步积累数学建模的经验和方法，并形成应用数学模型解决现实问题的思维意识和习惯.
三、结束语
利用“数学活动”发展学生的数学核心素养，其并非孤立的单项训练，而是一个多种能力紧密结合、共同发展、循序渐进的过程.因此，教师在设计相关“数学活动”时，要以发展学生某一种或几种素养为主要目标，并辅以培养其他相关素养为次要目标.例如，在上述测高活动中，是以培养学生的数学抽象、数学直观、数学建模等素养为主要目标的，同时辅以发展学生逻辑推理、数学运算以及数据分析等素养.总之，正常开展“数学活动”是发展学生数学核心素养的一种有效途径，值得广大教师进一步探索.
【参考文献】
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版） [M].北京：人民教育出版社，2018.
[2]杨裕前，董林伟.义务教育教科书·数学（九年级下册）[M].南京：江苏凤凰科学技术出版社，2018.
[3]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标準（2011年版） [M].北京：北京师范大学出版社，2012.