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【摘 要】通过对矩阵的特征值和特征向量的研究,针对矩阵的特征值和特征向量的应用進行多方面的探讨,并给出了相关命题的证明及相应的例题.
【关键词】矩阵；特征值；特征向量
【中图分类号】:O151.21 【文献标识码】:A 【文章编号】:1009—9646(2008)06-0000-00
1特征值,特征向量等概念
设A为n阶矩阵.1）如果有数和n维非零列向量X使得AX=X,则成为矩阵A的特征值,称X为A的对应于特征值的特征向量.2）把作为未知量时,E－A称为矩阵A的特征矩阵,多项式()=|E－Ａ｜称为A的特征多项式.
注:矩阵A的特征多项式()的根就是A的全部特征值.特征值也称特征根.
性质1.1:矩阵A的属于不同的特征值的特征向量线性无关.
性质1.2:实对称矩阵的特征值都是实数.
性质1.3:实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
性质1.4:矩阵A的任何特征值的代数重数不小于其几何重数;即若是A的特征多项式()=|E－Ａ｜的重根,而齐次线性方程组(E－Ａ)X=0的解子空间维数是(即基础解系含个向量),则.
性质1.5:若A=(ij)nn的特征多项式
()=,则矩阵A的迹trA==－，Ａ的行列式|A|=.一般地有
==A的所有k阶主子式之和.
性质1.6:矩阵A可逆的充要条件是A的所有特征值非零.
性质1.7:若矩阵A的特征多项式()=,则对任一的多项式f(),矩阵f(A)的特征多项式为=(－f())...(-f()).又，当Ａ可逆时，（）＝（－）…(－)．
性质1.8:若矩阵A的特征值和对应的特征向量即A=,则对任一多项式f(x)有f(A)=f(),即也是矩阵f(A)的对应于特征值f()的特征向量.
2计算矩阵A的特征值和特征向量的一般步骤
(1) 计算A的特征多项式()=|E－Ａ｜
(2) 解特征方程()=0,求出所有的特征值.
(3) 对每个特征值解齐次线性方程组(E－Ａ)Ｘ＝０,得出A的属于特征值的特征向量
3 相似矩阵
设A,B是n阶矩阵,若存在可逆n阶矩阵P使得B=AP,就称A相似于B,记作
AB;称P为相似变换矩阵.
设矩阵AB,则
性质2.1:rank A=rankB
性质2.2:A与B有相同的特征多项式()=();从而它们有相同的特征值,有相同的迹和相同的行列式:trA=trB,|A|=|B|
性质2.3:设B=AP,,若是A的对应特征值的特征向量,则是B的对应特征值的特征向量
性质2.4:
性质2.5:若f(x)是多项式,则f(A)f(B)
性质2.6:若A可逆(从而B可逆),则
应用范例
例1:如果矩阵A=与矩阵B=相似,求a,b的值.
[分析]首先较容易地可观察到A有特征值－2,所以B应有有特征值－2,于是可求得c.再利用A,B有相同的特征多项式,或者利用它们有相同的迹和行列式,都可求出a,b的值.
解:由于|－2E－A|=0,所以－2是A的特征值,那么－2也是B的特征值,但B的对角矩阵有特征值－1,2和c,故只能是c=－2.而且知道了－1,2和－2是A和B的全部特征值.再由trA=trB,得a+b－2=－1+2－2,即a+b=1,又由|A|=|B|,得－2(ab－2)=4,即ab=0.解得
或
4 相似对角化判定定理
设A是n阶矩阵:1)A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量;也就是每个特征值的代数重数与几何重数相等.2)如果A的n个特征值互异,则A可相似对角化.3)如果A是实对称矩阵,则A可通过正交矩阵相似对角化.
应用范例
例2:设A=,证明: 相似于对角矩阵.
[分析] 因为A是实对称矩阵,从而也是实对称矩阵.故相似于对角矩阵,所以只要求出特征值.
解：因为A是实对称矩阵,故A相似于对角矩阵.又=,即也是实对称矩阵, 故也相似于对角矩阵,再由()=|E－Ａ|==,得A的全部特征值是0,2,2.那么 的全部特征值是,,,即是4,16,16.所以
5相似对角化计算步骤
(1) 求特征多项式()=|E－Ａ|.
(2) 解方程()=0,求出各特征值及其代数重数.
(3) 对各特征值,解线性方程组(E－Ａ)Ｘ＝０.得基础解系(若对某基础解系向量个数少于特征值的代数重数,则A不可对角化).
(4)把各基础解系合起来得n个线性无关的特征向量,以它们为列向量做矩阵P=(),则AP为对角矩阵,其对角线第i元是特征向量所属的特征值.
应用范例
例3: 设矩阵A=与B=相似,
(1) 求x,y的值.
(2) 求可逆矩阵P使得AP=B.
[分析] 为求x,y,一般地可以利用相似矩阵有相同的特征多项式,也可以利用迹和行列式.对于此题,由于A显然有特征值－2,观察B的特征值所以马上可得y=－2;再利用迹相等就可求出x.
解 (1)因为|－2E－A|=0,所以矩阵A有特征值－2.那么矩阵B也有特征值－2.但B的特征值为－1,2, y;故y=－2.再由trA=trB,即－2+x+1=－1+2+y,就得x=0.
(2)对特征值－1,求解线性方程组(－E－A)X=0,得基础解系=
对特征值2, 求解线性方程组(2E－A)X=0, 得基础解系=
对特征值－2, 求解线性方程组(－2E－A)X=0.得基础解系=.
令P=(,,)=,则AP=B
例4:设3阶矩阵A的特征值为=1,=2,=3;对应的特征向量依次为=,=,=.求A.
[分析] 已知A可以求出A的特征值和特征向量;反过来已知特征值和特征向量也可以求出A,这是因为AP=diag(,,),而P=(,,).所以A=P diag(,,).
解令P=(,,)=,则由条件有AP= diag(1,2,3).那么A= P diag(1,2,3).先求出:
6 实对称矩阵的对角化
对于实对称矩阵A,存在正交矩阵P使得AP为对角矩阵;此正交矩阵P的求法如下:
(1) 求出特征多项式()的全部特征值,令互不相同的特征值为.
(2) 对每个特征值,解齐次解线性方程组(E－Ａ)Ｘ＝０,求出一组基础解系.
(3) 将标准正交化,得到一组正交的单位向量.
(4) 令P=().
则P是正交矩阵且AP=diag().
标准正交化方法如下:
设是一组线性无关的向量,令=,按下述公式递推
=－, =2,…,s,
则,...,就是正交向量组而且与向量组,...,等价.
如果再令=/||(i=1,…,s),则,...,就是与,...,等价的正交的单位向量组.
应用范例
例5:设A=,求正交矩阵P使得AP为对角矩阵.
解 特征多项式()=|E－Ａ|=,得A的特征值为2,2,8.
对特征值=2,解线性方程组(2E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=,=
对特征值=8, 解线性方程组(8E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=.
将,正交化:令=,则=－=－=,再将,单位化:=/||=,=/||=.
将单位化:=/||=.
令P=(,,)=,则AP =.
7 综合应用
例6:设A为三阶实对称矩阵,且满足条件+2A=O,已知A的秩r(A)=2,求A的全部特征值.
解由+2A=O,可得A的特征值为=－２或=0.又因为实对称矩阵A必可对角化,且由r(A)=2,知方程=O只有3－r(A)＝１个线性无关的特征向量，即＝０只能是Ａ的单特征值，所以=－２必是A的二重特征值,于是A相似于
因此,矩阵A的全部特征值为==－２,=0
例7:设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为=,
求A
解：设对应于3的特征向量为=,因实对称矩阵的不同特征值下的特征向量正交,即有=0, 即的分量满足++=0.又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然++=0的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.
由++=0得它的一个基础解系为=,=.
令P=()=,由性质有=B=.
故A==.
8 总结
矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用,依据上面所讨论的,可以方便的求出矩阵的特征值和特征向量及A的多项式的特征值和特征向量,并巧妙的处理了反求矩阵等矩阵特征值反问题.本文仅做了初步探讨,相信矩阵的特征值和特征向量在数学物理领域内还会有更大更多的应用.
参考文献
[1] 樊军.线性代数学习指导[M].科学出版社,2003.
[2] 郭华,刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报(自然科學版),2000,(02).
[3] 施劲松,刘剑平.矩阵特征值、特征向量的确定[J].大学数学,2003,(06).
[4] 邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报,2006,(05).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
【关键词】矩阵；特征值；特征向量
【中图分类号】:O151.21 【文献标识码】:A 【文章编号】:1009—9646(2008)06-0000-00
1特征值,特征向量等概念
设A为n阶矩阵.1）如果有数和n维非零列向量X使得AX=X,则成为矩阵A的特征值,称X为A的对应于特征值的特征向量.2）把作为未知量时,E－A称为矩阵A的特征矩阵,多项式()=|E－Ａ｜称为A的特征多项式.
注:矩阵A的特征多项式()的根就是A的全部特征值.特征值也称特征根.
性质1.1:矩阵A的属于不同的特征值的特征向量线性无关.
性质1.2:实对称矩阵的特征值都是实数.
性质1.3:实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
性质1.4:矩阵A的任何特征值的代数重数不小于其几何重数;即若是A的特征多项式()=|E－Ａ｜的重根,而齐次线性方程组(E－Ａ)X=0的解子空间维数是(即基础解系含个向量),则.
性质1.5:若A=(ij)nn的特征多项式
()=,则矩阵A的迹trA==－，Ａ的行列式|A|=.一般地有
==A的所有k阶主子式之和.
性质1.6:矩阵A可逆的充要条件是A的所有特征值非零.
性质1.7:若矩阵A的特征多项式()=,则对任一的多项式f(),矩阵f(A)的特征多项式为=(－f())...(-f()).又，当Ａ可逆时，（）＝（－）…(－)．
性质1.8:若矩阵A的特征值和对应的特征向量即A=,则对任一多项式f(x)有f(A)=f(),即也是矩阵f(A)的对应于特征值f()的特征向量.
2计算矩阵A的特征值和特征向量的一般步骤
(1) 计算A的特征多项式()=|E－Ａ｜
(2) 解特征方程()=0,求出所有的特征值.
(3) 对每个特征值解齐次线性方程组(E－Ａ)Ｘ＝０,得出A的属于特征值的特征向量
3 相似矩阵
设A,B是n阶矩阵,若存在可逆n阶矩阵P使得B=AP,就称A相似于B,记作
AB;称P为相似变换矩阵.
设矩阵AB,则
性质2.1:rank A=rankB
性质2.2:A与B有相同的特征多项式()=();从而它们有相同的特征值,有相同的迹和相同的行列式:trA=trB,|A|=|B|
性质2.3:设B=AP,,若是A的对应特征值的特征向量,则是B的对应特征值的特征向量
性质2.4:
性质2.5:若f(x)是多项式,则f(A)f(B)
性质2.6:若A可逆(从而B可逆),则
应用范例
例1:如果矩阵A=与矩阵B=相似,求a,b的值.
[分析]首先较容易地可观察到A有特征值－2,所以B应有有特征值－2,于是可求得c.再利用A,B有相同的特征多项式,或者利用它们有相同的迹和行列式,都可求出a,b的值.
解:由于|－2E－A|=0,所以－2是A的特征值,那么－2也是B的特征值,但B的对角矩阵有特征值－1,2和c,故只能是c=－2.而且知道了－1,2和－2是A和B的全部特征值.再由trA=trB,得a+b－2=－1+2－2,即a+b=1,又由|A|=|B|,得－2(ab－2)=4,即ab=0.解得
或
4 相似对角化判定定理
设A是n阶矩阵:1)A相似于对角矩阵的充要条件是A有n个线性无关的特征向量;也就是每个特征值的代数重数与几何重数相等.2)如果A的n个特征值互异,则A可相似对角化.3)如果A是实对称矩阵,则A可通过正交矩阵相似对角化.
应用范例
例2:设A=,证明: 相似于对角矩阵.
[分析] 因为A是实对称矩阵,从而也是实对称矩阵.故相似于对角矩阵,所以只要求出特征值.
解：因为A是实对称矩阵,故A相似于对角矩阵.又=,即也是实对称矩阵, 故也相似于对角矩阵,再由()=|E－Ａ|==,得A的全部特征值是0,2,2.那么 的全部特征值是,,,即是4,16,16.所以
5相似对角化计算步骤
(1) 求特征多项式()=|E－Ａ|.
(2) 解方程()=0,求出各特征值及其代数重数.
(3) 对各特征值,解线性方程组(E－Ａ)Ｘ＝０.得基础解系(若对某基础解系向量个数少于特征值的代数重数,则A不可对角化).
(4)把各基础解系合起来得n个线性无关的特征向量,以它们为列向量做矩阵P=(),则AP为对角矩阵,其对角线第i元是特征向量所属的特征值.
应用范例
例3: 设矩阵A=与B=相似,
(1) 求x,y的值.
(2) 求可逆矩阵P使得AP=B.
[分析] 为求x,y,一般地可以利用相似矩阵有相同的特征多项式,也可以利用迹和行列式.对于此题,由于A显然有特征值－2,观察B的特征值所以马上可得y=－2;再利用迹相等就可求出x.
解 (1)因为|－2E－A|=0,所以矩阵A有特征值－2.那么矩阵B也有特征值－2.但B的特征值为－1,2, y;故y=－2.再由trA=trB,即－2+x+1=－1+2+y,就得x=0.
(2)对特征值－1,求解线性方程组(－E－A)X=0,得基础解系=
对特征值2, 求解线性方程组(2E－A)X=0, 得基础解系=
对特征值－2, 求解线性方程组(－2E－A)X=0.得基础解系=.
令P=(,,)=,则AP=B
例4:设3阶矩阵A的特征值为=1,=2,=3;对应的特征向量依次为=,=,=.求A.
[分析] 已知A可以求出A的特征值和特征向量;反过来已知特征值和特征向量也可以求出A,这是因为AP=diag(,,),而P=(,,).所以A=P diag(,,).
解令P=(,,)=,则由条件有AP= diag(1,2,3).那么A= P diag(1,2,3).先求出:
6 实对称矩阵的对角化
对于实对称矩阵A,存在正交矩阵P使得AP为对角矩阵;此正交矩阵P的求法如下:
(1) 求出特征多项式()的全部特征值,令互不相同的特征值为.
(2) 对每个特征值,解齐次解线性方程组(E－Ａ)Ｘ＝０,求出一组基础解系.
(3) 将标准正交化,得到一组正交的单位向量.
(4) 令P=().
则P是正交矩阵且AP=diag().
标准正交化方法如下:
设是一组线性无关的向量,令=,按下述公式递推
=－, =2,…,s,
则,...,就是正交向量组而且与向量组,...,等价.
如果再令=/||(i=1,…,s),则,...,就是与,...,等价的正交的单位向量组.
应用范例
例5:设A=,求正交矩阵P使得AP为对角矩阵.
解 特征多项式()=|E－Ａ|=,得A的特征值为2,2,8.
对特征值=2,解线性方程组(2E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=,=
对特征值=8, 解线性方程组(8E－Ａ)Ｘ=0, 得基础解系=.
将,正交化:令=,则=－=－=,再将,单位化:=/||=,=/||=.
将单位化:=/||=.
令P=(,,)=,则AP =.
7 综合应用
例6:设A为三阶实对称矩阵,且满足条件+2A=O,已知A的秩r(A)=2,求A的全部特征值.
解由+2A=O,可得A的特征值为=－２或=0.又因为实对称矩阵A必可对角化,且由r(A)=2,知方程=O只有3－r(A)＝１个线性无关的特征向量，即＝０只能是Ａ的单特征值，所以=－２必是A的二重特征值,于是A相似于
因此,矩阵A的全部特征值为==－２,=0
例7:设三阶实对称矩阵A的特征值为6,3,3.与特征值6对应的特征向量为=,
求A
解：设对应于3的特征向量为=,因实对称矩阵的不同特征值下的特征向量正交,即有=0, 即的分量满足++=0.又因特征值3的重数为2,所以对应于3恰有两个线性无关的特征向量,显然++=0的基础解系就是对应于3的两个线性无关的特征向量.
由++=0得它的一个基础解系为=,=.
令P=()=,由性质有=B=.
故A==.
8 总结
矩阵的特征值和特征向量有许多具体应用,依据上面所讨论的,可以方便的求出矩阵的特征值和特征向量及A的多项式的特征值和特征向量,并巧妙的处理了反求矩阵等矩阵特征值反问题.本文仅做了初步探讨,相信矩阵的特征值和特征向量在数学物理领域内还会有更大更多的应用.
参考文献
[1] 樊军.线性代数学习指导[M].科学出版社,2003.
[2] 郭华,刘小明.特征值与特征向量在矩阵运算中的作用[J].渝州大学学报(自然科學版),2000,(02).
[3] 施劲松,刘剑平.矩阵特征值、特征向量的确定[J].大学数学,2003,(06).
[4] 邵丽丽.矩阵的特征值和特征向量的应用研究[J].菏泽学院学报,2006,(05).
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”