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试题特征分析
阅读理解型问题是近几年中考的热点考题之一,其命题形式灵活,取材广泛,一般是提供有关的阅读材料,要求同学们先阅读,然后根据材料中提供的信息回答相关问题.
近几年中考阅读理解型问题提供的材料信息含量都较大,构思新颖别致,题样比较多变.有时是将高中的知识点进行改编,有时设计一个新的数学情境,让同学们在阅读的基础上理解其中的内容、方法和思想,然后在把握本质、理解意义的基础上作出回答.
解题方法指导
阅读理解型问题主要题型有:(1) 判断概括型,即阅读特殊范例推出一般结论;(2) 方法模拟题,即阅读解题过程,总结解题规律、方法;(3) 迁移发展型,即阅读新知识,研究新问题,运用新知识解决问题. 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了哪些新的数学知识、结论,或揭示了什么数学规律,或暗示了哪种新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.
热点问题解析
例 (2012·江苏淮安)阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合.无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.
情形一:如题图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;
情形二:如题图3,沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1) △ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?_______.(填:“是”或“不是”)
(2) 小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.
根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之问的等量关系为_______.
应用提升
(3) 小丽找到一个三角形,三个角分别为15°,60°,105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成:如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
【分析】(1) 利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决;(2) 根据第(1) 问的结论继续探索;(3) 利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解出答案.
【解析】(1) 由折叠的性质知,∠B=∠AA1B1.因为∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,而∠B=2∠C,所以∠A1B1C=∠C,就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合,因此∠BAC是△ABC的好角.
(2) 因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C. 如图4所示.
∵∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C,∴∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.
由上面的探索发现,若∠BAC是△ABC的好角,折叠一次重合,有∠B=∠C;折叠二次重合,有∠B=2∠C;折叠三次重合,有∠B=3∠C;…;由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B=n∠C.
(3) 因为最小角4°是△ABC的好角,根据好角定义,则可设另两角分别为4m°,4mn°(其中m、n都是正整数).
由题意,得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44.
因为m、n都是正整数,所以m与n+1是44的整数因子,因此有:m=1,n+1=44;m=2,n+1=22;m=4,n+1=11;m=11,n+1=4;m=22,n+1=2.所以m=1,n=43;m=2,n=21;m=4,n=10;m=11,n=3;m=22,n=1.
所以4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88,4mn=88.
所以该三角形的另外两个角的度数分别为:4°,172°;8°,168°;16°,160°;44°,132°;88°,88°.
【点评】本题主要考查对轴对称图形、等腰三角形、三角形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握.
【说明】本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定难度.
变式问题
(2) 如图6,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′ C′,使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;
(3) 如图7,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.
通过此类试题的分析,同学们在平时的课堂教学中应加强对数学阅读理解能力、信息获取能力以及信息处理能力的训练,这对于提高我们运用数学知识的综合能力,以及对以后的学习会有极大的益处.
阅读理解型问题是近几年中考的热点考题之一,其命题形式灵活,取材广泛,一般是提供有关的阅读材料,要求同学们先阅读,然后根据材料中提供的信息回答相关问题.
近几年中考阅读理解型问题提供的材料信息含量都较大,构思新颖别致,题样比较多变.有时是将高中的知识点进行改编,有时设计一个新的数学情境,让同学们在阅读的基础上理解其中的内容、方法和思想,然后在把握本质、理解意义的基础上作出回答.
解题方法指导
阅读理解型问题主要题型有:(1) 判断概括型,即阅读特殊范例推出一般结论;(2) 方法模拟题,即阅读解题过程,总结解题规律、方法;(3) 迁移发展型,即阅读新知识,研究新问题,运用新知识解决问题. 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料,弄清材料中隐含了哪些新的数学知识、结论,或揭示了什么数学规律,或暗示了哪种新的解题方法,然后展开联想,将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移,建模应用,解决题目中提出的问题.
热点问题解析
例 (2012·江苏淮安)阅读理解
如图1,△ABC中,沿∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重叠部分;…;将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠,点Bn与点C重合.无论折叠多少次,只要最后一次恰好重合,我们就称∠BAC是△ABC的好角.
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形.
情形一:如题图2,沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠,点B与点C重合;
情形二:如题图3,沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠,剪掉重叠部分;将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合.
探究发现
(1) △ABC中,∠B=2∠C,经过两次折叠,∠BAC是不是△ABC的好角?_______.(填:“是”或“不是”)
(2) 小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角,请探究∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之间的等量关系.
根据以上内容猜想:若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B与∠C(不妨设∠B>∠C)之问的等量关系为_______.
应用提升
(3) 小丽找到一个三角形,三个角分别为15°,60°,105°,发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角.
请你完成:如果一个三角形的最小角是4°,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角.
【分析】(1) 利用三角形外角的性质和折叠对称性即可解决;(2) 根据第(1) 问的结论继续探索;(3) 利用“好角”的定义和三角形内角和列出方程解出答案.
【解析】(1) 由折叠的性质知,∠B=∠AA1B1.因为∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,而∠B=2∠C,所以∠A1B1C=∠C,就是说第二次折叠后∠A1B1C与∠C重合,因此∠BAC是△ABC的好角.
(2) 因为经过三次折叠∠BAC是△ABC的好角,所以第三次折叠的∠A2B2C=∠C. 如图4所示.
∵∠ABB1=∠AA1B1,∠AA1B1=∠A1B1C+∠C,又∠A1B1C=∠A1A2B2,∠A1A2B2=∠A2B2C+∠C,∴∠ABB1=∠A1B1C+∠C=∠A2B2C+∠C+∠C=3∠C.
由上面的探索发现,若∠BAC是△ABC的好角,折叠一次重合,有∠B=∠C;折叠二次重合,有∠B=2∠C;折叠三次重合,有∠B=3∠C;…;由此可猜想若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角,则∠B=n∠C.
(3) 因为最小角4°是△ABC的好角,根据好角定义,则可设另两角分别为4m°,4mn°(其中m、n都是正整数).
由题意,得4m+4mn+4=180,所以m(n+1)=44.
因为m、n都是正整数,所以m与n+1是44的整数因子,因此有:m=1,n+1=44;m=2,n+1=22;m=4,n+1=11;m=11,n+1=4;m=22,n+1=2.所以m=1,n=43;m=2,n=21;m=4,n=10;m=11,n=3;m=22,n=1.
所以4m=4,4mn=172;4m=8,4mn=168;4m=16,4mn=160;4m=44,4mn=132;4m=88,4mn=88.
所以该三角形的另外两个角的度数分别为:4°,172°;8°,168°;16°,160°;44°,132°;88°,88°.
【点评】本题主要考查对轴对称图形、等腰三角形、三角形的内角和定理及因式分解等知识点的理解和掌握.
【说明】本题是阅读理解题,解决本题的关键是读懂题意,理清题目中数字和字母的对应关系和运算规则,然后套用题目提供的对应关系解决问题,具有一定难度.
变式问题
(2) 如图6,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′ C′,使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;
(3) 如图7,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.
通过此类试题的分析,同学们在平时的课堂教学中应加强对数学阅读理解能力、信息获取能力以及信息处理能力的训练,这对于提高我们运用数学知识的综合能力,以及对以后的学习会有极大的益处.