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恒成立问题是数学问题中出现的常见题型,有时是恒成立条件下求变量(参数)的取值范围,有时是恒成立条件下研究函数性质,此类问题不仅涉及知识面广、综合性强,而且情景新颖,能够很好地考查学生的创新能力及探索能力,因此,成为历年高考考查的重要题型.本文举例说明此类问题常用解法.
一、 一次函数型
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于
例1对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围.
分析:在不等式中出现了两个字母:x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将p视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.
解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:
二、 二次函数型
任何一个一元二次不等式总可以化为ax2+bx+c>0 (a<0)的形式,由二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象和性质,我们不难得出以下两个结论:
(1) ax2+bx+c>0(a>0)在R上恒成立的充要条件是Δ<0.
(2) ax2+bx+c>0(a>0)在区间[m,n]上恒成立的充要条件是
例2设f(x)=x2-2mx+2,当x∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a恒成立,求m的取值范围.
解:设F(x)= f(x)-m= x2-2mx+2-m,
则问题转化为:当x∈[-1,+∞]时, F(x)≥0恒成立.
(1) 当Δ=4(m-1)( m+2)<0即-2<m<1时,对一切x∈[-1,+∞]总有F(x)>0成立.
图1(2) 当Δ=4(m-1)( m+2)≥0时,由图1可知,F(x)≥0充要条件是
三、 变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.
例3已知当x∈R时,不等式a+cos2x<5-4sinx+5a-4恒成立,求实数a的取值范围.
分析:在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(x∈R),另一变量a的范围即为所求,故可考虑将a及x分离.
解:原不等式即:4sinx+cos2x<5a-4-a+5
要使上式恒成立,只需5a-4-a+5大于4sinx+cos2x的最大值,故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题.
等式转化成关于t的二次函数类型.
四、 根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)
(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.
例4若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数,求α的值.
分析:告诉我们偶函数的条件,即相当于告诉我们一个恒成立问题.
解:由题得:f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立,
∴ sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α)
即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
2sinx•cosα=-2sinx•sinα
∴ sinx(sinα+cosα)=0
∵ 对一切x∈R恒成立,∴ 只需sinα+cosα=0.
五、 数形结合型
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
一、 一次函数型
给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于
例1对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围.
分析:在不等式中出现了两个字母:x及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量,另一个作为常数.显然可将p视作自变量,则上述问题即可转化为在[-2,2]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题.
解:不等式即(x-1)p+x2-2x+1>0,设f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0,故有:
二、 二次函数型
任何一个一元二次不等式总可以化为ax2+bx+c>0 (a<0)的形式,由二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象和性质,我们不难得出以下两个结论:
(1) ax2+bx+c>0(a>0)在R上恒成立的充要条件是Δ<0.
(2) ax2+bx+c>0(a>0)在区间[m,n]上恒成立的充要条件是
例2设f(x)=x2-2mx+2,当x∈[-1,+∞]时,都有f(x)≥a恒成立,求m的取值范围.
解:设F(x)= f(x)-m= x2-2mx+2-m,
则问题转化为:当x∈[-1,+∞]时, F(x)≥0恒成立.
(1) 当Δ=4(m-1)( m+2)<0即-2<m<1时,对一切x∈[-1,+∞]总有F(x)>0成立.
图1(2) 当Δ=4(m-1)( m+2)≥0时,由图1可知,F(x)≥0充要条件是
三、 变量分离型
若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.
例3已知当x∈R时,不等式a+cos2x<5-4sinx+5a-4恒成立,求实数a的取值范围.
分析:在不等式中含有两个变量a及x,其中x的范围已知(x∈R),另一变量a的范围即为所求,故可考虑将a及x分离.
解:原不等式即:4sinx+cos2x<5a-4-a+5
要使上式恒成立,只需5a-4-a+5大于4sinx+cos2x的最大值,故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x的最值问题.
等式转化成关于t的二次函数类型.
四、 根据函数的奇偶性、周期性等性质
若函数f(x)是奇(偶)函数,则对一切定义域中的x ,f(-x)=-f(x)
(f(-x)=f(x))恒成立;若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立.
例4若f(x)=sin(x+α)+cos(x-α)为偶函数,求α的值.
分析:告诉我们偶函数的条件,即相当于告诉我们一个恒成立问题.
解:由题得:f(-x)=f(x)对一切x∈R恒成立,
∴ sin(-x+α)+cos(-x-α)=sin(x+α)+cos(x-α)
即sin(x+α)+sin(x-α)=cos(x+α)-cos(x-α)
2sinx•cosα=-2sinx•sinα
∴ sinx(sinα+cosα)=0
∵ 对一切x∈R恒成立,∴ 只需sinα+cosα=0.
五、 数形结合型
若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果.尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷.
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文