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集合是数学中最基本的概念，集合语言是现代数学的基本语言，因而在每年的高考中必考.在历年的高考数学试卷中，集合问题多以选择题、填空题的形式出现，考查的内容有集合的概念、集合的运算等，属于容易题的范畴，一般难度不大.但在集合学习中，我们有时会遇到一些似是而非的问题，此类问题往往是由于我们对某些概念或公式的认识不深，使我们在解题时容易造成一些失误.
易错问题1. 忽视“空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集”而导致思维不全出现错误
空集是不含任何元素的集合，具有以下性质：?哿A，?芴A（Ａ≠），Ａ∪＝Ａ，A∩＝.在解有关集合的问题时，常因忽略这些性质而造成不是解题过程残缺不全,就是解题过程多余，因此在解题中应引起高度重视.
例1． 集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|log(x2-5x+8)=-1}，C={x|x2+2x-8=0}，求a的值使A∩B?芡，且A∩C=同时成立.
错解：由log(x2-5x+8)=-1,由此得x2-5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x-8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，而A∩B?芡 ,即A∩B≠,
∴3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，∴可得a=5或a=－2 .
剖析：上述解答忽视了当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=不符合，所以a=5应舍去；而当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B?芡 ，所以a=-2 .
点评：空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决有关类似于A∩B?芡，且A∩C=等集合问题时，易忽视空集的情况而产生增解.
例2． 已知集合P={x|x2-x-6>0}，Q={x|x2+6x+m<0}，满足Q?哿P,求实数m的取值范围.
错解：P={x|x>3或x<-2}，Q={x|-3- 剖析：上述解答忽视了“空集是任何集合的子集”这一结论，即Q=时，△=36-4m≤0?圯m≥9，不等式x2+6x+m<0的解集为空集.所以m的取值范围为{m|m≥9}.
点评：空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决有关类似于A∩B＝，A?哿B等集合问题时，易忽视空集的情况而漏解.
易错问题2. 忽视集合中元素的互异性
集合中元素的互异性是指集合中任何两个元素都是互不相同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素.我们在解题中常常因忽视这一重要属性而导致错误.
例3． 若A={2,4,m3-2m2-m+7}，B={1,m+1,m2-2m+2,-(m2-3m-8)}，且A∩B={2，5}，求实数m的值.
错解：依题意m3-2m2-m+7=5，解得m=2或m=±1,故m的值是2或±1.
剖析：当m=1时，集合B中有两个元素为1，与集合中元素的互异性相矛盾，故应舍去t=1.
点评：集合中元素的互异性是集合的重要属性，解题时常常被忽视而导致错误.
变式题． 若集合A＝{1,2，x,4}，B＝{x2,1}，A∩B＝{1,4}，则满足条件的实数x的值为 ()
A． 4B． 2或－2 C． －2D． 2
错解：依题意x2=4，解得x=2或x=-2,故x的值是2或－2.
剖析：当x=2时，集合A中有两个元素为2，与集合中元素的互异性相矛盾，故应舍去x=2.答案：C.
易错问题3. 忽视集合中代表元素的含义
在集合的运算中，对集合本身概念不清是导致错误最直接的原因之一，通常要搞清集合中元素的表现形式或其元素的含义这两个方面.
例4． 若A={y|y=1-x2,x∈R}，B={x|y=}，则A∩B等于()
A. {(1,0)，（－1,0）} B．{1，-1}
C．{1}D． {x|x≤－1或x=1}
错解：由y=1-x2,y=x=1,y=0 或x=-1,y=0,故选A.
剖析：本题容易把集合A，B看作两条曲线上的点集而错选答案A，事实上集合A、B均表示数集，由A={y|y=1-x2,x∈R}={y|y≤1,y∈R}，B={x|y=}={x|x2-1≥0}={x|x≥1,x≤-1}，所以A∩B={x|x≤－1或x=1}，故选D.
点评：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，忽视代表元素的含义，将出现错误.本题中,集合A，B中的元素均为数而不是点.
例5． 已知M＝{y|y＝x＋1}，N＝{(x，y)|x2+y2＝1}，则集合M∩N中元素的个数是 ()
A． 0 B． 1 C． 2 D． 多个
错解：由y=x+1，x2+y2＝1x=0，y=1或 x=-1，y=0，故选C.
剖析：本题容易把集合M，N看作直线和圆上的点集而错选答案C，事实上集合M是数集、而N是点集，所以M∩N=，故选A.
点评：集合是由元素构成的，忽视代表元素的含义，即元素的一般形式，混淆数集与点集将出现错误.本题中，集合N是点集，而集合M是数集，不是点集.
易错问题4. 忽视隐含条件的限制
在利用集合的交集、并集或补集求某些元素的范围时，一定要搞清楚题中的隐含条件.
例5． 已知P={y|y=x2-4x+3,x∈Z}，Q={y|y=-x2-2x,x∈Z}，求P∩Q.
错解：∵ P={y|y=(x-2)2-1≥-1,x∈Z}，Q={y|y=-(x+1)2+1≤1,x∈Z}，当x∈Z时，y∈Z, ∴M∩N={y|y=-1,0,1}.
剖析：∵x2-4x+3=-1时，x=2∈Z，且-x2-2x=-1时，x=-1±Z，∴ －1M∩N.同理可证，1M∩N，0∈M∩N，∴ M∩N=｛0｝.
点评：x∈Z时，y∈Z，但是当 x取遍整数集合中的所有元素时，y未必能取遍大于或等于－1的所有整数.
综上所述,在进行集合的运算中应注意以下几点：
(1)注意集合语言和集合思想的运用；
(2)注意空集是任何集合的子集；
(3)注意题中的隐含条件；
（4）注意题中的代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时分清是点集、数集还是其他的集合．
（5）注意题中的元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合题的常用方法．
（6）注意题中的集合能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简单明了、易于解决．
（7）注意善于利用数形结合：常运用数形结合形式，如数轴、坐标系和Venn图来解决集合问题.
注意了上述这些问题以后，在解决这类题目时就会达到事半功倍的效果.
（作者单位：贵州省龙里中学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”
易错问题1. 忽视“空集是任何集合的子集、空集是任何非空集合的真子集”而导致思维不全出现错误
空集是不含任何元素的集合，具有以下性质：?哿A，?芴A（Ａ≠），Ａ∪＝Ａ，A∩＝.在解有关集合的问题时，常因忽略这些性质而造成不是解题过程残缺不全,就是解题过程多余，因此在解题中应引起高度重视.
例1． 集合A={x|x2-ax+a2-19=0}，B={x|log(x2-5x+8)=-1}，C={x|x2+2x-8=0}，求a的值使A∩B?芡，且A∩C=同时成立.
错解：由log(x2-5x+8)=-1,由此得x2-5x+8=2，∴B={2,3}.由x2+2x-8=0，∴C={2,－4},又A∩C=，∴2和－4都不是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，而A∩B?芡 ,即A∩B≠,
∴3是关于x的方程x2-ax+a2-19=0的解，∴可得a=5或a=－2 .
剖析：上述解答忽视了当a=5时，得A={2，3}，∴A∩C={2}，这与A∩C=不符合，所以a=5应舍去；而当a=－2时，可以求得A={3，－5}，符合A∩C=，A∩B?芡 ，所以a=-2 .
点评：空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决有关类似于A∩B?芡，且A∩C=等集合问题时，易忽视空集的情况而产生增解.
例2． 已知集合P={x|x2-x-6>0}，Q={x|x2+6x+m<0}，满足Q?哿P,求实数m的取值范围.
错解：P={x|x>3或x<-2}，Q={x|-3-
点评：空集是一个特殊的集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在解决有关类似于A∩B＝，A?哿B等集合问题时，易忽视空集的情况而漏解.
易错问题2. 忽视集合中元素的互异性
集合中元素的互异性是指集合中任何两个元素都是互不相同的，相同元素归入同一集合时只能算作一个元素.我们在解题中常常因忽视这一重要属性而导致错误.
例3． 若A={2,4,m3-2m2-m+7}，B={1,m+1,m2-2m+2,-(m2-3m-8)}，且A∩B={2，5}，求实数m的值.
错解：依题意m3-2m2-m+7=5，解得m=2或m=±1,故m的值是2或±1.
剖析：当m=1时，集合B中有两个元素为1，与集合中元素的互异性相矛盾，故应舍去t=1.
点评：集合中元素的互异性是集合的重要属性，解题时常常被忽视而导致错误.
变式题． 若集合A＝{1,2，x,4}，B＝{x2,1}，A∩B＝{1,4}，则满足条件的实数x的值为 ()
A． 4B． 2或－2 C． －2D． 2
错解：依题意x2=4，解得x=2或x=-2,故x的值是2或－2.
剖析：当x=2时，集合A中有两个元素为2，与集合中元素的互异性相矛盾，故应舍去x=2.答案：C.
易错问题3. 忽视集合中代表元素的含义
在集合的运算中，对集合本身概念不清是导致错误最直接的原因之一，通常要搞清集合中元素的表现形式或其元素的含义这两个方面.
例4． 若A={y|y=1-x2,x∈R}，B={x|y=}，则A∩B等于()
A. {(1,0)，（－1,0）} B．{1，-1}
C．{1}D． {x|x≤－1或x=1}
错解：由y=1-x2,y=x=1,y=0 或x=-1,y=0,故选A.
剖析：本题容易把集合A，B看作两条曲线上的点集而错选答案A，事实上集合A、B均表示数集，由A={y|y=1-x2,x∈R}={y|y≤1,y∈R}，B={x|y=}={x|x2-1≥0}={x|x≥1,x≤-1}，所以A∩B={x|x≤－1或x=1}，故选D.
点评：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，忽视代表元素的含义，将出现错误.本题中,集合A，B中的元素均为数而不是点.
例5． 已知M＝{y|y＝x＋1}，N＝{(x，y)|x2+y2＝1}，则集合M∩N中元素的个数是 ()
A． 0 B． 1 C． 2 D． 多个
错解：由y=x+1，x2+y2＝1x=0，y=1或 x=-1，y=0，故选C.
剖析：本题容易把集合M，N看作直线和圆上的点集而错选答案C，事实上集合M是数集、而N是点集，所以M∩N=，故选A.
点评：集合是由元素构成的，忽视代表元素的含义，即元素的一般形式，混淆数集与点集将出现错误.本题中，集合N是点集，而集合M是数集，不是点集.
易错问题4. 忽视隐含条件的限制
在利用集合的交集、并集或补集求某些元素的范围时，一定要搞清楚题中的隐含条件.
例5． 已知P={y|y=x2-4x+3,x∈Z}，Q={y|y=-x2-2x,x∈Z}，求P∩Q.
错解：∵ P={y|y=(x-2)2-1≥-1,x∈Z}，Q={y|y=-(x+1)2+1≤1,x∈Z}，当x∈Z时，y∈Z, ∴M∩N={y|y=-1,0,1}.
剖析：∵x2-4x+3=-1时，x=2∈Z，且-x2-2x=-1时，x=-1±Z，∴ －1M∩N.同理可证，1M∩N，0∈M∩N，∴ M∩N=｛0｝.
点评：x∈Z时，y∈Z，但是当 x取遍整数集合中的所有元素时，y未必能取遍大于或等于－1的所有整数.
综上所述,在进行集合的运算中应注意以下几点：
(1)注意集合语言和集合思想的运用；
(2)注意空集是任何集合的子集；
(3)注意题中的隐含条件；
（4）注意题中的代表元素：代表元素反映了集合中元素的特征，解题时分清是点集、数集还是其他的集合．
（5）注意题中的元素组成：集合是由元素组成的，从研究集合的元素入手是解集合题的常用方法．
（6）注意题中的集合能否化简：有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系，可使问题变得简单明了、易于解决．
（7）注意善于利用数形结合：常运用数形结合形式，如数轴、坐标系和Venn图来解决集合问题.
注意了上述这些问题以后，在解决这类题目时就会达到事半功倍的效果.
（作者单位：贵州省龙里中学）
责任编校 徐国坚
“本文中所涉及到的图表、公式、注解等请以PDF格式阅读”