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摘 要 介绍数学期望的概念和求数学期望的方法;举例说明数学期望在经济决策中的应用,包括家庭投资,如何决定参加面试中应用数学期望的分析方法。
关键词 经济决策;数学期望;应用
中图分类号 F7 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2010)091-0112-01
1 数学期望内容的介绍
17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼长久的分赌本的问题:甲乙两位赌徒相约,用掷硬币进行赌博,谁先赢三次就得全部赌本100法郎,当甲赢了两次,乙赢了一次的饿时候,双方都不愿意再赌下去了,那么赌本应该如何分呢?
帕斯卡提出如下算法:在甲赢两次乙只赢了一次的时候,最多只需要在玩两次就可以结束这次赌博,而再玩两次其中前三种结果ω1,ω2,ω3,只要有任意一个发生都能使甲得100法郎,只有当ω4发生时,甲得0法郎,乙得100法郎。由于这四种结果都是等可能的,故甲得100法郎的概率为3/4,乙得100法郎的概率为1/4。从而甲应期望得到100×(3/4)=75法郎。完整的说,甲应期望得到(甲有希望得到):
75(法郎)
这就是帕斯卡的答案。意思是:如果再进行这样的赌博多次,甲每次平均可以得到75法郎。
2 数学期望的经济决策中的应用
2.1 职位决策
有三家公司都为硕士毕业生张红提供了就职面试的机会,按面试的时间顺序,这三家公司分别记为A,B,C,每家公司都可提供极好、好和一般三种职位,每家公司将根据面试情况决定给予求职何种职位或拒绝提供职位。若规定求职双方在面试以后要立即决定提供!接受或拒绝某种职位,且不容许毁约。咨询专家为张红的学业成绩和综合素质进行评估后认为,他获得极好,好,一般职位的可能性分别为0.2,0.3,0.4。三家公司的工资数据如下:
张红如果把工资数尽量大作为首要条件的话那么他在各公司面试时,对该公司提供的各种职位应如何对策?
解:由于面试有时间先后,使得张红在A,B公司面试,作选择时,还要考虑到后面C公司的情况所以应先从C公司开始讨论。C公司的工资期望值为:
E(C)=4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700(元)
现在考虑B公司。因为B公司的一般职位工资只有2500元,低于C公司的期望值,所以只接受B公司极好或好的职位,否则就到C公司应聘,如此决策时,他的工资期望值为:
E(B)=3900×0.2+2950×0.3+2500×0.5
最后考虑A公司。由于A公司只有极好职位的工资超过3015元,所以他只接受A公司的极好职位,否则就到B公司应聘。
他的总决策是这样的:先去A公司应聘,若A公司提供极好的职位就接受,否则去B公司应聘;若B公司提供极好或好的职位就接受,否则去C公司应聘,接受C公司提供的任何职位。
在这一策略下,他的工资期望值为:
E=3500×0.2+3015×0.8=3112(元)
2.2 風险投资决策
以买股票为例,这样投资可以迅速地实现资金的增殖,但是风险比较大,这就需要进行正确的决策,看哪一种投资方式期望获得的收益最大。
某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态:形势好!形势中等!形势不好(即经济衰退)。若形势好可获利40000元;若形势中等可获利10000元;若形势不好要损失20000元。如果是存入银行,假设年利率为8%,即可得利息8000元。又设年经济形势好,中等,不好的概率分别为30%,50%和20%。试问该投资者应选择哪一种投资方案?
分析:购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与经济形势无关。因此,要确定选择哪一种方案,就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。
解:由题设,一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示:
购买股票
从上表可以初步看出,如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的,但如果经济形势不好,则采取存入银行的方案比较好。下面通过计算加以分析。
如果购买股票,其收益的期望值:
E1=4000×0.3+1000×0.5+(-2000)×0.2=13000(元)
如果存入银行,其收益的期望值:
E2=8000×0.3+8000×0.5+8000×0.2=8000(元)
因此,购买股票的收益比存入银行的收益大,按期望收益最大原则,应选择购买股票。按风险决策中的期望收益最大准则选择方案,这种作法有风险存在。
参考文献
[1]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第三版).高等教育出版社,2004.
[2]葛余博,赵衡秀.概率论与数理统计学习指导.科学出版社,2004.
[3]徐国祥,马俊玲.统计预测和决策学习指导与习题.上海财经大学出版社,2005.
关键词 经济决策;数学期望;应用
中图分类号 F7 文献标识码 A 文章编号 1673-9671-(2010)091-0112-01
1 数学期望内容的介绍
17世纪中叶一位赌徒向法国数学家帕斯卡提出一个使他苦恼长久的分赌本的问题:甲乙两位赌徒相约,用掷硬币进行赌博,谁先赢三次就得全部赌本100法郎,当甲赢了两次,乙赢了一次的饿时候,双方都不愿意再赌下去了,那么赌本应该如何分呢?
帕斯卡提出如下算法:在甲赢两次乙只赢了一次的时候,最多只需要在玩两次就可以结束这次赌博,而再玩两次其中前三种结果ω1,ω2,ω3,只要有任意一个发生都能使甲得100法郎,只有当ω4发生时,甲得0法郎,乙得100法郎。由于这四种结果都是等可能的,故甲得100法郎的概率为3/4,乙得100法郎的概率为1/4。从而甲应期望得到100×(3/4)=75法郎。完整的说,甲应期望得到(甲有希望得到):
75(法郎)
这就是帕斯卡的答案。意思是:如果再进行这样的赌博多次,甲每次平均可以得到75法郎。
2 数学期望的经济决策中的应用
2.1 职位决策
有三家公司都为硕士毕业生张红提供了就职面试的机会,按面试的时间顺序,这三家公司分别记为A,B,C,每家公司都可提供极好、好和一般三种职位,每家公司将根据面试情况决定给予求职何种职位或拒绝提供职位。若规定求职双方在面试以后要立即决定提供!接受或拒绝某种职位,且不容许毁约。咨询专家为张红的学业成绩和综合素质进行评估后认为,他获得极好,好,一般职位的可能性分别为0.2,0.3,0.4。三家公司的工资数据如下:
张红如果把工资数尽量大作为首要条件的话那么他在各公司面试时,对该公司提供的各种职位应如何对策?
解:由于面试有时间先后,使得张红在A,B公司面试,作选择时,还要考虑到后面C公司的情况所以应先从C公司开始讨论。C公司的工资期望值为:
E(C)=4000×0.2+3000×0.3+2500×0.4+0×0.1=2700(元)
现在考虑B公司。因为B公司的一般职位工资只有2500元,低于C公司的期望值,所以只接受B公司极好或好的职位,否则就到C公司应聘,如此决策时,他的工资期望值为:
E(B)=3900×0.2+2950×0.3+2500×0.5
最后考虑A公司。由于A公司只有极好职位的工资超过3015元,所以他只接受A公司的极好职位,否则就到B公司应聘。
他的总决策是这样的:先去A公司应聘,若A公司提供极好的职位就接受,否则去B公司应聘;若B公司提供极好或好的职位就接受,否则去C公司应聘,接受C公司提供的任何职位。
在这一策略下,他的工资期望值为:
E=3500×0.2+3015×0.8=3112(元)
2.2 風险投资决策
以买股票为例,这样投资可以迅速地实现资金的增殖,但是风险比较大,这就需要进行正确的决策,看哪一种投资方式期望获得的收益最大。
某投资者有10万元,现有两种投资方案:一是购买股票,二是存入银行获取利息。买股票的收益主要取决于经济形势,假设可分三种状态:形势好!形势中等!形势不好(即经济衰退)。若形势好可获利40000元;若形势中等可获利10000元;若形势不好要损失20000元。如果是存入银行,假设年利率为8%,即可得利息8000元。又设年经济形势好,中等,不好的概率分别为30%,50%和20%。试问该投资者应选择哪一种投资方案?
分析:购买股票的收益与经济形势有关,存入银行的收益与经济形势无关。因此,要确定选择哪一种方案,就必须通过计算这两种投资方案对应的收益期望值E来进行判断。
解:由题设,一年中两种投资方式在不同的经济形势下对应的收益与概率如下表所示:
购买股票
从上表可以初步看出,如果购买股票在经济形势好和经济形势中等的情况下是合算的,但如果经济形势不好,则采取存入银行的方案比较好。下面通过计算加以分析。
如果购买股票,其收益的期望值:
E1=4000×0.3+1000×0.5+(-2000)×0.2=13000(元)
如果存入银行,其收益的期望值:
E2=8000×0.3+8000×0.5+8000×0.2=8000(元)
因此,购买股票的收益比存入银行的收益大,按期望收益最大原则,应选择购买股票。按风险决策中的期望收益最大准则选择方案,这种作法有风险存在。
参考文献
[1]盛骤,谢式千,潘承毅.概率论与数理统计(第三版).高等教育出版社,2004.
[2]葛余博,赵衡秀.概率论与数理统计学习指导.科学出版社,2004.
[3]徐国祥,马俊玲.统计预测和决策学习指导与习题.上海财经大学出版社,2005.