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摘 要:反例就是用来说明某个命题不成立的例子。在数学教学过程中,会经常遇到很多命题需要判断它的真假性。对于真命题而言,多少个正确的实例都抵不过一个严谨的证明。而对于一个假命题,只需要举出一个不符合的例子即可证明。严谨的思维能力可以解决一个问题,一个恰如其分的反例也可以解决一个问题。在讲授过程中,学生很有可能会因为对概念理解不透、對定理掌握不够、对公式记忆模糊、对数学思想方法的应用不熟练,而出现各种错误。通过反例适当的引导,就可能纠正错误,并且在教材上例题习题都是一些正向的实例,其实进行一些反例的教学也可以起到加深数学概念的理解,对于培养学生逆向的数学思维也有一定的帮助。下面就多年教学经验浅谈数学反例在教学中的使用方法。
关键词:反例;真命题;假命题
一、小学数学教学的反例
小学数学讲授的是最基本的数学概念,这时的学生刚刚接触有关的数学概念,各方面的接受能力比较弱,教学也适合大量的正面引导。小学高年级知识还是以正向讲解为主,但是随着题型逐渐丰富,反例就可以加强理解。
例1:在学习完有关小数的内容后,知道小数有这样一个特点,即小数末尾的0可去可不去,按照题意的需求进行选择。学生在理解过程中容易出现如下的错误,认为小数点后的0都可以去掉,可以举1.08与1.80进行比较,很明显1.08去掉0变为1.8,是错误的。
二、初中数学中的反例
初中数学相比小学数学,注重更多的是基础性的概念和定理,并且重难点清晰明了。加强对基本数学概念的透彻理解和公式的灵活应用尤其重要。但是在讲解概念的过程中,学生可能会产生偏差,如果在此基础上举出一个反例,就可能纠正过来,正确理解概念、公式。
比如学生往往会存在着一种对知识理所当然的理解,例如判断“两个无理数的和一定是无理数”,学生会认为两个无理数的和就是无理数,但是π与-π都是无理数,但他们的和是0,是有理数,因此这是一个假命题。这个例子对实数的概念和实数的基本运算都有了进一步的掌握。有利于学生跳出思维定势。
再如教材中的性质定理,就是我们在解题过程中的工具与武器。但在运用定理的过程中,容易忽视某些要点,这样就会得出错误的结论。在学习平行线的相关性质之后,知道如果两条直线平行,可以推出同旁内角互补,同位角相等,内错角相等三个结论,这时就可以提出这样一个反例,如果两直线不平行,那么同旁内角互补(同位角相等或内错角相等)这个结论还成立吗?这时就会明白如果没有直线平行的前提,结论是不一定正确的的。恰当的在学习有关性质定理时提出一个反例,对理解有很大的促进作用。有利于灵活应用性质定理。
例:当a何值时,关于x的二次方程(1-a2)x2-2x+2=0有两个实根?
在解这道题的过程中可能会没有注意到它的前提条件,这个方程是一个二次方程,因此解答过程中可能会出现类似下面错误的解答,漏掉条件,只要满足Δ≥0,也就是4-4×21-a2≥0,解得a≥22或a≤-22。又关于x的平方项的系数必须不为0,则1-a2≠0,a≠1且a≠-1.这个例子是从命题中寻找反例的线索。
三、高中数学中的反例
相对于小学、初中,高中数学学习的内容多样化涉及了集合、不等式、函数、数列、平面向量等,高中阶段的数学学习更应该应用思维能力。对于理解基本数学概念和应用公式的能力要求更高,其中的性质和定理包含更多的要点,更多反例教学就可以运用其中。
例1:在理解相关关系与函数关系时,先讲当一个变量的取值一定时,与之相对应的另一个变量的取值带有一定的随机性,联系以前学习过的函数关系,很多学生就会认为相关关系是一种函数关系,然后可以举出这样一个反例,对“正方形的面积与边长是相关关系”这一命题做出判断,很明显,他们不是相关关系,因为当边长的取值确定时,面积的取值也随之确定,不具有随机性,是很确定的函数关系。这就可以进一步的理解相关关系与函数关系之间的区别。有利于加强对概念的理解。
例2:学习了等比数列前n项和公式后,学生在等比数列求和中往往直接应用公式,而不考虑q是否为1。对此,教师可设计例题:求和cosα+cos2α+cos3α+……+cosnα,学生做题中易忽略cosα=0和cosα=1两种情况。通过教师提醒,让学生认识到cosα=0时{cosnα}非等比数列;当cosα=1时{cosnα}虽是等比数列,但q=1时求和不能套用上面公式,这样举出反例可以让学生求等比数列前n项和公式时注意分类,使学生认识到学习必须仔细观察,培养自己的观察力,提高数学思维的敏锐性。
例3:在函数单调性学习时,学生对单调性概念不易理解,容易出现一些错误,可以通过反例教学使学生对定义加深理解和认识。已知在区间(-∞,a)∪(a,+∞)上的函数y=f(x),在区间(-∞,a)上是减函数,在区间(a,+∞)上也是减函数,问函数y=f(x)在其定义域上是减函数吗?(学生做此题认为该函数在其定义域上是减函数)教师可以通过反例纠正学生错误,深化学生对单调性的认识。
例4:在求数列通项公式时,已知数列2,4,8……求an,一眼看上去会认为这是一个等比数列,于是an=2n。实际上只给出前三项的数列,没有给出他们之间的关系,是无法判定以后各项是以什么样的规律存在的。譬如这个数列还可以是an=n2-n+2等等。
直接求解所得的整个理解过程不仅可以复习巩固知识点,还可以引领我们学会深挖知识的要点,学会全面分析问题的能力。数学的知识点不是相互独立的,而是相互关联的,但大部分学生都只关注眼前所学的,不会很好的全面利用知识点分析问题,如果在某一类型题中,提出反例,除了掌握此类题,还可以更好的理解知识的要点,使得整个知识体系更加完善。
四、结论
反例也是发现问题和解决问题的途径,反例除了有以上作用外,还可以起到激发学习兴趣的效果,同时还能够养成发展发散思维的习惯,有助于完成数学教学。
关键词:反例;真命题;假命题
一、小学数学教学的反例
小学数学讲授的是最基本的数学概念,这时的学生刚刚接触有关的数学概念,各方面的接受能力比较弱,教学也适合大量的正面引导。小学高年级知识还是以正向讲解为主,但是随着题型逐渐丰富,反例就可以加强理解。
例1:在学习完有关小数的内容后,知道小数有这样一个特点,即小数末尾的0可去可不去,按照题意的需求进行选择。学生在理解过程中容易出现如下的错误,认为小数点后的0都可以去掉,可以举1.08与1.80进行比较,很明显1.08去掉0变为1.8,是错误的。
二、初中数学中的反例
初中数学相比小学数学,注重更多的是基础性的概念和定理,并且重难点清晰明了。加强对基本数学概念的透彻理解和公式的灵活应用尤其重要。但是在讲解概念的过程中,学生可能会产生偏差,如果在此基础上举出一个反例,就可能纠正过来,正确理解概念、公式。
比如学生往往会存在着一种对知识理所当然的理解,例如判断“两个无理数的和一定是无理数”,学生会认为两个无理数的和就是无理数,但是π与-π都是无理数,但他们的和是0,是有理数,因此这是一个假命题。这个例子对实数的概念和实数的基本运算都有了进一步的掌握。有利于学生跳出思维定势。
再如教材中的性质定理,就是我们在解题过程中的工具与武器。但在运用定理的过程中,容易忽视某些要点,这样就会得出错误的结论。在学习平行线的相关性质之后,知道如果两条直线平行,可以推出同旁内角互补,同位角相等,内错角相等三个结论,这时就可以提出这样一个反例,如果两直线不平行,那么同旁内角互补(同位角相等或内错角相等)这个结论还成立吗?这时就会明白如果没有直线平行的前提,结论是不一定正确的的。恰当的在学习有关性质定理时提出一个反例,对理解有很大的促进作用。有利于灵活应用性质定理。
例:当a何值时,关于x的二次方程(1-a2)x2-2x+2=0有两个实根?
在解这道题的过程中可能会没有注意到它的前提条件,这个方程是一个二次方程,因此解答过程中可能会出现类似下面错误的解答,漏掉条件,只要满足Δ≥0,也就是4-4×21-a2≥0,解得a≥22或a≤-22。又关于x的平方项的系数必须不为0,则1-a2≠0,a≠1且a≠-1.这个例子是从命题中寻找反例的线索。
三、高中数学中的反例
相对于小学、初中,高中数学学习的内容多样化涉及了集合、不等式、函数、数列、平面向量等,高中阶段的数学学习更应该应用思维能力。对于理解基本数学概念和应用公式的能力要求更高,其中的性质和定理包含更多的要点,更多反例教学就可以运用其中。
例1:在理解相关关系与函数关系时,先讲当一个变量的取值一定时,与之相对应的另一个变量的取值带有一定的随机性,联系以前学习过的函数关系,很多学生就会认为相关关系是一种函数关系,然后可以举出这样一个反例,对“正方形的面积与边长是相关关系”这一命题做出判断,很明显,他们不是相关关系,因为当边长的取值确定时,面积的取值也随之确定,不具有随机性,是很确定的函数关系。这就可以进一步的理解相关关系与函数关系之间的区别。有利于加强对概念的理解。
例2:学习了等比数列前n项和公式后,学生在等比数列求和中往往直接应用公式,而不考虑q是否为1。对此,教师可设计例题:求和cosα+cos2α+cos3α+……+cosnα,学生做题中易忽略cosα=0和cosα=1两种情况。通过教师提醒,让学生认识到cosα=0时{cosnα}非等比数列;当cosα=1时{cosnα}虽是等比数列,但q=1时求和不能套用上面公式,这样举出反例可以让学生求等比数列前n项和公式时注意分类,使学生认识到学习必须仔细观察,培养自己的观察力,提高数学思维的敏锐性。
例3:在函数单调性学习时,学生对单调性概念不易理解,容易出现一些错误,可以通过反例教学使学生对定义加深理解和认识。已知在区间(-∞,a)∪(a,+∞)上的函数y=f(x),在区间(-∞,a)上是减函数,在区间(a,+∞)上也是减函数,问函数y=f(x)在其定义域上是减函数吗?(学生做此题认为该函数在其定义域上是减函数)教师可以通过反例纠正学生错误,深化学生对单调性的认识。
例4:在求数列通项公式时,已知数列2,4,8……求an,一眼看上去会认为这是一个等比数列,于是an=2n。实际上只给出前三项的数列,没有给出他们之间的关系,是无法判定以后各项是以什么样的规律存在的。譬如这个数列还可以是an=n2-n+2等等。
直接求解所得的整个理解过程不仅可以复习巩固知识点,还可以引领我们学会深挖知识的要点,学会全面分析问题的能力。数学的知识点不是相互独立的,而是相互关联的,但大部分学生都只关注眼前所学的,不会很好的全面利用知识点分析问题,如果在某一类型题中,提出反例,除了掌握此类题,还可以更好的理解知识的要点,使得整个知识体系更加完善。
四、结论
反例也是发现问题和解决问题的途径,反例除了有以上作用外,还可以起到激发学习兴趣的效果,同时还能够养成发展发散思维的习惯,有助于完成数学教学。