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【摘 要】利用Excel工具、回归软件对电池剩余放电时间进行讨论，从经济、有效等方面出发，通过函数拟合、数据筛选、作图等，构建出拟合精度高、可决系数高的放电曲线的初等模型，进而对电池剩余放电时间进行预测。先应用Excel工具对给定的9组数据进行函数拟合，得出了9条放电曲线，接着根据MRE定义算出9条放电曲线的平均相对误差，并以此求出当电压为9.8 V时，30 A、40 A、50 A、60 A、70 A的剩余放电时间。接着应用同样方法建立了20～100 A任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度、表格和图形给出电流强度为55 A时的放电曲线。最后根据模型算出在衰减状态3下的放电曲线及其在最低保护电压9 V时的剩余的放电时间。
【关键词】放电曲线；平均相对误差；拟合函数；Excel工具；回归软件
【中图分类号】TM912 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2017）06-0042-05
1 问题提出
2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题给出了电池剩余放电时间预测问题。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um，2016年高教社全国大学生数学建模竞赛C题中为9 V）。从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间）是必须回答的问题。电池通过较长时间的使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。
根据高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1（同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据）用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差（MRE）。并在新电池使用中，分别以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A电流强度放电，测得电压都为9.8 V时，根据模型，算出电池的剩余放电时间。同步建立以20～100 A任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度、用表格和图形给出电流强度为55 A时的放电曲线。
再由高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件2（同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据），预测出高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。
2 问题的假设
（1）电池与金属容器不直接接触，不会引起冒烟或燃烧。
（2）使用指定的充电器在指定的条件下充电。
（3）电池没有安装在密封的设备里。
（4）不在充满灰尘的地方使用电池，不将电池放在可能被水淹或有产生火花设备的地方。
（5）确保在电池和设备之间和周围布置有充分的绝缘措施。
（6）电池在指定的范围内使用。
3 符号说明
符号说明见表1。
4 问题分析
本文是要解决如何预测电池剩余放电时间的问题。
针对问题一，首先应用Excel数据工具中的线性函数、指数函数及多项式分别对9组数据进行拟合，比较它们的可决系数后发现：用多项式中的二次函数拟合其可决系数较高，因此选择多项式中的二次函数进行拟合，最终拟合出9条放电曲线的函数图像，并获得各放电函数方程。然后对高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1的每组数据进行筛选，让每组数据的差值控制在±0.005之内，然后再根据“最大间隔”条件，分别从9个电流对应的电压值中筛选出231个样本点，之后计算平均相对误差MRE后，根据所得模型计算出9.8 V时电池的放电时间，再用高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1各电流对应的最低保护电压对应的放电时间减去9.8 V的放电时间后，分别得到30 A、40 A、50 A、60 A和70 A电流强度电池的剩余放电时间。
针对问题二，与问题一的解法类似，由问题一得出的结论对每个电流数筛选出来的231个点重新用Excel工具进行拟合，得出新的各放电函数方程，再利用电流数与ai（I），bi（I），ci（I）的数据组成3组数据，应用回归软件进行拟合，确定3个待定系数方程，得出任一恒定电流的放电曲线数学模型，并用MRE对模型进行精度评估，并以此绘制出55 A对应的表格、图形和放电曲线。
针对问题三，先根据高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件2的电压、衰减状态3的数据，应用Excel工具进行拟合，得出其对应的衰减曲线方程，将最低保护电压9 V带入，得出放电时间，减去已经放电的时间596.2 min，求得预测出衰减状态3的剩余放电时间。
5 模型的建立和求解
5.1 问题一
第一步，选择高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1给定的9个电流所对应的电压、放电时间为数据源，应用Excel工具作出9组数据对应的散点图，再选择相应的函数进行二次项系数拟合，得出9条对应的图形（如图1所示）。
然后我们对图1进行列表（见表2）。
应用多项式的二次项系数拟合曲线时，其可决系数R2>0.95，接近1，可见拟合度很好，因此选择运用二次项系数函数方程表示各放电曲线。9条放电曲线方程（见表2）。
第二步，利用MATLAB软件求出9个放电曲线对应的反函數，再利用Excel工具算出9条放电曲线的已放电时间tij，计算|Tij-tij|后进行数据筛选，然后根据题目给的附件1中MRE定义，先筛选出2个时间点的差值，基本步骤如下：首先计算tij-ti（j-i）；将不符合-0.005≤tij-ti（j-i）≤0.005条件的点删去；再给最大定义中“最大间隔”将累计在±0.005之间的删去；从最低保护电压9 V开始向上找231个点（见表3）。 通过以上步骤，筛选出20 A、30 A、40 A、50 A、60 A和80 A 6个电流对应的231个点，70 A和100 A不到231个点，再次筛选得出70 A符合条件的点为218个、100 A为194个点，根据定义可得平均相对误差公式：
■（1）
再用Excel工具算出9条放电曲线的平均相对误差，结果见表4。
第三步，分别把9.8 V带入30 A、40 A、50 A、60 A、70 A各个电流强度的反函数中进行计算，算出5个放电时间 ti（i=1，2，…，5），列出附件1给定的5个放电曲线在9 V的时间Ti（i=1，2，…，5），得出5个放电曲线的剩余放电时间计算公式如下：
di=Ti-ti（i=1，2，…，5）（2）
将具体数据带入公式（2），得出5个放电曲线的剩余放电时间（见表5）。
5.2 问题二
第一步，根据问题一的结论，以9个电流经过筛选出来的231个样本点为数据，利用MATLAB软件重新进行拟合，得出9个新的放电方程（见表6）。
第二步，以9个电流值与它们所对应的3组系数为数据，应用回归软件进行拟合，得出以下公式：
Y=（-2.75×10-7+6.8×10-9I-2.21×10-10I2）t2
+（0.001 23-3.52×10-5I-1.43×10-7I2）t
+（8.91+0.047 8I-0.000 35I2）t
（20 A≤I≤100 A，I∈Z）
第三步：同理問题一中的平均相对误差计算公式：■，得MRE（见表7）。
由表7可以看出，数学模型的MRE非常小，说明经此模型计算出的数值与题目所给的数据相差较小，精度很高。可以以此模型为基础，建立20～100 A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线。
第四步，将55 A带入公式（2），得出其放电曲线如下：
Z=-0.516 147 133 881 57×10-6t2
-0.821 629 192 877 413×10-3t
+10.454 389 391 9107
结合时间增加2 min的条件，利用Excel的计算工具，算出其对应的电压值（见表8），再对数据进行拟合，得出图形（如图2所示）。
5.3 问题三
第一步，根据附件二所给数据，可以利用Excel工作表绘制出该规格电池在衰减状态3下电压与放电时间的放电函数曲线（如图3所示）。
第二步，再利用Excel工作表，拟合出电池在衰减状态3下的放电拟合曲线，并得到函数表达式：
g=-5.161 471 338 815 7×10-7t2
-82 162 919 287 741 300×10-4t
+10.454 389 391 910 700 000 00
该拟合曲线的可决系数R2=0.996 529 794 84>0.995，接近1，可见拟合度很好。拟合曲线如图4所示。
第三步，利用MATLAB软件，求出拟合曲线函数表达式的反函数（如图5所示）。
第四步，计算出当电池电压为9 V时，衰减状态3的放电时间（如图6所示）。
第五步，用在衰减状态3下，计算出的9 V的放电时间减去数据给出的最大放电时间得到剩余放电时间为Q=1 061.836-596.2=465.6（min）。
6 结果分析
由模型重新合算的9条放电曲线可决系数已原来的可决系数进行比较（见表9）。
从表9中可以看出，根据新的可决系数比原可决系数要高。
7 模型的评价
本文应用了Excel表格工具、MATLAB软件对数据进行函数拟合、数据筛选、作图等，构建出放电曲线的初等模型，准确性较好，拟合程度高，通用性强，简单易懂，能较好地解决题目的问题。当然，筛选时数据较多，得到的值存在一定的误差，因此本模型的分析方法仍有待提高和改进。
参 考 文 献
[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2]谢金星，薛毅.LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社2005.
[3]胡剑凉，孙晓君.MATLAB数学实验[M].北京：高等教育出版社，2006.
[责任编辑：钟声贤]
【关键词】放电曲线；平均相对误差；拟合函数；Excel工具；回归软件
【中图分类号】TM912 【文献标识码】A 【文章编号】1674-0688（2017）06-0042-05
1 问题提出
2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题给出了电池剩余放电时间预测问题。在铅酸电池以恒定电流强度放电过程中，电压随放电时间单调下降，直到额定的最低保护电压（Um，2016年高教社全国大学生数学建模竞赛C题中为9 V）。从充满电开始放电，电压随时间变化的关系称为放电曲线。电池在当前负荷下还能供电多长时间（即以当前电流强度放电到Um的剩余放电时间）是必须回答的问题。电池通过较长时间的使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。
根据高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1（同一生产批次电池出厂时以不同电流强度放电测试的完整放电曲线的采样数据）用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差（MRE）。并在新电池使用中，分别以30 A、40 A、50 A、60 A和70 A电流强度放电，测得电压都为9.8 V时，根据模型，算出电池的剩余放电时间。同步建立以20～100 A任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度、用表格和图形给出电流强度为55 A时的放电曲线。
再由高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件2（同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据），预测出高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件2中电池衰减状态3的剩余放电时间。
2 问题的假设
（1）电池与金属容器不直接接触，不会引起冒烟或燃烧。
（2）使用指定的充电器在指定的条件下充电。
（3）电池没有安装在密封的设备里。
（4）不在充满灰尘的地方使用电池，不将电池放在可能被水淹或有产生火花设备的地方。
（5）确保在电池和设备之间和周围布置有充分的绝缘措施。
（6）电池在指定的范围内使用。
3 符号说明
符号说明见表1。
4 问题分析
本文是要解决如何预测电池剩余放电时间的问题。
针对问题一，首先应用Excel数据工具中的线性函数、指数函数及多项式分别对9组数据进行拟合，比较它们的可决系数后发现：用多项式中的二次函数拟合其可决系数较高，因此选择多项式中的二次函数进行拟合，最终拟合出9条放电曲线的函数图像，并获得各放电函数方程。然后对高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1的每组数据进行筛选，让每组数据的差值控制在±0.005之内，然后再根据“最大间隔”条件，分别从9个电流对应的电压值中筛选出231个样本点，之后计算平均相对误差MRE后，根据所得模型计算出9.8 V时电池的放电时间，再用高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1各电流对应的最低保护电压对应的放电时间减去9.8 V的放电时间后，分别得到30 A、40 A、50 A、60 A和70 A电流强度电池的剩余放电时间。
针对问题二，与问题一的解法类似，由问题一得出的结论对每个电流数筛选出来的231个点重新用Excel工具进行拟合，得出新的各放电函数方程，再利用电流数与ai（I），bi（I），ci（I）的数据组成3组数据，应用回归软件进行拟合，确定3个待定系数方程，得出任一恒定电流的放电曲线数学模型，并用MRE对模型进行精度评估，并以此绘制出55 A对应的表格、图形和放电曲线。
针对问题三，先根据高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件2的电压、衰减状态3的数据，应用Excel工具进行拟合，得出其对应的衰减曲线方程，将最低保护电压9 V带入，得出放电时间，减去已经放电的时间596.2 min，求得预测出衰减状态3的剩余放电时间。
5 模型的建立和求解
5.1 问题一
第一步，选择高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题附件1给定的9个电流所对应的电压、放电时间为数据源，应用Excel工具作出9组数据对应的散点图，再选择相应的函数进行二次项系数拟合，得出9条对应的图形（如图1所示）。
然后我们对图1进行列表（见表2）。
应用多项式的二次项系数拟合曲线时，其可决系数R2>0.95，接近1，可见拟合度很好，因此选择运用二次项系数函数方程表示各放电曲线。9条放电曲线方程（见表2）。
第二步，利用MATLAB软件求出9个放电曲线对应的反函數，再利用Excel工具算出9条放电曲线的已放电时间tij，计算|Tij-tij|后进行数据筛选，然后根据题目给的附件1中MRE定义，先筛选出2个时间点的差值，基本步骤如下：首先计算tij-ti（j-i）；将不符合-0.005≤tij-ti（j-i）≤0.005条件的点删去；再给最大定义中“最大间隔”将累计在±0.005之间的删去；从最低保护电压9 V开始向上找231个点（见表3）。 通过以上步骤，筛选出20 A、30 A、40 A、50 A、60 A和80 A 6个电流对应的231个点，70 A和100 A不到231个点，再次筛选得出70 A符合条件的点为218个、100 A为194个点，根据定义可得平均相对误差公式：
■（1）
再用Excel工具算出9条放电曲线的平均相对误差，结果见表4。
第三步，分别把9.8 V带入30 A、40 A、50 A、60 A、70 A各个电流强度的反函数中进行计算，算出5个放电时间 ti（i=1，2，…，5），列出附件1给定的5个放电曲线在9 V的时间Ti（i=1，2，…，5），得出5个放电曲线的剩余放电时间计算公式如下：
di=Ti-ti（i=1，2，…，5）（2）
将具体数据带入公式（2），得出5个放电曲线的剩余放电时间（见表5）。
5.2 问题二
第一步，根据问题一的结论，以9个电流经过筛选出来的231个样本点为数据，利用MATLAB软件重新进行拟合，得出9个新的放电方程（见表6）。
第二步，以9个电流值与它们所对应的3组系数为数据，应用回归软件进行拟合，得出以下公式：
Y=（-2.75×10-7+6.8×10-9I-2.21×10-10I2）t2
+（0.001 23-3.52×10-5I-1.43×10-7I2）t
+（8.91+0.047 8I-0.000 35I2）t
（20 A≤I≤100 A，I∈Z）
第三步：同理問题一中的平均相对误差计算公式：■，得MRE（见表7）。
由表7可以看出，数学模型的MRE非常小，说明经此模型计算出的数值与题目所给的数据相差较小，精度很高。可以以此模型为基础，建立20～100 A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线。
第四步，将55 A带入公式（2），得出其放电曲线如下：
Z=-0.516 147 133 881 57×10-6t2
-0.821 629 192 877 413×10-3t
+10.454 389 391 9107
结合时间增加2 min的条件，利用Excel的计算工具，算出其对应的电压值（见表8），再对数据进行拟合，得出图形（如图2所示）。
5.3 问题三
第一步，根据附件二所给数据，可以利用Excel工作表绘制出该规格电池在衰减状态3下电压与放电时间的放电函数曲线（如图3所示）。
第二步，再利用Excel工作表，拟合出电池在衰减状态3下的放电拟合曲线，并得到函数表达式：
g=-5.161 471 338 815 7×10-7t2
-82 162 919 287 741 300×10-4t
+10.454 389 391 910 700 000 00
该拟合曲线的可决系数R2=0.996 529 794 84>0.995，接近1，可见拟合度很好。拟合曲线如图4所示。
第三步，利用MATLAB软件，求出拟合曲线函数表达式的反函数（如图5所示）。
第四步，计算出当电池电压为9 V时，衰减状态3的放电时间（如图6所示）。
第五步，用在衰减状态3下，计算出的9 V的放电时间减去数据给出的最大放电时间得到剩余放电时间为Q=1 061.836-596.2=465.6（min）。
6 结果分析
由模型重新合算的9条放电曲线可决系数已原来的可决系数进行比较（见表9）。
从表9中可以看出，根据新的可决系数比原可决系数要高。
7 模型的评价
本文应用了Excel表格工具、MATLAB软件对数据进行函数拟合、数据筛选、作图等，构建出放电曲线的初等模型，准确性较好，拟合程度高，通用性强，简单易懂，能较好地解决题目的问题。当然，筛选时数据较多，得到的值存在一定的误差，因此本模型的分析方法仍有待提高和改进。
参 考 文 献
[1]赵静，但琦.数学建模与数学实验[M].北京：高等教育出版社，2008.
[2]谢金星，薛毅.LINDO/LINGO软件[M].北京：清华大学出版社2005.
[3]胡剑凉，孙晓君.MATLAB数学实验[M].北京：高等教育出版社，2006.
[责任编辑：钟声贤]