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函数是整个中学乃至大学的一个重点内容。函数的思想贯穿了整个中学、大学，具有极其广泛的应用价值。按目前的数学大纲，中学阶段主要学习了一次函数、二次函数、反比例函数，三角函数形式等，其中二次函数在目前的教材中安排在初三，也起了一种承上启下的作用。对它们学习的好坏，直接关系着高中继续学习的难易程度问题，本文结合日常教学经验，谈谈函数的发展以及教学中应注意的几个问题。
一、函数的发展
早在 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1718 年约翰·贝努利（BernoulliJohann，瑞，1667-1748）才在萊布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉（L.Euler，瑞，1707-1783）就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号 f（x）。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数）。
19 世纪，维布伦（Veblen，美，1880-1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其他对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。1930 年新的现代函数定义为，若对集合 M 的任意元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y = f（x）.元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20 世纪 40 年代，物理学研究的需要发现了一种叫做 Dirac - δ 函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于 1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的 Dirac - δ 函数等概念统一了起来.因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。
二、函数教学在中学数学中的现状分析
我们在初三时引入函数概念，要求学生掌握函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。高一时用“映射”来刻画函数概念。我国教材中函数概念引入方式为：实际例子（问题）→数学解答→从过程中提炼出函数概念.这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辩证思维能力的发展。在函数概念教学中，加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生数学能力，逐步提高学生分析问题、解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，因此，我们应很好的引导学生利用互联网资源自主学习，很好地培养学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而且是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。
三、函数概念教学的几点思考
1.注重函数概念的早期渗透
函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，代数式、方程的研究已渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展 ， 积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。
2.注重学生学习函数概念的心理建构过程
建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中.在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：①问题中所研究的两个变量是相互联系的。②其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。③对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。
3.注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合
由于初中学生，思维较为单一，认识比较具体，注意力不够持久，并且函数的概念比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。
4.注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。
一、函数的发展
早在 17 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。1718 年约翰·贝努利（BernoulliJohann，瑞，1667-1748）才在萊布尼兹函数概念的基础上，对函数概念进行了明确定义：由任一变量和常数的任一形式所构成的量，贝努利把变量 x 和常量按任何方式构成的量叫“x 的函数”，其在函数概念中所说的任一形式，包括代数式子和超越式子。18世纪中叶欧拉（L.Euler，瑞，1707-1783）就给出了非常形象的，一直沿用至今的函数符号 f（x）。欧拉给出的定义是：一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数，并进一步把它区分为代数函数（只有自变量间的代数运算）和超越函数（三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所表示的函数），还考虑了“随意函数”（表示任意画出曲线的函数）。
19 世纪，维布伦（Veblen，美，1880-1960）用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通过集合概念，把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了，且打破了“变量是数”的极限，变量可以是数，也可以是其他对象（点、线、面、体、向量、矩阵等）。1930 年新的现代函数定义为，若对集合 M 的任意元素 x，总有集合 N 确定的元素 y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 y = f（x）.元素 x 称为自变元，元素 y 称为因变元。函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，20 世纪 40 年代，物理学研究的需要发现了一种叫做 Dirac - δ 函数，它只在一点处不为零，而它在全直线上的积分却等于 1，这在原来的函数和积分的定义下是不可思议的，但由于广义函数概念的引入，把函数、测度及以上所述的 Dirac - δ 函数等概念统一了起来.因此，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展。
二、函数教学在中学数学中的现状分析
我们在初三时引入函数概念，要求学生掌握函数概念的形式化定义，用“变量”来描述函数概念。高一时用“映射”来刻画函数概念。我国教材中函数概念引入方式为：实际例子（问题）→数学解答→从过程中提炼出函数概念.这种方式更注重函数概念引入的系统性，从两个阶段入手，多层面，多角度地向学生介绍了以“变量”为基础的函数古典定义以及以“集合”为基础的现代函数定义，所呈现的函数概念结构较系统和完整，有利于学生基础知识和基本技能的熟练掌握，但学生对“对应关系”往往缺乏充分的理解，并且函数概念引入时间较晚，定义方式理论性较强，比较抽象，不利于学生深入理解函数思想的实质，以及自身辩证思维能力的发展。在函数概念教学中，加强了函数与其他学科知识的联系，并且结合各种现代教育技术初步培养学生数学能力，逐步提高学生分析问题、解决实际问题的能力。但常常局限于用计算器进行简单求解，用计算机辅助教学等内容，因此，我们应很好的引导学生利用互联网资源自主学习，很好地培养学生动手操作能力，调动学生积极思维，有利于学生树立正确的数学观，即数学不仅是书本上呈现的知识，而且是广泛存在于我们的生活空间，拥有非常丰富的信息载体，学生应通过自主的学习行为去领略书本以外的数学世界。
三、函数概念教学的几点思考
1.注重函数概念的早期渗透
函数概念的培养在小学已经开始了，进入中学，代数式、方程的研究已渗透了这一观念，任何一个含有字母的代数式，就可以看作它所含字母的函数。所以教师可以在教学中，根据相关内容向学生渗透函数的思想，如代数式的学习，让学生了解到量与量之间的依存性；通过数的概念的发展 ， 积累学生关于“集合”概念的初步思想；通过数轴和坐标的教学，渗透关于“对应”概念的初步思想等。通过这样的铺垫，学生在接触到严谨而抽象的集合函数概念时，易于接受。
2.注重学生学习函数概念的心理建构过程
建构主义学习理论认为：应把学生看成是学生主动的建构活动，学习应与一定的知识、背景即情境相联系；在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有的知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但易于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中.在函数概念教学中，可以适当采用引导讨论，注重分析、启发、反馈，先从实际问题引入概念，然后揭示函数概念的共同特性：①问题中所研究的两个变量是相互联系的。②其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化。③对第一个变量在某一范围内的每一个确定的值，第二个变量都有唯一确定的值与它对应。同时从阅读、练习中巩固概念，再从讨论、反馈中深化概念，让学生自己完成从具体到抽象的过程，避免概念教学的抽象与枯燥，使学生深入理解函数的实质，从而让学生较好地完成函数概念的建构。
3.注重函数概念与信息技术的适时性、适度性结合
由于初中学生，思维较为单一，认识比较具体，注意力不够持久，并且函数的概念比较抽象，学生学习普遍感到困难，因此在教学过程中应创设一些知识情境，借助现代教学手段多媒体进行教学，让学生在轻松愉快的氛围中进行学习。应用信息技术时要根据教学需要，学生需求和课堂教学过程中出现的情况适时使用，并且运用要适度，掌握分寸，避免过量信息钝化学生的思维。函数概念教学中，教师可以借助于几何画板、图形计算器等现代教学工具辅助教学，鼓励学生上机操作，观察函数图象的变化过程，引导学生交流与讨论，更好的学习和理解函数。
4.注重函数概念的实际应用
抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的，因此在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如银行的利率表、数学用表、股势走势图，让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系等等。这样学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，使学生相应的数学能力得到充分的培养与发展。