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【内容摘要】如何更有效的发展学生的数学思维能力，在数学教学中是一个非常重要的课题。加强学生思维能力的培养，既能增强学生数学学习的兴趣，激发学生学习的主动性，又利于提升学生运用数学知识解决实际问题的能力，从而减轻师生教与学的负担。本文将结合实例论述培养数学思维能力的一个重要途径——变式教学，及其对促进思维能力发展所起的重要作用。
【关键词】变式 数学思维
“学生的数学学习活动应当是生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。简单重复的机械训练，会容易使学生产生厌倦心理，不爱学数学，觉得数学非常枯燥、抽象和复杂。另一方面，初中学生的数学思维能力还不成熟，思考问题容易停留在表面的认知，不能透过表象看本质;或者习惯由因到果的思维方式，缺乏从不同角度去探索问题的途径;又或者思维定势，不注重变换思维的方式。如何帮助学生突破上述的数学思维障碍，同时又避免简单重复的机械训练，充分调动学生学习的积极性，增强学生学习的兴趣和信心呢？“变式教学”就是一个很好的载体，在变式中掌握一类题目的方法，则会以少胜多，以少致精，满足新课程标准的需要，具有时效性;同时对于学生思维能力的延伸和拓展具有很强的适用性。
一、变式教学与数学思维能力
“变式”——变更原题中的非本质特征。是对教学中的问题进行不同角度，不同层次，不同背景的变式。例如，可以变换问题中的某些条件或结论，或者配置实际应用中各种环境或使背景异化，可以转换问题的具体内容或表现形式，不过这些变更都要保持概念或问题的本质不变。
不管是表面特征变化的水平变式，亦或是结构变化的垂直变式，都重在关注展现知识发生、发展过程。由于数学问题的结构和演变过程的变化，从而创设出暴露思维障碍的情境，引发解决问题的思维过程，这样有利于有效训练和培养学生的思维。
通过一系列的变式来培养能力的关键是培养学生良好的思维品质。即通过有意识的引导学生从“变”的表象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。从而形成一种思维训练的有效模式。
二、水平变式
以“重复”源问题来实现表面形式变化的水平变式，主要是让学生通过“重复”学会模仿，举一反三，水平变式反映的是量的问题。
1.通过水平变式题的适当“重复”透表求里
例1：如图等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为____________
解析：问题的关键在于，利用外角性质，∠ADC=∠B ∠BAD，得到∠EDC=∠BAD，从而利用△ABD∽△DCE去求△ABC的边长。
这两道题（尤其是变式题），如果从角之间的数量关系出发去求解，就比较复杂，而且易错。但是如果引导学生作辅助线画圆，就可以一目了然，化繁为简。通过已知问题的解决，激活未知问题诞生，通过新旧知识的对比联系，加深对知识点本质的理解，这样的水平变式可以引导学生举一反三、触类旁通。著名的教学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”水平变式就是这样的蘑菇，它有效地降低了问题的难度，增强了学生的学习信心，而且有利于学生梳理知识的内在联系，总结规律，培养学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法。
三、垂直变式
以“突破”源问题来实现数学结构变化的垂直变式，反映的是质的问题。垂直变式题恰到好处的“突破”，使得学生思维融会贯通，从而进一步螺旋式提升学生分析问题、解决问题的能力。
1.利用反例变式，培养学生思维的严谨性和批判性。
教学时，有意识的设置一些陷阱，通过反例变式的训练去刺激学生，让其“吃一堑，长一智”。
例3：如图5，点M是反比例函数y=5x的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，则为S阴影=____________.
（变式）如图6，直线x=t（t>0）与反比例函数y=2x，y=kx的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，若△ABC的面积为32，则k=____________
解析：学生大多知道过双曲线上的点作x轴，y轴的垂线段，得到的矩形面积等于︱k︱，但是反过来，如果已知矩形的面积，他们经常错误的认为k就是矩形的面积，而忽视k为负数的情形。变式中，学生首先需要寻找△ABC的面积与两个反比例系数2和k的关系，然后才能确定k的值。这两个步骤都需要思维的灵活性和严谨性，通过这个变式可以暴露学生在这类题型上的思维短视和常见错误，从而加深印象。
2.运用逆向变式培养逆向思维能力
数学是思维的体操，思维可以是单向的、多向的。逆向思维是正向思维的反向方式。通过转换思维方式，可以培养学生另辟蹊径，拓展思路，探索性地学习。通过多样性和经常性的正逆双向思维交替，可以培养学生综合运用知识的能力，进一步逐步优化学生的思维品质。
例4：如图7，已知四边形ABDC中，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E， AB=AC BD，则AC∥BD吗？请说明理由。
变式1：如图7，已知AC∥BD，EA平分∠CAB，CD过点E， AB=AC BD，EB分别平分∠DBA吗？请说明理由。
變式2：如图7，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC BD相等吗？请说明理由。
当逆命题与原命题同真时，可用于训练学生的逆向思维。当逆命题与原命题真假性相反时，引导学生举出反例，促使学生进行双向辨析，使学生对相关问题理解得更清晰、透彻。教师经常把个别、特殊事物概括为一般原则、方法，让学生辨析对错，同时又把一般原则、方法运用到个别、特殊事例，就会使学生领悟个体与整体、特殊与一般的区别与联系，通过这样多角度、全方位的思考，可以引导学生找到发现新知识、认识新知识的突破口。
3.利用一题多解培养学生思维的灵活性
著名数学家波利亚曾经说过，掌握数学就意味着要善于解题。因为思考问题的角度不同而得到多种思路，从而对所学知识加以融会贯通，激发思维火花，培养学生思维的灵活性。通过比较各方法之间的关系与优劣，使学生学会分析、比较、概括、总结。这样的一题多解可以收到“讲好一题，带活一片”的效果。
通过学生讨论、交流不同方法，教师点拨巩固了所学知识，既达到了认知目标，也培养了学生思维的灵活性、变通性和创造性。在教学中教师利用解题过程进行变式训练，引导学生广泛建立知识联系，加深对各章知识的理解，拓宽思路，有利于培养学生的数学素养。
结语
变式训练，不要“变”得过于简单，也不能“变”得过难。过于简单的变式是“机械重复劳动”，不利于培养学生的思维质量;难度“变”得过大，容易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，所以选题变式时要根据所教内容的不同，所教学生层次的不同，精心的设计水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”，同时结合课堂教学进行适当的调整和改变。梯度合适、层次分明，才能使不同层次的学生各有所得，才能激发学生学习的热情。水平变式题“重复”到一定程度后，自然会“突破”量变，走向质变。因此，在适当的时候，抛出垂直变式题，以达到水到渠成的效果。综上所述，既能合理安排水平变式的“量”，又能合理安排垂直变式的“度”，才能达到既有量的积累，又有质的飞跃，促进学生在已有的认知水平的基础上，数学的知识结构和数学能力都能循序渐进，从而达到螺旋上升式的发展。
【参考文献】
[1]雷玲.中学数学名师教学艺术[M].华东师范大学出版社， 2014.
[2]文学荣.做智慧的教师——提升课堂教学实效应关注的55个问题[M].四川教育出版社， 2006.
[3]卢敏玲，庞永欣，植佩敏.课堂学习研究：如何照顾学生个别差异[M].教育科学出版社，2006.
[4]周万林.加强变式教学，培养思维品质[J].数学教学研究，2000（3）：10-12.
（作者单位：广州市第五中学）
【关键词】变式 数学思维
“学生的数学学习活动应当是生动活泼的、主动的和富有个性的过程”。简单重复的机械训练，会容易使学生产生厌倦心理，不爱学数学，觉得数学非常枯燥、抽象和复杂。另一方面，初中学生的数学思维能力还不成熟，思考问题容易停留在表面的认知，不能透过表象看本质;或者习惯由因到果的思维方式，缺乏从不同角度去探索问题的途径;又或者思维定势，不注重变换思维的方式。如何帮助学生突破上述的数学思维障碍，同时又避免简单重复的机械训练，充分调动学生学习的积极性，增强学生学习的兴趣和信心呢？“变式教学”就是一个很好的载体，在变式中掌握一类题目的方法，则会以少胜多，以少致精，满足新课程标准的需要，具有时效性;同时对于学生思维能力的延伸和拓展具有很强的适用性。
一、变式教学与数学思维能力
“变式”——变更原题中的非本质特征。是对教学中的问题进行不同角度，不同层次，不同背景的变式。例如，可以变换问题中的某些条件或结论，或者配置实际应用中各种环境或使背景异化，可以转换问题的具体内容或表现形式，不过这些变更都要保持概念或问题的本质不变。
不管是表面特征变化的水平变式，亦或是结构变化的垂直变式，都重在关注展现知识发生、发展过程。由于数学问题的结构和演变过程的变化，从而创设出暴露思维障碍的情境，引发解决问题的思维过程，这样有利于有效训练和培养学生的思维。
通过一系列的变式来培养能力的关键是培养学生良好的思维品质。即通过有意识的引导学生从“变”的表象中发现“不变”的本质，从“不变”中探求规律。从而形成一种思维训练的有效模式。
二、水平变式
以“重复”源问题来实现表面形式变化的水平变式，主要是让学生通过“重复”学会模仿，举一反三，水平变式反映的是量的问题。
1.通过水平变式题的适当“重复”透表求里
例1：如图等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为____________
解析：问题的关键在于，利用外角性质，∠ADC=∠B ∠BAD，得到∠EDC=∠BAD，从而利用△ABD∽△DCE去求△ABC的边长。
这两道题（尤其是变式题），如果从角之间的数量关系出发去求解，就比较复杂，而且易错。但是如果引导学生作辅助线画圆，就可以一目了然，化繁为简。通过已知问题的解决，激活未知问题诞生，通过新旧知识的对比联系，加深对知识点本质的理解，这样的水平变式可以引导学生举一反三、触类旁通。著名的教学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”水平变式就是这样的蘑菇，它有效地降低了问题的难度，增强了学生的学习信心，而且有利于学生梳理知识的内在联系，总结规律，培养学生运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法。
三、垂直变式
以“突破”源问题来实现数学结构变化的垂直变式，反映的是质的问题。垂直变式题恰到好处的“突破”，使得学生思维融会贯通，从而进一步螺旋式提升学生分析问题、解决问题的能力。
1.利用反例变式，培养学生思维的严谨性和批判性。
教学时，有意识的设置一些陷阱，通过反例变式的训练去刺激学生，让其“吃一堑，长一智”。
例3：如图5，点M是反比例函数y=5x的图象上一点，过M点作x轴、y轴的平行线，则为S阴影=____________.
（变式）如图6，直线x=t（t>0）与反比例函数y=2x，y=kx的图象分别交于B、C两点，A为y轴上的任意一点，若△ABC的面积为32，则k=____________
解析：学生大多知道过双曲线上的点作x轴，y轴的垂线段，得到的矩形面积等于︱k︱，但是反过来，如果已知矩形的面积，他们经常错误的认为k就是矩形的面积，而忽视k为负数的情形。变式中，学生首先需要寻找△ABC的面积与两个反比例系数2和k的关系，然后才能确定k的值。这两个步骤都需要思维的灵活性和严谨性，通过这个变式可以暴露学生在这类题型上的思维短视和常见错误，从而加深印象。
2.运用逆向变式培养逆向思维能力
数学是思维的体操，思维可以是单向的、多向的。逆向思维是正向思维的反向方式。通过转换思维方式，可以培养学生另辟蹊径，拓展思路，探索性地学习。通过多样性和经常性的正逆双向思维交替，可以培养学生综合运用知识的能力，进一步逐步优化学生的思维品质。
例4：如图7，已知四边形ABDC中，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E， AB=AC BD，则AC∥BD吗？请说明理由。
变式1：如图7，已知AC∥BD，EA平分∠CAB，CD过点E， AB=AC BD，EB分别平分∠DBA吗？请说明理由。
變式2：如图7，已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC BD相等吗？请说明理由。
当逆命题与原命题同真时，可用于训练学生的逆向思维。当逆命题与原命题真假性相反时，引导学生举出反例，促使学生进行双向辨析，使学生对相关问题理解得更清晰、透彻。教师经常把个别、特殊事物概括为一般原则、方法，让学生辨析对错，同时又把一般原则、方法运用到个别、特殊事例，就会使学生领悟个体与整体、特殊与一般的区别与联系，通过这样多角度、全方位的思考，可以引导学生找到发现新知识、认识新知识的突破口。
3.利用一题多解培养学生思维的灵活性
著名数学家波利亚曾经说过，掌握数学就意味着要善于解题。因为思考问题的角度不同而得到多种思路，从而对所学知识加以融会贯通，激发思维火花，培养学生思维的灵活性。通过比较各方法之间的关系与优劣，使学生学会分析、比较、概括、总结。这样的一题多解可以收到“讲好一题，带活一片”的效果。
通过学生讨论、交流不同方法，教师点拨巩固了所学知识，既达到了认知目标，也培养了学生思维的灵活性、变通性和创造性。在教学中教师利用解题过程进行变式训练，引导学生广泛建立知识联系，加深对各章知识的理解，拓宽思路，有利于培养学生的数学素养。
结语
变式训练，不要“变”得过于简单，也不能“变”得过难。过于简单的变式是“机械重复劳动”，不利于培养学生的思维质量;难度“变”得过大，容易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心，所以选题变式时要根据所教内容的不同，所教学生层次的不同，精心的设计水平变式题的“量”和垂直变式题的“度”，同时结合课堂教学进行适当的调整和改变。梯度合适、层次分明，才能使不同层次的学生各有所得，才能激发学生学习的热情。水平变式题“重复”到一定程度后，自然会“突破”量变，走向质变。因此，在适当的时候，抛出垂直变式题，以达到水到渠成的效果。综上所述，既能合理安排水平变式的“量”，又能合理安排垂直变式的“度”，才能达到既有量的积累，又有质的飞跃，促进学生在已有的认知水平的基础上，数学的知识结构和数学能力都能循序渐进，从而达到螺旋上升式的发展。
【参考文献】
[1]雷玲.中学数学名师教学艺术[M].华东师范大学出版社， 2014.
[2]文学荣.做智慧的教师——提升课堂教学实效应关注的55个问题[M].四川教育出版社， 2006.
[3]卢敏玲，庞永欣，植佩敏.课堂学习研究：如何照顾学生个别差异[M].教育科学出版社，2006.
[4]周万林.加强变式教学，培养思维品质[J].数学教学研究，2000（3）：10-12.
（作者单位：广州市第五中学）