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摘 要:立体几何对培养学生逻辑思维能力、空间想象力、创造能力有着独特的作用,本人通过近年来的初步探索,受到一些启发。
关键词:立体几何 补形 正方体 长方体 三棱柱
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章編号:1673-9795(2012)01(c)-0034-01
立体几何教学在于培养学生的空间想象能力,并能具有严密的逻辑思维能力,对于图形的知觉认知非常重要,当我们对基本图形的特征较为熟悉时,好多问题可以化简为繁。
2011广东高考题:
如图1所示,将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面水平向右平移得到的,分别为的中点,分别为的中点。
(1)证明:四点共面;
(2)设为中点,延长到,使得,证明:。
此题由于字母较多,学生看后容易头晕,所以学生不容易发现其规律,尤其第二问的证明,其实将HB和O2O｀2连接后,此时就出现了长方体HO1O2B-H｀O1｀O2｀B｀,再在这个长方体中研究垂直问题,就显得非常轻松。
(1)易得:∵,,∴,∴共面。
(2)∵,,在长方体HO1O2B-H｀O1｀O2｀B｀中∴,∴。
延长至,使=,连结,,交于点,显然。
在正方形中,==,
∴,
∴=°,
∴°,即,
∴,∴。
其实立体几何中补形是一个非常重要的方法,我们要善于去讲我们不熟悉的图形转化为我们比较熟悉的图形中,比如,长方体,正方体和棱柱,棱锥中,补形法重在补,巧妙地对几何体实施补形,化不规则图形为规则图形,或将难于解决的图形问题转化为我们比较容易解决的问题,然后再利用熟知的方法处理即可。
我们也经常为简化计算,将原图形补充为我们熟悉的问题,有这样两道立体几何题,同学在处理是要不很繁琐要不无从下手。
例1:一个棱长均为的四面体,它的外接球的表面积是多少?
这道题我们可以将四面体补充为一个正方体,如图2用正方体来解决问题,由于正方体中由六条对角线构成的四面体正好满足棱长均相等的条件限制,所以这个正方体的外接球半径及为四面体的外接球半径,所以2R=,
R=,所以表面积为,
此题当然可以用其他方法解决,但比此方法要繁琐,
所以补形以后使题目的解决变得方便快捷。
还有这样一道求体积的问题。
例2:如图3:△ABC中,AB=8、BC=10、AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5。求:此几何体的体积？
这是一个不规则图形,所以在解决过程中学生无从下手,但我们运用补形法可以很快将问题转化为我们所熟悉的一个直三棱柱,如图3。此时V几何体=V三棱柱,所以问题立即得到解决。
所以当我们对于基础图形较为熟悉时,我们可以不断将这些图形分割,组合,多角度思维,逆向思维,创造性思维,只有这样,我们才能灵活运用基础图形解决复杂问题,将不规则图形补充为基础图形。数学有联系紧密的知识结构,数学知识本身就是一个创生和发展的过程,数学可以提供学生发现的方法和思维的策略,能够给学生以智慧和力量,学生就有可能实现数学知识的“再创造”。
关键词:立体几何 补形 正方体 长方体 三棱柱
中图分类号:G633.6 文献标识码:A 文章編号:1673-9795(2012)01(c)-0034-01
立体几何教学在于培养学生的空间想象能力,并能具有严密的逻辑思维能力,对于图形的知觉认知非常重要,当我们对基本图形的特征较为熟悉时,好多问题可以化简为繁。
2011广东高考题:
如图1所示,将高为2,底面半径为1的直圆柱沿过轴的平面切开后,将其中一半沿切面水平向右平移得到的,分别为的中点,分别为的中点。
(1)证明:四点共面;
(2)设为中点,延长到,使得,证明:。
此题由于字母较多,学生看后容易头晕,所以学生不容易发现其规律,尤其第二问的证明,其实将HB和O2O｀2连接后,此时就出现了长方体HO1O2B-H｀O1｀O2｀B｀,再在这个长方体中研究垂直问题,就显得非常轻松。
(1)易得:∵,,∴,∴共面。
(2)∵,,在长方体HO1O2B-H｀O1｀O2｀B｀中∴,∴。
延长至,使=,连结,,交于点,显然。
在正方形中,==,
∴,
∴=°,
∴°,即,
∴,∴。
其实立体几何中补形是一个非常重要的方法,我们要善于去讲我们不熟悉的图形转化为我们比较熟悉的图形中,比如,长方体,正方体和棱柱,棱锥中,补形法重在补,巧妙地对几何体实施补形,化不规则图形为规则图形,或将难于解决的图形问题转化为我们比较容易解决的问题,然后再利用熟知的方法处理即可。
我们也经常为简化计算,将原图形补充为我们熟悉的问题,有这样两道立体几何题,同学在处理是要不很繁琐要不无从下手。
例1:一个棱长均为的四面体,它的外接球的表面积是多少?
这道题我们可以将四面体补充为一个正方体,如图2用正方体来解决问题,由于正方体中由六条对角线构成的四面体正好满足棱长均相等的条件限制,所以这个正方体的外接球半径及为四面体的外接球半径,所以2R=,
R=,所以表面积为,
此题当然可以用其他方法解决,但比此方法要繁琐,
所以补形以后使题目的解决变得方便快捷。
还有这样一道求体积的问题。
例2:如图3:△ABC中,AB=8、BC=10、AC=6,DB⊥平面ABC,且AE∥FC∥BD,BD=3,FC=4,AE=5。求:此几何体的体积？
这是一个不规则图形,所以在解决过程中学生无从下手,但我们运用补形法可以很快将问题转化为我们所熟悉的一个直三棱柱,如图3。此时V几何体=V三棱柱,所以问题立即得到解决。
所以当我们对于基础图形较为熟悉时,我们可以不断将这些图形分割,组合,多角度思维,逆向思维,创造性思维,只有这样,我们才能灵活运用基础图形解决复杂问题,将不规则图形补充为基础图形。数学有联系紧密的知识结构,数学知识本身就是一个创生和发展的过程,数学可以提供学生发现的方法和思维的策略,能够给学生以智慧和力量,学生就有可能实现数学知识的“再创造”。