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摘要:数学来源于生活,在某种意义上,整个世界就是数学的世界,生活中处处有数学,时时有数学问题的生成。生活中的许多实际问题可以用数学加以解决。但是,考虑到实际问题的复杂性和学生的实际,数学应用问题的教学也应该把握一个度。本文从如何设置生活化的数学问题,培养学生的数学化能力谈了几点,对提高教师应用数学问题的教学有借鉴的意义。
关键词:生活化;教学实例;生活情境;应用题;数学化能力
教师在课堂教学中设计恰当的案例、实际情境和实际问题,能使学生切实体验到“数学就在自己身边”,经历用数学解决生活中的实际问题的过程,可以激发学生的求知欲望,培养学生数学化的能力。反之,教师在教学过程中如果只是重视数学知识的传授,很少关注数学知识与实际生活有哪些联系,这样学生便只会“纸上谈兵”,不会解决与所学知识有关的实际问题,造成知识学习与知识应用的脱节。因此,设计生活化的数学问题是培养学生数学化的能力、提高学生数学思维和数学应用意识的有效途径。那么,教师应当如何设计生活化的数学问题,培养学生的数学化能力呢?
《数学课程标准》指出:“数学教学应结合学生生活实际问题和已有知识,使学生在认识、使用和学习数学知识的过程中,初步体验数学与现实生活的密切联系。”因此,教师在教学过程中,应尽量通过设置教学实例、情境,对数学知识(特别是一些概念、定理等)做“生活化”的处理,进而培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
一、 教学实例的设计要从知识点的本质和背景出发
众所周知,数学中有很多抽象而又复杂的知识点(包括概念、公式和定理等),其实它们都是以很多生活中的某些对象和内容作为研究的现象和背景材料的。如果教师能够在准确地理解和掌握概念的内涵和外延的基础上,帮助学生从一大堆非形式化的素材中脱离出来,并在学生的头脑中形成一个具体而鲜明的原型,培养学生的数学化的能力,那么就可以防止学生凭主观印象、直觉思维,形成片面的甚至错误的结论,从而加深对知识点的理解了。
例如在教学“排列”“组合”这两个概念时,可设置这样两个问题:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
问题2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,有多少种不同的选法?
问题1、2分别针对“排列”“组合”这两个概念而设置,教师在讲解两个概念之前,可以有意识地设置这两个实例情境,引导学生对“实例”加以对比和区分,通过分析,使学生注意到“问题1中对选出的2名同学安排了不同的任务”而“问题2中对选出的2名同学没做要求”,进而使其对“排列”“组合”有一个初步的掌握,为后面概念的再学习奠定了基础。
二、 知识点的讲解要合理地创设贴近生活的情境
很多的学生都是处于不同思维水平阶段的,他们往往拥有不同层次的生活背景和经验,掌握着不同形式的数学语言,也具有不同程度的数学化水平。所以,设置实例、创设生活情境要遵循学生思维水平发展的规律。一般而言,只有遵循思维发展和认知过程的规律,在不同的思维阶段,提出不同的数学化要求,才能循序渐进并取得预期的效果。实例和实际情境的设置必须适合学生现有的现实生活背景和生活经验,不能超越其现有水平;若作盲目的跳跃式提高,往往会适得其反,欲速则不达。
例如,对于“平面”这段教学内容:
生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、地面都给我们以平面的形象。
几何里所说的“平面”就是从这样一些物体中抽象出来的。但是,几何的平面是无限延展的。
学生学习“平面”这一概念往往是似懂非懂,对平面的本质属性搞不清楚,容易犯把平面与平面图形等同起来的错误,而忽略了平面的本质属性是“平的”“无限延展的”。因此,教师在讲解这一概念时,可这样设置情境:
(1)引导学生区分“平静的水面”与“有波浪的水面”,来体会平面是“平的”;
(2)学习了公理1“如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内”这一命题后,教师可设置情境:如果平面不是“平的”,那么一定存在这样一条直线,它有两个点在这个面上,而有些点不在这个面上,学生通过否定这个假设,从而理解平面是“平的”;
(3)教师设置情境:直线是无限延伸的,直线又在平面内,从而理解平面也是无限延展的。
教学中教师应组织学生讨论,使学生能够发现命题内容事实,然后从逻辑上把他们整理成系统,这会更快地发展学生的思维能力并使之真正理解学习材料。教师不应该将各种规则、定理灌输给学生,而应该创造合适的条件,提供很多具体的例子,让学生在实践活动中,自己“再创造”或是“再发现”有关的定理。因此,对于各种概念和原理的学习,应该根据学生自己的体验,用自己的思维方式,去重新创造出“新”的数学知识。教师的作用在于创设命题的发现和猜想的情境,给学生提供“充分表现”的机会,把发明创造的空间留给学生,这样做才有利于培养学生的数学化意识。
三、 应用题的设置更应该来源生活,回归生活
课堂教学生活化过程中必须精心设置应用题,来补充课本例题或习题。
使学生能够将所具有的数学知识和理论合理迁移和恰当应用,是数学教学的重点。那么,如何能更好地培养学生利用已经掌握的数学知识解决实际问题、提高数学化能力,是课堂教学的另一个难点。我们应客观分析教学内容,结合教材,精心选择、设计一些应用题来实施课堂教学。
比如,教师在讲解“等差、等比数列”时,应注意引入经济活动中诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等实际问题,这类问题大多归结为数列问题,设置此类题目,可有效地培养学生通过建立相应的数列模型来解决实际问题。
例如,银行按规定每经过一定时间结算存(贷)款的利息一次,结息后即将利息并入本金,这种计算利息的方法叫做复利。现有某企业进行技术改造,有两种方案:甲一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙每年贷款1万元,第一年也可获利1万元,以后每年比前一年多获利5 000元。两方案使用期限都是10年,到期一次性归还本息。若银行贷款利息按年息的复利计算,试比较两个方案哪个获利更多?
解析:甲方案10年获利是每年获利数组成的等比数列的前10项和:
1 (1 30) (1 30%)2 L (1 30)9=42.62万元
到期时银行贷款的本息为:10(1 10%)10=25.94万元。
净获利42.62-25.94=16.68万元。
乙方案逐年获利组成一个等差数列,10年共获利为该等差数列的前10项和:1 (1 0.5) (1 20.5) (1 3×0.5) L (1 9×0.5)=32.50万元
而到期时银行贷款的本息为:1.1[1 (1 10%) L (1 10%)9]=17.04万元。
净获利32.50-17.04=15.46万元。
比较得出:甲方案比乙方案获利更多。
总之,要提高数学应用题的人文性,教师必须向学生提供现实的生活材料,以激发学生研究数学问题的兴趣,并随时引导学生努力把所学的数学知识应用到实际生活中去,解决身边的数学问题,了解数学在现实生活中的应用,体会学习数学的重要性,真正认识到数学知识与现实问题之间有着密切的联系,从而让数学成为大众数学、生活数学。同时,课堂中数学应用题的取材应尽量来源于学生的生活,使学生更熟悉、更密切、更容易得到,这样就更能调动学生的学习兴趣,也有利于培养学生生活化的数学能力。
(江苏省惠山职业教育中心校)
关键词:生活化;教学实例;生活情境;应用题;数学化能力
教师在课堂教学中设计恰当的案例、实际情境和实际问题,能使学生切实体验到“数学就在自己身边”,经历用数学解决生活中的实际问题的过程,可以激发学生的求知欲望,培养学生数学化的能力。反之,教师在教学过程中如果只是重视数学知识的传授,很少关注数学知识与实际生活有哪些联系,这样学生便只会“纸上谈兵”,不会解决与所学知识有关的实际问题,造成知识学习与知识应用的脱节。因此,设计生活化的数学问题是培养学生数学化的能力、提高学生数学思维和数学应用意识的有效途径。那么,教师应当如何设计生活化的数学问题,培养学生的数学化能力呢?
《数学课程标准》指出:“数学教学应结合学生生活实际问题和已有知识,使学生在认识、使用和学习数学知识的过程中,初步体验数学与现实生活的密切联系。”因此,教师在教学过程中,应尽量通过设置教学实例、情境,对数学知识(特别是一些概念、定理等)做“生活化”的处理,进而培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
一、 教学实例的设计要从知识点的本质和背景出发
众所周知,数学中有很多抽象而又复杂的知识点(包括概念、公式和定理等),其实它们都是以很多生活中的某些对象和内容作为研究的现象和背景材料的。如果教师能够在准确地理解和掌握概念的内涵和外延的基础上,帮助学生从一大堆非形式化的素材中脱离出来,并在学生的头脑中形成一个具体而鲜明的原型,培养学生的数学化的能力,那么就可以防止学生凭主观印象、直觉思维,形成片面的甚至错误的结论,从而加深对知识点的理解了。
例如在教学“排列”“组合”这两个概念时,可设置这样两个问题:
问题1:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,其中1名同学参加上午的活动,另1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法?
问题2:从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动,有多少种不同的选法?
问题1、2分别针对“排列”“组合”这两个概念而设置,教师在讲解两个概念之前,可以有意识地设置这两个实例情境,引导学生对“实例”加以对比和区分,通过分析,使学生注意到“问题1中对选出的2名同学安排了不同的任务”而“问题2中对选出的2名同学没做要求”,进而使其对“排列”“组合”有一个初步的掌握,为后面概念的再学习奠定了基础。
二、 知识点的讲解要合理地创设贴近生活的情境
很多的学生都是处于不同思维水平阶段的,他们往往拥有不同层次的生活背景和经验,掌握着不同形式的数学语言,也具有不同程度的数学化水平。所以,设置实例、创设生活情境要遵循学生思维水平发展的规律。一般而言,只有遵循思维发展和认知过程的规律,在不同的思维阶段,提出不同的数学化要求,才能循序渐进并取得预期的效果。实例和实际情境的设置必须适合学生现有的现实生活背景和生活经验,不能超越其现有水平;若作盲目的跳跃式提高,往往会适得其反,欲速则不达。
例如,对于“平面”这段教学内容:
生活中的一些物体通常呈平面形,课桌面、黑板面、地面都给我们以平面的形象。
几何里所说的“平面”就是从这样一些物体中抽象出来的。但是,几何的平面是无限延展的。
学生学习“平面”这一概念往往是似懂非懂,对平面的本质属性搞不清楚,容易犯把平面与平面图形等同起来的错误,而忽略了平面的本质属性是“平的”“无限延展的”。因此,教师在讲解这一概念时,可这样设置情境:
(1)引导学生区分“平静的水面”与“有波浪的水面”,来体会平面是“平的”;
(2)学习了公理1“如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内”这一命题后,教师可设置情境:如果平面不是“平的”,那么一定存在这样一条直线,它有两个点在这个面上,而有些点不在这个面上,学生通过否定这个假设,从而理解平面是“平的”;
(3)教师设置情境:直线是无限延伸的,直线又在平面内,从而理解平面也是无限延展的。
教学中教师应组织学生讨论,使学生能够发现命题内容事实,然后从逻辑上把他们整理成系统,这会更快地发展学生的思维能力并使之真正理解学习材料。教师不应该将各种规则、定理灌输给学生,而应该创造合适的条件,提供很多具体的例子,让学生在实践活动中,自己“再创造”或是“再发现”有关的定理。因此,对于各种概念和原理的学习,应该根据学生自己的体验,用自己的思维方式,去重新创造出“新”的数学知识。教师的作用在于创设命题的发现和猜想的情境,给学生提供“充分表现”的机会,把发明创造的空间留给学生,这样做才有利于培养学生的数学化意识。
三、 应用题的设置更应该来源生活,回归生活
课堂教学生活化过程中必须精心设置应用题,来补充课本例题或习题。
使学生能够将所具有的数学知识和理论合理迁移和恰当应用,是数学教学的重点。那么,如何能更好地培养学生利用已经掌握的数学知识解决实际问题、提高数学化能力,是课堂教学的另一个难点。我们应客观分析教学内容,结合教材,精心选择、设计一些应用题来实施课堂教学。
比如,教师在讲解“等差、等比数列”时,应注意引入经济活动中诸如增长率、降低率、存款复利、分期付款等实际问题,这类问题大多归结为数列问题,设置此类题目,可有效地培养学生通过建立相应的数列模型来解决实际问题。
例如,银行按规定每经过一定时间结算存(贷)款的利息一次,结息后即将利息并入本金,这种计算利息的方法叫做复利。现有某企业进行技术改造,有两种方案:甲一次性贷款10万元,第一年便可获利1万元,以后每年比前一年增加30%的利润;乙每年贷款1万元,第一年也可获利1万元,以后每年比前一年多获利5 000元。两方案使用期限都是10年,到期一次性归还本息。若银行贷款利息按年息的复利计算,试比较两个方案哪个获利更多?
解析:甲方案10年获利是每年获利数组成的等比数列的前10项和:
1 (1 30) (1 30%)2 L (1 30)9=42.62万元
到期时银行贷款的本息为:10(1 10%)10=25.94万元。
净获利42.62-25.94=16.68万元。
乙方案逐年获利组成一个等差数列,10年共获利为该等差数列的前10项和:1 (1 0.5) (1 20.5) (1 3×0.5) L (1 9×0.5)=32.50万元
而到期时银行贷款的本息为:1.1[1 (1 10%) L (1 10%)9]=17.04万元。
净获利32.50-17.04=15.46万元。
比较得出:甲方案比乙方案获利更多。
总之,要提高数学应用题的人文性,教师必须向学生提供现实的生活材料,以激发学生研究数学问题的兴趣,并随时引导学生努力把所学的数学知识应用到实际生活中去,解决身边的数学问题,了解数学在现实生活中的应用,体会学习数学的重要性,真正认识到数学知识与现实问题之间有着密切的联系,从而让数学成为大众数学、生活数学。同时,课堂中数学应用题的取材应尽量来源于学生的生活,使学生更熟悉、更密切、更容易得到,这样就更能调动学生的学习兴趣,也有利于培养学生生活化的数学能力。
(江苏省惠山职业教育中心校)