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[摘 要] 让学生爱上数学，爱上数学课，享受数学带来的快乐，是小学数学课堂教学所追求的的理想目标。特级教师沈百军通过猜想、验证、双向思维训练、变式等思维方法，构建了一个和谐的师生、生生开放互动的教学环境，让学生体验了数学学习的快乐，使老师享受了教学的乐趣，值得借鉴。
[关键词] 教与学 快乐教学 小学教育
数学学习应作为一种乐趣、一种享受、一种数学奇境的探索与渴望，让学生在奇妙的数学情境中成为具有“创新意识与实践能力”的探索者、体验者，用自己的策略探索解决数学问题，体验数学的神奇与价值，徜徉于生活数学、活动数学、探索数学的快乐生活之中。作为数学教学的核心部分——课堂教学，如何用心建构“教得称心，学得开心”的快乐教学模式，让学生感受到数学学习的乐趣从而快乐地学习数学；让老师尝试到课堂教学的欢乐从而充满新鲜和活力。特级教师沈百军老师执教的人教版三年级上册的《可能性》这节课例，为我们做了最好的诠释。
【片段一】
课件出示三个布袋：1号布袋里有4个白球；2号布袋里有4个黄球；3号布袋里有2个白球，2个黄球。
师：小精灵说他只要拿到1个黄球就能顺利过关，请你帮小精灵选一选，他该选几号袋？
生：选2号袋最保险。
师：为什么呢？
生1：1号袋子，4个都是白球，不可能摸到黄球。
生2：2号袋子，4个都是黄球，一定能摸到黄球。
生3：3号袋子，2个白球，2个黄球，可能摸到白球，也可能摸到黄球。
师：一定是这样的吗？我们来验证一下。
实践环节：
1.师拿出一个不透明的布袋，放进4个白球，请几个学生摸球，看看是否能摸到黄球。（实践结果：不可能摸到黄球）
2.师拿出4个白球，放进4个黄球，请几个学生摸球，看看是否能摸到黄球。（实践结果：一定能摸到黄球）
3.师拿出4个黄球，放进2个白球，2个黄球，猜一下你能摸到什么球？写在练习纸上，请3个同学摸球，猜中的站起来。通过实践，有没有每个人都站起来。而刚才在验证2号袋时每个人都站起来了，为什么？
师板书：确定 不确定（可能性）
【感悟】
数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假设，是一种合理推理。
在上述教学环节中，沈老师没有直接把结论告诉学生，而是鼓励学生大胆猜想，在3个袋子里摸球，可能摸到什么球？猜想，既是问题解决过程中的一个必由过程，也是学生学会自主探究并解决问题的一种必备的能力。猜想是否有价值，最终要接受实践的验证。于是在学生猜想环节之后，沈老师进一步进行追问，“一定是这样的吗？我们来验证一下。”只有引导学生把猜想和验证有机结合起来，猜想才具有意义。
上课伊始的第一个环节，就安排了“猜测——验证”的环节，进行摸球的游戏，把学生的思维充分地调动起来，主动地参与到学习活动中，初尝数学的快乐。
【片段二】
师：在2个白球，2个黄球的袋子中再加2个黑球，说说你可能摸到什么球？
生1：可能摸到白球。
生2：可能摸到黄球。
生3：可能摸到黑球。
师：谁能把会摸到的这几种情况用一句话来表达？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，还可能摸到黑球。
师：如果再放进2个红球呢？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，也可能摸到黑球，还可能摸到红球。
师：说得太好了，那你觉得可能摸到绿球吗？
生：不可能摸到绿球，袋子里没有绿球。
师：通过这个摸球游戏，你学会了什么？
……
【感悟】
数学的本质是思维过程，学生的思维习惯于进行顺向思维，有2个白球，2个黄球的袋子中加2个黑球，再加2个红球，你会摸到什么颜色的球？这种根据条件找问题的方法，能被学生所熟练地应用，但是如果遇到逆向的思维，学生经常就会受阻。当沈老师问：“说得太好了，那你觉得可能摸到绿球吗？”这种由顺而倒，由正及反的思维方式，正是要培养学生思维的还原意识；培养学生逆向思维的意识。看似不经意的一句话，一个教学环节，却体现了沈老师注重训练学生双向思维解题能力的思想，也只有这样，才能更加深刻地理解知识，提高认知水平。
在这一教学环节中我们还深刻地体会到沈老师想要教给学生严谨的数学，规范简洁的数学语言，当沈老师问：“谁能把会摸到的这几种情况用一句话来表达？”，在这样的引导下，学生“可能……可能……也可能……还可能……”的话就自然而然地出来了。
【片段三】
师：通过刚才的学习，我们对可能性的问题有了一定的了解，现在拿出练习纸，认真读题，仔细做。
①吃饭时，有人（ ）用左手拿筷子。
②太阳（ ）从西边升起来。
③世界上每天（ ）有人出生。
④连续投两次硬币，朝上的面（ ）是正面朝上。
⑤两位数乘一位数的积（ ）是三位数。
⑥有三张扑克牌（3，6，7），任意摸两张。两张的点数和（ ）是11。
学生独立完成后。
师：上面6道题，谁有疑问？
生：我对第3小题的答案不能确定。
师：谁能帮他解决？
生1：我认为世界上每天（ 可能 ）有人出生。
生2：我觉得世界上每天（一定 ）有人出生。
师：到底是哪一个答案正确呢？我们一起来看一个资料。（师点开一个超链接，通过学习资料，问题得到解决） 师：谁还有疑问？
生：第6小题我不知道如何解决？
师：谁想到了好办法？
生：……
【感悟】
学生独立练习后，习惯于听老师对习题进行解答，可沈老师没有对练习的6道题一道一道地进行评析，而是通过“上面6道题，谁有疑问？”把问题又抛给了学生。当学生提出问题后，沈老师还是没有自己解答，同样地“谁能帮他解决？”让学生共同探讨进行解决，老师只是作相机引导，巧妙点拨。这样的课堂，把个体生命发展的主动权还给学生，使课堂成为师生人生中一段重要的生命经历。
课堂是一个师生、生生之间平等交流的开放性平台，这一过程中时空共有、内容共创、意义共生、成功共享。正是课堂的充分开放，才为问题的生成提供了广阔的时空。同时，它也让我们明白：真实的学习过程是一个渐进的、多层次和多角度的非线性序列，是师生及多种因素间动态的相互作用的推进过程。
【片段四】
师：1个袋子里有2个白球，2个黄球，任意摸一个球，可能摸到什么球？
生：可能摸到白球，也可能摸到黄球。
师：1个袋子里有3个白球，1个黄球，任意摸一个球，可能摸到什么球？
生：可能摸到白球，也可能摸到黄球。
师：两种情况的结论一样吗？
生：一样
师：那如果摸10次，结论还一样吗？对第二种情况我们来实践验证一下，看看摸到白球和黄球的次数一样吗？
生小组合作验证，组长安排组员摸球顺序和记录员，比一比，哪一组又快又安静地验证完毕。
师：请各小组汇报你们摸球十次白球黄球的次数。
学生汇报，教师做相应的板书。
球的颜色 黄色 白色
摸到次数 4次
3次
3次
2次
3次
2次 6次
7次
7次
8次
7次
8次
师：你有什么发现吗？
生：我们发现摸到白球的次数比较多。
师：在一个袋子里，6个白球，有1个黄球，任意摸一个，结果会怎样？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，摸到白球的可能性大一些。
师：那如果袋子里有9个白球，1个黄球，任意摸一个，结果会怎样？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，摸到白球的可能性大很多。
师：那袋子里如果有9999个白球，1个黄球，任意摸一个，结果又会怎样？
生：可能摸到白球，也可能摸到黄球，但摸到黄球的可能性几乎没有。
……
【感悟】
著名的教学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”由此可见，在数学教学中，由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，就能使我们发现问题的本质，并能深入挖掘出其潜在的数学思想方法，揭示其丰富的内涵。这就是数学教学中的变式训练问题，是值得数学教师研究、探讨的问题。
在沈老师的课堂中，变式训练也无处不在。1个袋子里有2个白球2个黄球，和1个袋子里有3个白球1个黄球，任意摸一个球，都有可能摸到白球或黄球，两种情况的答案是一样的。但是“如果摸10次，结论还一样吗？”简单的一句话，让变式训练不露痕迹地展现在孩子们的面前。这种训练增强了知识的长度、宽度和深度，培养了学生多角度、全方位考虑问题的能力，有助于学生提高分析问题、解决问题的能力。而当沈老师引申到“6个白球1个黄球，9个白球1个黄球，9999个白球1个黄球中任意摸一个，结果会怎样？”这种生动活泼、宽松自由的氛围，特别是9999这个特殊的数字，一下子吸引了三年级的小学生，激发了他们探求知识的欲望，开拓了思路、活跃了思维，而最终的目的是得出白球的个数越多，摸到的可能性就越大这个结论，掌握最基础的知识。
【启示】
“学生是天生的学习者，学习本来就应该像呼吸一样自然。”听了沈老师的课，觉得他的课就像是一个磁场，这个磁场不但激发了学生的学习兴趣， 而且吸引学生去思考、去合作、去探究，让学生享受到了数学学习的快乐。这种快乐也感染着听课的每一位老师，他们和孩子们一起享受着课堂学习的快乐与幸福。
在沈老师的课堂上，非常关注学生怎样学。课堂上，一切以学生为主体，以促进学生知识的自主建构为教学的根本目标。通过设计精巧的教学环节，促使他们积极主动地参与学习活动，让他们感受、经历、体验数学思考的过程，引导学生真正踏实地掌握知识。同时，还注重“真知真能”的培养，让学生在学习过程中养成良好的学习习惯，培养自主、探究、合作学习的能力，掌握学习数学的方法。
在沈老师的课堂上，非常注重教师怎样教。首先，创设了愉悦和谐的课堂气氛。亲切、幽默、风趣，还有脸上自然的微笑，实现了认知与情感的统一；精心设计的教学环节，创造性的课堂练习，为学生创设了有利于思考、探索的情景，为学生创造性思维能力的发展创造条作；以热情的鼓励、殷切的期待、巧妙的疏导与学生思维共振，情感共鸣；在先进的教育思想引导下，他以自己独特的教学艺术，把学生推到自主学习的舞台上，达到促进学生积极主动发展的目的。
希望借此课堂案例评析，能引起老师们的思考，也愿我们的数学课堂能如此课一样，尽显生气、灵气、大气，体现数学的本质，展现数学的魅力。
[关键词] 教与学 快乐教学 小学教育
数学学习应作为一种乐趣、一种享受、一种数学奇境的探索与渴望，让学生在奇妙的数学情境中成为具有“创新意识与实践能力”的探索者、体验者，用自己的策略探索解决数学问题，体验数学的神奇与价值，徜徉于生活数学、活动数学、探索数学的快乐生活之中。作为数学教学的核心部分——课堂教学，如何用心建构“教得称心，学得开心”的快乐教学模式，让学生感受到数学学习的乐趣从而快乐地学习数学；让老师尝试到课堂教学的欢乐从而充满新鲜和活力。特级教师沈百军老师执教的人教版三年级上册的《可能性》这节课例，为我们做了最好的诠释。
【片段一】
课件出示三个布袋：1号布袋里有4个白球；2号布袋里有4个黄球；3号布袋里有2个白球，2个黄球。
师：小精灵说他只要拿到1个黄球就能顺利过关，请你帮小精灵选一选，他该选几号袋？
生：选2号袋最保险。
师：为什么呢？
生1：1号袋子，4个都是白球，不可能摸到黄球。
生2：2号袋子，4个都是黄球，一定能摸到黄球。
生3：3号袋子，2个白球，2个黄球，可能摸到白球，也可能摸到黄球。
师：一定是这样的吗？我们来验证一下。
实践环节：
1.师拿出一个不透明的布袋，放进4个白球，请几个学生摸球，看看是否能摸到黄球。（实践结果：不可能摸到黄球）
2.师拿出4个白球，放进4个黄球，请几个学生摸球，看看是否能摸到黄球。（实践结果：一定能摸到黄球）
3.师拿出4个黄球，放进2个白球，2个黄球，猜一下你能摸到什么球？写在练习纸上，请3个同学摸球，猜中的站起来。通过实践，有没有每个人都站起来。而刚才在验证2号袋时每个人都站起来了，为什么？
师板书：确定 不确定（可能性）
【感悟】
数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假设，是一种合理推理。
在上述教学环节中，沈老师没有直接把结论告诉学生，而是鼓励学生大胆猜想，在3个袋子里摸球，可能摸到什么球？猜想，既是问题解决过程中的一个必由过程，也是学生学会自主探究并解决问题的一种必备的能力。猜想是否有价值，最终要接受实践的验证。于是在学生猜想环节之后，沈老师进一步进行追问，“一定是这样的吗？我们来验证一下。”只有引导学生把猜想和验证有机结合起来，猜想才具有意义。
上课伊始的第一个环节，就安排了“猜测——验证”的环节，进行摸球的游戏，把学生的思维充分地调动起来，主动地参与到学习活动中，初尝数学的快乐。
【片段二】
师：在2个白球，2个黄球的袋子中再加2个黑球，说说你可能摸到什么球？
生1：可能摸到白球。
生2：可能摸到黄球。
生3：可能摸到黑球。
师：谁能把会摸到的这几种情况用一句话来表达？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，还可能摸到黑球。
师：如果再放进2个红球呢？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，也可能摸到黑球，还可能摸到红球。
师：说得太好了，那你觉得可能摸到绿球吗？
生：不可能摸到绿球，袋子里没有绿球。
师：通过这个摸球游戏，你学会了什么？
……
【感悟】
数学的本质是思维过程，学生的思维习惯于进行顺向思维，有2个白球，2个黄球的袋子中加2个黑球，再加2个红球，你会摸到什么颜色的球？这种根据条件找问题的方法，能被学生所熟练地应用，但是如果遇到逆向的思维，学生经常就会受阻。当沈老师问：“说得太好了，那你觉得可能摸到绿球吗？”这种由顺而倒，由正及反的思维方式，正是要培养学生思维的还原意识；培养学生逆向思维的意识。看似不经意的一句话，一个教学环节，却体现了沈老师注重训练学生双向思维解题能力的思想，也只有这样，才能更加深刻地理解知识，提高认知水平。
在这一教学环节中我们还深刻地体会到沈老师想要教给学生严谨的数学，规范简洁的数学语言，当沈老师问：“谁能把会摸到的这几种情况用一句话来表达？”，在这样的引导下，学生“可能……可能……也可能……还可能……”的话就自然而然地出来了。
【片段三】
师：通过刚才的学习，我们对可能性的问题有了一定的了解，现在拿出练习纸，认真读题，仔细做。
①吃饭时，有人（ ）用左手拿筷子。
②太阳（ ）从西边升起来。
③世界上每天（ ）有人出生。
④连续投两次硬币，朝上的面（ ）是正面朝上。
⑤两位数乘一位数的积（ ）是三位数。
⑥有三张扑克牌（3，6，7），任意摸两张。两张的点数和（ ）是11。
学生独立完成后。
师：上面6道题，谁有疑问？
生：我对第3小题的答案不能确定。
师：谁能帮他解决？
生1：我认为世界上每天（ 可能 ）有人出生。
生2：我觉得世界上每天（一定 ）有人出生。
师：到底是哪一个答案正确呢？我们一起来看一个资料。（师点开一个超链接，通过学习资料，问题得到解决） 师：谁还有疑问？
生：第6小题我不知道如何解决？
师：谁想到了好办法？
生：……
【感悟】
学生独立练习后，习惯于听老师对习题进行解答，可沈老师没有对练习的6道题一道一道地进行评析，而是通过“上面6道题，谁有疑问？”把问题又抛给了学生。当学生提出问题后，沈老师还是没有自己解答，同样地“谁能帮他解决？”让学生共同探讨进行解决，老师只是作相机引导，巧妙点拨。这样的课堂，把个体生命发展的主动权还给学生，使课堂成为师生人生中一段重要的生命经历。
课堂是一个师生、生生之间平等交流的开放性平台，这一过程中时空共有、内容共创、意义共生、成功共享。正是课堂的充分开放，才为问题的生成提供了广阔的时空。同时，它也让我们明白：真实的学习过程是一个渐进的、多层次和多角度的非线性序列，是师生及多种因素间动态的相互作用的推进过程。
【片段四】
师：1个袋子里有2个白球，2个黄球，任意摸一个球，可能摸到什么球？
生：可能摸到白球，也可能摸到黄球。
师：1个袋子里有3个白球，1个黄球，任意摸一个球，可能摸到什么球？
生：可能摸到白球，也可能摸到黄球。
师：两种情况的结论一样吗？
生：一样
师：那如果摸10次，结论还一样吗？对第二种情况我们来实践验证一下，看看摸到白球和黄球的次数一样吗？
生小组合作验证，组长安排组员摸球顺序和记录员，比一比，哪一组又快又安静地验证完毕。
师：请各小组汇报你们摸球十次白球黄球的次数。
学生汇报，教师做相应的板书。
球的颜色 黄色 白色
摸到次数 4次
3次
3次
2次
3次
2次 6次
7次
7次
8次
7次
8次
师：你有什么发现吗？
生：我们发现摸到白球的次数比较多。
师：在一个袋子里，6个白球，有1个黄球，任意摸一个，结果会怎样？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，摸到白球的可能性大一些。
师：那如果袋子里有9个白球，1个黄球，任意摸一个，结果会怎样？
生：可能摸到白球，可能摸到黄球，摸到白球的可能性大很多。
师：那袋子里如果有9999个白球，1个黄球，任意摸一个，结果又会怎样？
生：可能摸到白球，也可能摸到黄球，但摸到黄球的可能性几乎没有。
……
【感悟】
著名的教学教育家波利亚曾形象地指出：“好问题同某种蘑菇有些相像，它们都成堆地生长，找到一个以后，你应当在周围找找，很可能附近就有好几个。”由此可见，在数学教学中，由一个基本问题出发，运用类比、联想、特殊化和一般化的思维方法，探索问题的发展变化，就能使我们发现问题的本质，并能深入挖掘出其潜在的数学思想方法，揭示其丰富的内涵。这就是数学教学中的变式训练问题，是值得数学教师研究、探讨的问题。
在沈老师的课堂中，变式训练也无处不在。1个袋子里有2个白球2个黄球，和1个袋子里有3个白球1个黄球，任意摸一个球，都有可能摸到白球或黄球，两种情况的答案是一样的。但是“如果摸10次，结论还一样吗？”简单的一句话，让变式训练不露痕迹地展现在孩子们的面前。这种训练增强了知识的长度、宽度和深度，培养了学生多角度、全方位考虑问题的能力，有助于学生提高分析问题、解决问题的能力。而当沈老师引申到“6个白球1个黄球，9个白球1个黄球，9999个白球1个黄球中任意摸一个，结果会怎样？”这种生动活泼、宽松自由的氛围，特别是9999这个特殊的数字，一下子吸引了三年级的小学生，激发了他们探求知识的欲望，开拓了思路、活跃了思维，而最终的目的是得出白球的个数越多，摸到的可能性就越大这个结论，掌握最基础的知识。
【启示】
“学生是天生的学习者，学习本来就应该像呼吸一样自然。”听了沈老师的课，觉得他的课就像是一个磁场，这个磁场不但激发了学生的学习兴趣， 而且吸引学生去思考、去合作、去探究，让学生享受到了数学学习的快乐。这种快乐也感染着听课的每一位老师，他们和孩子们一起享受着课堂学习的快乐与幸福。
在沈老师的课堂上，非常关注学生怎样学。课堂上，一切以学生为主体，以促进学生知识的自主建构为教学的根本目标。通过设计精巧的教学环节，促使他们积极主动地参与学习活动，让他们感受、经历、体验数学思考的过程，引导学生真正踏实地掌握知识。同时，还注重“真知真能”的培养，让学生在学习过程中养成良好的学习习惯，培养自主、探究、合作学习的能力，掌握学习数学的方法。
在沈老师的课堂上，非常注重教师怎样教。首先，创设了愉悦和谐的课堂气氛。亲切、幽默、风趣，还有脸上自然的微笑，实现了认知与情感的统一；精心设计的教学环节，创造性的课堂练习，为学生创设了有利于思考、探索的情景，为学生创造性思维能力的发展创造条作；以热情的鼓励、殷切的期待、巧妙的疏导与学生思维共振，情感共鸣；在先进的教育思想引导下，他以自己独特的教学艺术，把学生推到自主学习的舞台上，达到促进学生积极主动发展的目的。
希望借此课堂案例评析，能引起老师们的思考，也愿我们的数学课堂能如此课一样，尽显生气、灵气、大气，体现数学的本质，展现数学的魅力。