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随着生活水平的提高,人们吃的大都是精粮,粗粮吃得很少。粗粮是相对于稻米、小麦、白面等精粮而言的一种称呼,主要是指包括玉米、高粱、小米、燕麦、薯类及各种豆类等食品。如今人们已意识到,长期吃过于精细的食物对健康并无好处,经常吃些粗粮是对健康有益的。笔者把这种饮食观与数学教学观结合起来,认为应让学生也吃些“数学粗粮”。
1、何谓“数学粗粮”
在实际教学中,笔者把教师为学生提供的习题以及现行数学教材中的习题比喻成“数学精粮”,这种习题代表性强,易于操作,但指向性太强,基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的,学生在学习中往往是机械地模仿训练。
笔者提到的“数学粗粮”是指数学开放题。一般来说,一个数学问题,如果它的条件不完备、答案不唯一或者有多种解法,并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索,就称这个数学问题为开放题。相对于传统的封闭题而言,开放题主要有2个特点。1)开放题并不是普通的数学问题,而是为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题。一道数学题的开放性在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式,即使是一道传统的封闭性数学题,也可以通过改变其设问方式而将其改编为具有开放性的习题,要求学生进行多方面、多角度、多层次的探索。2)条件多余需选择、条件不足需补充或答案不唯一或者有多种解法,在解题过程中,学生可以用自己喜欢的方式解答,可以把自己的知识、技能以各种方式结合,去发现新的思想方法。
2、如何选择设计适合的“数学粗粮”
根据“数学粗粮”(即数学开放题)的特点,教师在选择设计适合的“数学粗粮”“食谱”时,既可以采取拿来主义,如引用现成的开放题,也可把“原材料”(及学习材料)进行加工设计,大致有以下基本类型。
2.1 题型结构开放型
1)条件开放型。条件开放题是根据题中所给的结论、要求,从不同的角度去寻找获得解决这个结论的条件。如补充条件题:“(
),学校3个年级共有学生多少人?(在整数范围内根据问题补充条件后解答)”该题要补充的条件全部开放,要求学生展开联想,发散思维,提出各种不同的可以解决问题的条件。
2)选择条件型。例:计算图1所示平行四边形的面积(单位:厘米)。笔者有意给出4条边和2条高的长度数据,要求学生选择图形中相关的数据计算平行四边形的面积。这样设计有助于学生找准关键条件,理解对应边与对应高。
3)多余条件型。例:“学校图书室共有图书7 200本,其中有文艺书600本,科技书480本。如果把这些书全部放在书架上,平均每个书架放250本,需要这样的书架多少个?”题中已知条件“文艺书600本,科技书480本”是多余条件,这样将有用条件和无用条件混杂在一起,形成干扰因素,让学生根据题意进行分析选择。
2.2 结论开放型:这类开放题是指提供一定的条件,可以是既满足条件,且所得结论的意义相同的问题:也可以是提供一定的条件,满足条件的结论往往有多种的题型。这需要学生灵活运用所学的知识,善于突破常规,进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题。
2.3 综合开放型:某一数学问题,若题目的条件、解题策略或结论中有2项以上不确定,则为综合开放题。综合开放题可以是同学科的,也可以是跨学科的。
2.4 操作开放题:该类题是比较好的数学开放题形式,充分体现了“让学生在做中学”的数学观念,促使学生动手操作实践能力的提高。例:“有10根小棒,每几根分一份,正好分完,有几种不同的分法?”让学生动手分一分,可以从每2根一份开始,对问题感受一下,然后教师引导学生发现其中的规律。其次,要鼓励学生多猜、多试。
3、“数学粗粮”的益处
“精粮”虽然易吃易消化,但要意识到,长期吃得过于精细必然会引起营养吸收不全面或机能的减弱,这喻示教育工作者要意识到,学生如果长期都依赖“数学精粮”,容易造常“咀嚼、消化”功能(即数学思维能力)的极大减弱,造成“重要营养”(即创新思维)的缺失,因此有必要正视“粗粮”的益处。
数学开放题的教学,倡导教师观念与角色的转变,关注以学生为主体,关注过程与方法、情感态度价值观。在数学开放题的教学中,需要教师成为教学内容和教学活动的设计者、组织者、调控者。另外,数学开放题具有解答的多样性,不像封闭题那样可以依葫芦画瓢,单靠模仿就可以完成,它需要学生通过积极思考、乐于挑战。有时仅靠个人的力量在有限的时间内是难以完成的,这就需要学生之间的合作、讨论、交流,培养交流与合作的能力。开放题解答的多样性和差异性,使其有了优与劣、多与少、简与繁的区别,也正是这种差异的存在,激发了学生的好胜心,对调动学习兴趣,追求思维多样性和独创性起了很大的促进作用。
1、何谓“数学粗粮”
在实际教学中,笔者把教师为学生提供的习题以及现行数学教材中的习题比喻成“数学精粮”,这种习题代表性强,易于操作,但指向性太强,基本上是为了使学生了解和牢记数学结论而设计的,学生在学习中往往是机械地模仿训练。
笔者提到的“数学粗粮”是指数学开放题。一般来说,一个数学问题,如果它的条件不完备、答案不唯一或者有多种解法,并在设问方式上要求学生进行多方面、多角度、多层次探索,就称这个数学问题为开放题。相对于传统的封闭题而言,开放题主要有2个特点。1)开放题并不是普通的数学问题,而是为了达到一定的教育目的而精心编制设计的数学问题。一道数学题的开放性在很大程度上取决于这道题采用何种设问方式,即使是一道传统的封闭性数学题,也可以通过改变其设问方式而将其改编为具有开放性的习题,要求学生进行多方面、多角度、多层次的探索。2)条件多余需选择、条件不足需补充或答案不唯一或者有多种解法,在解题过程中,学生可以用自己喜欢的方式解答,可以把自己的知识、技能以各种方式结合,去发现新的思想方法。
2、如何选择设计适合的“数学粗粮”
根据“数学粗粮”(即数学开放题)的特点,教师在选择设计适合的“数学粗粮”“食谱”时,既可以采取拿来主义,如引用现成的开放题,也可把“原材料”(及学习材料)进行加工设计,大致有以下基本类型。
2.1 题型结构开放型
1)条件开放型。条件开放题是根据题中所给的结论、要求,从不同的角度去寻找获得解决这个结论的条件。如补充条件题:“(
),学校3个年级共有学生多少人?(在整数范围内根据问题补充条件后解答)”该题要补充的条件全部开放,要求学生展开联想,发散思维,提出各种不同的可以解决问题的条件。
2)选择条件型。例:计算图1所示平行四边形的面积(单位:厘米)。笔者有意给出4条边和2条高的长度数据,要求学生选择图形中相关的数据计算平行四边形的面积。这样设计有助于学生找准关键条件,理解对应边与对应高。
3)多余条件型。例:“学校图书室共有图书7 200本,其中有文艺书600本,科技书480本。如果把这些书全部放在书架上,平均每个书架放250本,需要这样的书架多少个?”题中已知条件“文艺书600本,科技书480本”是多余条件,这样将有用条件和无用条件混杂在一起,形成干扰因素,让学生根据题意进行分析选择。
2.2 结论开放型:这类开放题是指提供一定的条件,可以是既满足条件,且所得结论的意义相同的问题:也可以是提供一定的条件,满足条件的结论往往有多种的题型。这需要学生灵活运用所学的知识,善于突破常规,进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题。
2.3 综合开放型:某一数学问题,若题目的条件、解题策略或结论中有2项以上不确定,则为综合开放题。综合开放题可以是同学科的,也可以是跨学科的。
2.4 操作开放题:该类题是比较好的数学开放题形式,充分体现了“让学生在做中学”的数学观念,促使学生动手操作实践能力的提高。例:“有10根小棒,每几根分一份,正好分完,有几种不同的分法?”让学生动手分一分,可以从每2根一份开始,对问题感受一下,然后教师引导学生发现其中的规律。其次,要鼓励学生多猜、多试。
3、“数学粗粮”的益处
“精粮”虽然易吃易消化,但要意识到,长期吃得过于精细必然会引起营养吸收不全面或机能的减弱,这喻示教育工作者要意识到,学生如果长期都依赖“数学精粮”,容易造常“咀嚼、消化”功能(即数学思维能力)的极大减弱,造成“重要营养”(即创新思维)的缺失,因此有必要正视“粗粮”的益处。
数学开放题的教学,倡导教师观念与角色的转变,关注以学生为主体,关注过程与方法、情感态度价值观。在数学开放题的教学中,需要教师成为教学内容和教学活动的设计者、组织者、调控者。另外,数学开放题具有解答的多样性,不像封闭题那样可以依葫芦画瓢,单靠模仿就可以完成,它需要学生通过积极思考、乐于挑战。有时仅靠个人的力量在有限的时间内是难以完成的,这就需要学生之间的合作、讨论、交流,培养交流与合作的能力。开放题解答的多样性和差异性,使其有了优与劣、多与少、简与繁的区别,也正是这种差异的存在,激发了学生的好胜心,对调动学习兴趣,追求思维多样性和独创性起了很大的促进作用。