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摘 要：逆向思维是一种与正向思维相反的思考方式，将逆向思维应用于数学解题过程中能够让学生突破固定的思维模式。善于使用逆向思维不仅能够使解题变得更加快速、便捷，还能够提高学生的创造力和创新能力。如何在解题教学中巧妙融入逆向思维是教师需要思考并不断探索的问题，文章就在初中数学的解题教学中应用逆向思维的具体方式进行讨论。
关键词：初中数学;解题教学;逆向思维
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）09-0023-02
引 言
逆向思维在数学解题中的应用广泛，不仅可以应用于代数、几何等不同类型的题目，还可以应用于解题的不同步骤，逆向思维的思考角度和方式均与正向思维相反，学会摒弃正向思考的思维定式，秉持严谨的思维逻辑是培养逆向思维的重要前提。教师需要在日常的解题教学中逐渐引导学生脱离思维定式，用严谨的思维进行反向思考，锻炼学生将逆向思维应用于解题的不同步骤。
一、逆向分析，探索数学解题思路
分析题目内容是解题的决定性步骤，只有进行条理清楚的分析和思考，才能在复杂的题目中明晰解题思路，面对复杂的题目描述，学生往往不能顺利地掌握解题思路。针对这种情况，教师需要在课堂中向学生介绍逆向解题的概念，逐渐培养学生逆向思考的习惯。逆向思维是创新型人才的必备素质。数学是思维之花，数学教学的目标就是培养学生的辩证思维，教给学生思考的方法。逆向思维在数学教学的应用有利于学生加强对基础知识的掌握程度，有利于学生构建完整的数学知识体系。
例如，掌握数学定义与公式是学习数学的基础。但是，教师进行新课教学时，只是用一些正面例子介绍数学概念与推理公式，这会限制学生思维，导致学生思维固化。在教师顺向思维的影响下，学生只会顺向考虑而不习惯反向思考，遇到稍微难的题目就做不来，这也是为什么学生常常在数学课上一听就会，一做题就不会。教师需要深入研读数学概念与公式，讲解的时候从正面与反面进行分析，让学生明白灵活运用定理与公式才是解决数学题的关键。教师可以在习题讲解的过程中，选择典型例题为学生进行逆向分析的演示，以此逐渐培养学生的逆向思维。以八年级上册的内容为例，教师可以用“一次函数解决实际问题”的相关习题来举例，教材115页的“问题一”便是一道很好的例题，教师在讲解这道例题时，可以采取以下思路。首先从问题出发，题目中第二问是“工厂每天生产多少件产品时有赢利”，关键词为“赢利”。其次，分析关键词。赢利即收入减去成本，学生需继续分析收入、成本与生产数量的关系，根据题意，收入与成本均与生产数量有函数关系。最后，学生只需写出函数关系便可得出答案。在解决这类问题时，学生常常因赢利、成本等概念，难以形成清晰的解题思路，此时，学生可以利用逆向思维，从待解决的问题出发，反向分析，在分析中寻找关键信息，逐渐厘清解题思路。
二、逆向证明，形成解题一般模式
逆向证明即反证法，是一种以逆向思维为基础进行证明的方式。面对证明题，学生往往因记错或用错原理、没有思路而止步，此时，反证法不失为一种选择。利用逆向思维将证明结果进行假设，再根据假设进行推理，若推理符合事实则假设成立，反之亦然。当学生对证明题手足无措时可利用反证法轻松得出结论，教师可以在课堂中选择例题进行讲解，培养学生逆向证明的意识。
例如，在進行八年级下册内容的讲解时，教师可以选择例题向学生引入反证法的解题方式，学生在之前的学习中初步认识了概率，但他们对随机事件和确定事件的判断仍存在困难。以教材中的例题为例，判断“没有水分，种子发芽”是随机事件、必然事件还是不可能事件，学生在进行判断时，通常会将生活经验作为依据判断，然而在判断时不乏学生将偶然情况作为依据而犹豫不决或判断错误。针对这种情况，教师需要向学生示范以反证法为辅佐帮助判断事件，提高正确率，教师可以按照以下思路为学生讲解。首先，选定一种事件作为假设，比如假设此事件为必然事件。其次，以此为条件进行推理，显而易见，没有水分，种子仍然可以发芽是不符合事实的。最后，得出结论，该事件为必然事件的假设不成立，所以可以排除这种可能。依此类推，直至得出结论。除此以外，反证法还可以应用于代数证明、平面几何证明等证明题，教师引导学生使用反证法辅助解题，既可以为学生提供有效的解题方法，提高解题的正确率，又可以提高学生思维的严谨性。
三、逆向验证，提高学生解题速度
逆向思维能力可以让学生突破顺向思维，从问题的结果或者对立面分析，有利于学生多视角看待问题，拓宽解题思路，活跃学生思维，培养学生敏捷性思维，从而提高学生解题速度和正确率。其中，逆向验证也是逆向思维应用于解题的常用方法，不仅能够提高解题速度，还能够帮助学生进行检查，提高答题正确率。教师需在讲解习题的过程中向学生进行使用逆向思维验证的训练，帮助学生熟练掌握方法，提高解题能力。
例如，在九年级上册的教学内容中，“一元二次方程”是学生极易出错的板块，教师可以在进行该部分习题讲解时让学生使用逆向思维验证习题答案，帮助学生避免低级错误。一元二次方程的解通常不止一个，然而当一元二次方程应用于实际问题时需要学生对方程的解进行取舍，教师需在课堂讲解时通过例题向学生说明验证的重要性。以教材25页的例题为例，该方程有“0.2”和“-2.2”两个解，而该题目中的“x”为利润增长率，不可能为负值，所以学生需要舍去“-2.2”的解，为避免学生忘记舍去不合理的方程解，教师需告知学生将最终答案代入题目中进行检验，思考是否符合事实。试题的形式多种多样，关于“一元二次方程”的单项选择题也是学生出错的高发地。选择题的混淆选项较多加之学生粗心大意，是造成学生出错的“元凶”。针对此类题目，教师更需向学生说明利用逆向思维对选项进行检查的必要性。教师培养学生利用逆向思维对题目结果进行检验，能够帮助学生养成及时检查的良好做题习惯，同时还能大大降低学生的出错率。 四、习题训练，培养逆向分析能力
所谓的逆向思维，就是从命题相反的、对立的方向进行分析的方法。因为有的时候已知条件太少，正向分析无法得出有用的结论，而通过相反的角度思考问题往往能够得出答案。在初中生数学考试中，逆向思维的应用是广泛的，例如，公式逆用、排除法、反证法等。虽然逆向思维在数学解题中的作用很大，但是参加单招考试的初中生可能无法很快掌握逆向思维的应用方法。因此，教育者应该在日常教学工作中培养学生的逆向分析能力，以此提高学生综合素养。在初中解题教学运用逆向思维，可以让数学学困生加强对基础知识的学习，建立对数学学习的信心;也可以让数学优秀生开阔视野，有利于学生发展。
教师可以通过让学生大量练习来提高对逆向思维的熟练运用程度。如搜集一些能够用到逆向思维的题目交给学生练习来培养学生的逆向解题能力。但是需要注意的是，练习不能变成题海战术，如果一味地要求学生做题而不讲究方法的话，学生就会变成刷题的机器人，练习也将变得毫无意义。除了练习做题，在学习知识点时，教师还可以通过让学生对定理公式举反例的方法来培养学生的逆向分析能力。例如，对于数学的极值点和最值点：极值点不一定是最值点，但是最值点一定是极值点。教师可以让学生举出极值点不是最值点但是最值点都是极值点的例子来培养学生的逆向分析能力。
五、借助专项练习，使学生掌握逆向思维能力
结 语
逆向思维与正向思维恰恰相反，使用逆向思维能够转换思考角度，发散思维，将逆向思维应用于解题的不同阶段，可以使其发挥不同作用。教师需引导学生在解题的分析阶段、推理阶段、检验阶段应用逆向思维，进而帮助学生明晰解题思路、轻松完成证明、校正结果，让学生在逆向思考中解决问题，创新解题方法。
[参考文献]
[1]杨阿妹.逆向思维在初中数学解题教学中的应用探讨[J].数理化解题研究，2020（23）：33-34.
[2]王余太.逆向思维应用于初中数学解题教学中的对策探究[J].理科爱好者（教育教学），2019（6）：123-124.
[3]毛晓敏.逆向思维在初中数学解题教学中的应用[J].数学大世界（中旬刊），2019（8）：75.
作者簡介：戚嘉伟（1992— ），男，江苏苏州人，中小学二级教师，数学教师，研究方向：数学教育。
关键词：初中数学;解题教学;逆向思维
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：2095-624X（2021）09-0023-02
引 言
逆向思维在数学解题中的应用广泛，不仅可以应用于代数、几何等不同类型的题目，还可以应用于解题的不同步骤，逆向思维的思考角度和方式均与正向思维相反，学会摒弃正向思考的思维定式，秉持严谨的思维逻辑是培养逆向思维的重要前提。教师需要在日常的解题教学中逐渐引导学生脱离思维定式，用严谨的思维进行反向思考，锻炼学生将逆向思维应用于解题的不同步骤。
一、逆向分析，探索数学解题思路
分析题目内容是解题的决定性步骤，只有进行条理清楚的分析和思考，才能在复杂的题目中明晰解题思路，面对复杂的题目描述，学生往往不能顺利地掌握解题思路。针对这种情况，教师需要在课堂中向学生介绍逆向解题的概念，逐渐培养学生逆向思考的习惯。逆向思维是创新型人才的必备素质。数学是思维之花，数学教学的目标就是培养学生的辩证思维，教给学生思考的方法。逆向思维在数学教学的应用有利于学生加强对基础知识的掌握程度，有利于学生构建完整的数学知识体系。
例如，掌握数学定义与公式是学习数学的基础。但是，教师进行新课教学时，只是用一些正面例子介绍数学概念与推理公式，这会限制学生思维，导致学生思维固化。在教师顺向思维的影响下，学生只会顺向考虑而不习惯反向思考，遇到稍微难的题目就做不来，这也是为什么学生常常在数学课上一听就会，一做题就不会。教师需要深入研读数学概念与公式，讲解的时候从正面与反面进行分析，让学生明白灵活运用定理与公式才是解决数学题的关键。教师可以在习题讲解的过程中，选择典型例题为学生进行逆向分析的演示，以此逐渐培养学生的逆向思维。以八年级上册的内容为例，教师可以用“一次函数解决实际问题”的相关习题来举例，教材115页的“问题一”便是一道很好的例题，教师在讲解这道例题时，可以采取以下思路。首先从问题出发，题目中第二问是“工厂每天生产多少件产品时有赢利”，关键词为“赢利”。其次，分析关键词。赢利即收入减去成本，学生需继续分析收入、成本与生产数量的关系，根据题意，收入与成本均与生产数量有函数关系。最后，学生只需写出函数关系便可得出答案。在解决这类问题时，学生常常因赢利、成本等概念，难以形成清晰的解题思路，此时，学生可以利用逆向思维，从待解决的问题出发，反向分析，在分析中寻找关键信息，逐渐厘清解题思路。
二、逆向证明，形成解题一般模式
逆向证明即反证法，是一种以逆向思维为基础进行证明的方式。面对证明题，学生往往因记错或用错原理、没有思路而止步，此时，反证法不失为一种选择。利用逆向思维将证明结果进行假设，再根据假设进行推理，若推理符合事实则假设成立，反之亦然。当学生对证明题手足无措时可利用反证法轻松得出结论，教师可以在课堂中选择例题进行讲解，培养学生逆向证明的意识。
例如，在進行八年级下册内容的讲解时，教师可以选择例题向学生引入反证法的解题方式，学生在之前的学习中初步认识了概率，但他们对随机事件和确定事件的判断仍存在困难。以教材中的例题为例，判断“没有水分，种子发芽”是随机事件、必然事件还是不可能事件，学生在进行判断时，通常会将生活经验作为依据判断，然而在判断时不乏学生将偶然情况作为依据而犹豫不决或判断错误。针对这种情况，教师需要向学生示范以反证法为辅佐帮助判断事件，提高正确率，教师可以按照以下思路为学生讲解。首先，选定一种事件作为假设，比如假设此事件为必然事件。其次，以此为条件进行推理，显而易见，没有水分，种子仍然可以发芽是不符合事实的。最后，得出结论，该事件为必然事件的假设不成立，所以可以排除这种可能。依此类推，直至得出结论。除此以外，反证法还可以应用于代数证明、平面几何证明等证明题，教师引导学生使用反证法辅助解题，既可以为学生提供有效的解题方法，提高解题的正确率，又可以提高学生思维的严谨性。
三、逆向验证，提高学生解题速度
逆向思维能力可以让学生突破顺向思维，从问题的结果或者对立面分析，有利于学生多视角看待问题，拓宽解题思路，活跃学生思维，培养学生敏捷性思维，从而提高学生解题速度和正确率。其中，逆向验证也是逆向思维应用于解题的常用方法，不仅能够提高解题速度，还能够帮助学生进行检查，提高答题正确率。教师需在讲解习题的过程中向学生进行使用逆向思维验证的训练，帮助学生熟练掌握方法，提高解题能力。
例如，在九年级上册的教学内容中，“一元二次方程”是学生极易出错的板块，教师可以在进行该部分习题讲解时让学生使用逆向思维验证习题答案，帮助学生避免低级错误。一元二次方程的解通常不止一个，然而当一元二次方程应用于实际问题时需要学生对方程的解进行取舍，教师需在课堂讲解时通过例题向学生说明验证的重要性。以教材25页的例题为例，该方程有“0.2”和“-2.2”两个解，而该题目中的“x”为利润增长率，不可能为负值，所以学生需要舍去“-2.2”的解，为避免学生忘记舍去不合理的方程解，教师需告知学生将最终答案代入题目中进行检验，思考是否符合事实。试题的形式多种多样，关于“一元二次方程”的单项选择题也是学生出错的高发地。选择题的混淆选项较多加之学生粗心大意，是造成学生出错的“元凶”。针对此类题目，教师更需向学生说明利用逆向思维对选项进行检查的必要性。教师培养学生利用逆向思维对题目结果进行检验，能够帮助学生养成及时检查的良好做题习惯，同时还能大大降低学生的出错率。 四、习题训练，培养逆向分析能力
所谓的逆向思维，就是从命题相反的、对立的方向进行分析的方法。因为有的时候已知条件太少，正向分析无法得出有用的结论，而通过相反的角度思考问题往往能够得出答案。在初中生数学考试中，逆向思维的应用是广泛的，例如，公式逆用、排除法、反证法等。虽然逆向思维在数学解题中的作用很大，但是参加单招考试的初中生可能无法很快掌握逆向思维的应用方法。因此，教育者应该在日常教学工作中培养学生的逆向分析能力，以此提高学生综合素养。在初中解题教学运用逆向思维，可以让数学学困生加强对基础知识的学习，建立对数学学习的信心;也可以让数学优秀生开阔视野，有利于学生发展。
教师可以通过让学生大量练习来提高对逆向思维的熟练运用程度。如搜集一些能够用到逆向思维的题目交给学生练习来培养学生的逆向解题能力。但是需要注意的是，练习不能变成题海战术，如果一味地要求学生做题而不讲究方法的话，学生就会变成刷题的机器人，练习也将变得毫无意义。除了练习做题，在学习知识点时，教师还可以通过让学生对定理公式举反例的方法来培养学生的逆向分析能力。例如，对于数学的极值点和最值点：极值点不一定是最值点，但是最值点一定是极值点。教师可以让学生举出极值点不是最值点但是最值点都是极值点的例子来培养学生的逆向分析能力。
五、借助专项练习，使学生掌握逆向思维能力
结 语
逆向思维与正向思维恰恰相反，使用逆向思维能够转换思考角度，发散思维，将逆向思维应用于解题的不同阶段，可以使其发挥不同作用。教师需引导学生在解题的分析阶段、推理阶段、检验阶段应用逆向思维，进而帮助学生明晰解题思路、轻松完成证明、校正结果，让学生在逆向思考中解决问题，创新解题方法。
[参考文献]
[1]杨阿妹.逆向思维在初中数学解题教学中的应用探讨[J].数理化解题研究，2020（23）：33-34.
[2]王余太.逆向思维应用于初中数学解题教学中的对策探究[J].理科爱好者（教育教学），2019（6）：123-124.
[3]毛晓敏.逆向思维在初中数学解题教学中的应用[J].数学大世界（中旬刊），2019（8）：75.
作者簡介：戚嘉伟（1992— ），男，江苏苏州人，中小学二级教师，数学教师，研究方向：数学教育。