向量的基础性和工具性一直备受关注.向量集"数"、"形"于一体，既能参与运算，又能表示图形。向量的特征决定了它是数学知识的一个交汇点，运用它容易看到知识之间的内在联系和相互作用，为我们解决数学问题提供了更为广阔的思维空间。有些看似与向量无关的题目，可以通过引入向量，转化为向量问题，避繁就简，且方法新颖。本文举例谈谈构造向量在解题中的应用，旨在抛砖引玉。
　　一、证明
　　例1、设[x，y，z>0，xyz=1]，求证：[x2y+z+y2z+x+z2x+y≥32]
　　证明：构造空间向量：[p=（xy+z，yz+x，zx+z）][q=（y+z，z+x，x+y）]
　　则  [pq=x2y+z+y2z+x+z2z+y?2（x+y+x）]
　　则，有    [2x2y+z+y2z+x+z2z+y≥x+y+z≥3xyz3=3]
　　故     [x2y+z+y2z+x+z2x+y≥32]
　　例2、已知[f（x）=1+x2]，若[a≠b]，求证：[f（a）-f（b）<a-b]
　　证明：构造向量：[p=（1，a）]   [q=（1，b）] 则
　　[f（a）=a]   [f（b）=b]      [p-q=（0，a-b）]
　　[f（a）-f（b）=p-q≤p-q=a-b]（当且仅当[p]，[q]同向时，取等号）
　　又[∵][a≠b]   [∴] [p]，[q]不同向，即不能取等号
　　故  [f（a）-f（b）<a-b]
　　二、求值
　　例3、已知 [cosα-cosβ-cos（α+β）=32]，求锐角[α]，[β]。
　　解：由已知得    [（1-cosα）cosβ+sinαsinβ=32-cosα]   （1）
　　构造向量：[a=（1-cosα，sinα）]    [b=（cosβ，sinβ）]，则
　　[ab=（1-cosα）2+sin2α?cos2β+sin2β=2-2cosα]
　　[∵ab≥a?b]
　　故 [2-2cosα≥32-cosα] 即  [2-2cosα≥（32-cosα）2]
　　[（cosα-12）2≤0][∴]   [cosα=12]   即  [α=π3]
　　将[α=π3]代入（1）式，得[β=π3]
　　例4、求函数[y=x4-3x2-6x+13-x4-x2+1（x∈R）]的最大值。
　　解：函数变形为[y=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2]
　　构造向量：[a=（x-3，x2-2）]     [b=（x，x2-1）] 则
　　[a-b=（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2]
　　[a-b=（-3，-1）]
　　又  [a-b≤a-b]
　　[（x-3）2+（x2-2）2-（x-0）2+（x2-1）2≤（-3）2+（-1）2=10]
　　故函数的最大值为[10]
　　三、解方程（不等式）
　　例5、解方程[x4-3x2+3x4-x2=4]
　　解：构造向量：[a=（x，4-x2）]   [b=（4-3x2，3x）]
　　[ab=x2+（4-x2）2?（4-3x2）2+（3x）2=4]
　　又   [a?b=x4-3x2+3x4-x2=4]
　　[∴ab=a?b]因此[a，b]方向相同      设[a=λb（λ>0）]即
　　[x=λ4-3x24-x2=λ3x]代入原方程有
　　[λ（4-3x2）+λ（3x）2=4]    解得 [λ=1]
　　[x=4-3x24-x2=3x]
　　由此，原方程的根为[x=1]
　　例6.解不等式：[12<x3+2x+32x3+x+1<3]
　　解：设数轴上的三点M、P、N的坐标分别为
　　[xM=12]   [xP=x3+2x+32x3+x+1]    [xN=3]
　　由不等式可知     [MN=λMP（λ>1）]，即
　　[52=λ（x3+2x+32x3+x+1-12）]即     [λ=5（2x3+x+1）3x+5>1]
　　 即   [2x（5x2+1）3x+5>0]     解得
　　[x<-53或x>0]
　　参考文献：
　　[1]常瑞连.中学数学教学参考.应用向量不等式解题的构造策略，2005.11
　　[2]李真.河北理科教学研究.构造向量解题例谈 ，2003.1
　　作者简介：
　　代艳（1977.8～ ）女，湖北 武汉市蔡甸区第二中学，职称：中学一级，研究方面：数学教学，大学本科。