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摘要：对于数学模型思想的共识是‘用数学语言概括地或近似地描述现实世界事物的特征、数量关系和空间形式的一种数学结构’；数学课堂教学围绕模型思想的价值引领开展教学活动，从而建立起数学知识与现实生活之间的桥梁。本文中指出数学建模的过程要有‘生活情景、回归生本、留足空间’等方法从而让学生思维经历‘冲突、猜测、验证、辩析、明确’等过程，由此培养学生学习能力，提升数学素养。
关键词：植树问题；模型思想；数学核心；小学数学
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称《标准》）中明确提出了‘初步形成模型思想’，并具体解释为‘模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。’人教版小学数学教材分“数与代数”“图型几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域，这四大领域所涉及的算法、算理、概念、关系、定律等都蕴含了建模的思想。这就是要求一线的数学老师在教学时充分运用模型思想，并且还要利用知识建模的过程渗透应用意识、学会用数学方法去分析问题、解决问题，并发展创新能力。根据《标准》中的这些要求，我在设计《植树问题》一课时，注重从现实生活中提取问题，带领学生在真实、新奇、有趣、可操作的情景中进入植树研究的模式；让学生在冲突、猜测、验证、讨论、汇报等环节中逐步完成知识的建模过程中，进而使学生在理解知识的同时，数学思维、情感态度和价值观方面都得到充分的发展。新教材将《植树问题》从四年级移至五年级说明这部分内容本身就有难度，而我认为难度最大莫过于当遇到生活中类似问题时，植树的模型如何让学生在脑海里有效的提取，因此在教学设计的练习环节上，在习题的选择上教师既要注重来源于生活又要有植树问题的典型性，促使学生思维跳出课堂，在现实生活中找到植树问题的原型，
从而培养学生的创新精神、应用能力。
一、来源生活，创情景、促建模
1、贴近生活，创设情景。《标准》中关于数学教学内容，有这样一段话“课程内容的选择贴近学生的生活实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”。生活是数学学习的源头活水，课堂中数学的学习内容既来源于生活，又要为生活服务；既要用生活中学生所熟悉的事例来吸引学生，又要有利于学生经历思考与探索；
在设计《植树问题》这一课问题情景上，就是由以上理念为指导，并颇费了一番心思。“植树问题”本身就与生活密切联系，对于这部分的学习内容学生有生活的经验，一定也会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但是新教材把原本4年级学习的内容提到了5年级学习，说明这部分内容是有一定的深度的，再根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握的，关键是学生对于植树的模型难以运用到生活实践当中。所以教师在教学设计时就要想方设法把植树的原型在学生熟悉的生活情景中选取，再逐渐抽象出来，让学生感受到数学就在身边。由此，这一课在设计时教师根据学校门口正在修建一条新的马路，而这条马路又是学校师生进出学校的唯一通道学生应该非常熟悉，师就抓住这一有利因素设计问题情景：先拍摄相关的道路全景照片作为学习素材，再设计马路工人要在马路一边植树的问题情景‘南汇小学门口有一条全长300米的新路，工人叔叔准备先在路的一边植树，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？’。
从课堂的教学效果来看，这种与学生生活紧密联系的情景，真实、新奇、有趣又可操作性，正好满足学生好奇的心理要求，可以激活学生头脑中已有的生活经验。所以课堂一呈现，学生注意力马上被吸引过来，学习的兴趣高涨，对问题的解決个个都跃跃欲试。
2、回归生活，懂得应用。知识来源于生活，最后应用上还要回到生活，去解决生活中的问题。课堂教学中，学生要研究的问题从生活而来，最终还要回到生活去解决实际的问题。所以在应用环节，练习题的选择也是围绕‘解决现实生活中的问题’为原则。
比如在学生建立了植树的三种模型后，就要将所建立的植树模型迁移应用到生活，那么教师就思考生活中哪些情景既蕴含植树模型的特征、又贴近学生生活，让学生有感同身受特别亲切的。经过多方比较，最终确定用学生乘公交车及车站作为练习题，让学生感受生活中的植树问题。事实证明，学生对于公交车站这样的情景由于非常熟悉，所以在用植树问题解决时，能展开充分的想象力将车站想象为一棵棵树，将每两个车站之是的距离，想象成两棵树之间的间距。将课堂上学到的植树模型，进一步拓展到生活，学以致用。
二、回归生本，抓本质、建模型
《标准》中指出‘建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想。’所以数学建模的过程，也是学生抽象思维发展的过程。
学生是课堂的主体，教师只是参与者、引领者。在学生建模的过程中教师只用做好引领工作，在关键处进行讨论和思维的引导，从而促使学生顺利的建模。《植树问题》一课课堂教学中的关键也是学生需要突破的重难点为：‘掌握间隔数与棵树之间的规律’，并同时让学生的思维经历‘困惑-问题-操作-讨论-明晰-掌握规律’这样的一个由困惑到明晰的过程；整个课堂知识的架构不是由教师传授而是学生自行探究所得。
由以上原因，所以在正式的课堂教学前，教师先设计了一道前测题，此题的目的既是检测学生对植树问题已有知识的掌握情况，所得出的结果又是作为课堂教学中学生讨论交流的原始资料部分，是模型建立、思维明晰的重要一环。
从教学实际情况来看，学会出现以下两种较典型的错例：
以上两种错例正好是作为建立植树问题模型的好材料，课堂教学中教师必须要善加利用。比如第一种情况，这位学生表示为栽6棵树，为了引导学生去思考植树问题中：间隔与路的总长度的关系，此刻教师将评价和分析的权利交由学生，放手让学生讨论：像这样画行不行？学生在讨论中逐渐得出：间隔画得太多了、像这样一个间隔5米，那么5个间隔路的总长就变为25米不符合题目的意思、间隔画多了是因为棵数画多了一棵、一个间隔的距离画太小了等等。学生的思路在分析和讨论中逐渐明晰：种6棵树是不对的，因为路的总长度=每个间隔的长度×间隔数，这位学生把棵树多画了一棵；学生在思辨中建立起了路的总长度与间隔之间的关系，为建立植树的模型打好的基础。
第二个错例除了经历类似以上：路的长度和间隔数之间关系的思辨外，课堂教学时更要深入思考：如果要增加一棵树，那么增加的这一棵树要种在哪里？这一个问题的讨论是本课教学的核心所在，因为这一问题的价值在于：引导学生认识植树问题的‘两端都栽’这一模型中，比间隔数还多出的一棵树是栽在哪个位置，是建立‘两端都栽’这一植树模型的核心问题。
由以上两种错例的引领，学生思维的激荡，学生明白了路的总长等于间隔的长度、棵数和间隔数是一一对应的，而最后一个间隔的另一端还可以栽一棵树。学生对于植树问题中‘两端都栽’这一模型就这样以‘润物细无声’的方式在以上的讨论中已经在脑海中深深建立。这种利用学生的典型错例的引领，实现了课堂中学生学习的材料来源于学生，学生倍感亲切；自然在讨论和交流时学生思维投入得就非常充分，直指课堂中的本质和要害，顺利实现了学生的数学思维经历了一个由模糊到清晰的过程。由‘两端都栽’再引导学生认识植树中的另两种模型‘只栽一端’和‘两端都不栽’就非常自然，这样植树问题中的三种数学模型自然会是在学生脑海中形成深刻的数学架构。
三、留足空间，会出模、去创新
1、创设空间，促进思维发展。培养学生的创新精神，课堂需要有独立的思考的氛围，学生的思维有了独自发散的时间和空间，才有创新的可能。比如：建立了三种植树的模型后，师出示了一正一反两道相关的植树题：（1）南汇小学门口有一条全长300米的新路每隔5米栽一棵，我们准备先在路一边植树两端都栽（两端都不栽）一共需要多少棵树苗？这道题目是在学生建立植树模型后首次偿试去分析问题和解决问题，学生讨论的重点为棵树和间隔数之间的关系，从而实现对于植树模型的初步内化的过程。（2）园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵（两端都栽）。从第1棵到最后一棵的距离有多远？变式的训练对于学生思维的发散性有更好的促进作用。本道题目不再是求棵数，而是求路的长度即间隔的总长度，需要根据两端都栽的情况下先求出间隔数，最后根据每个间隔的距离求出总长度。这种反向思考变式的训练可以将学生思维的触角延伸到更广阔的范围，为接下来在现实生活中找植树的模型做好准备。
2、分层练习，培养创新思维。在当前我国教育界一个普遍的共识是：我们的学生的基础知识和基本技能方面是非常扎实的，但却非常缺少：问题解决、独立思考和创新精神；缺少发现问题和提出问题的能力。根据这一现状，接下来有层次的设计了第三道题：第一层次：出示温州市区公交地图，问：从地图中你可以发现什么？能不能找出与这节课有关的数学信息来？学生独立思考能力、发现问题能力是一个人创新能力的基础，这些能力的培养都需要一定的情景和空间，尽管此时学生会有点茫然但长此以往自然就会形成思考的习惯。第二层次：标注出其中5路公交车的行车路线，问：这是5路公交车的行车路线图，从这里能找出与这节课有关的数学信息吗？我们可以提出哪些问题？目标缩小了，对象就更明确了，所以学生思路渐渐就有了，围绕路的长度、车站数、两个车站之间的距离等问题展开讨论，逐渐的将植树的模型与生活实际联系起来。第三层次：出示5路公共汽车行驶路线全长22千米，相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？在以上两个层次的基础上，学生已经有了独自的思考、问题意识和模型概念，解决起来也就顺理成章。学生思维的发散有了点，更要有面上的铺开，有了公交车的解决经验那么下一步师要求学生想一想：生活中哪里还有像这样的植树问题？此时学生的思维像是开闸了的水库，思绪一泻千里，脑洞大开。
学生数学素养的培养是一个长期的过程，需要教师们不断的追求和引领。课堂教学时充分利用数学建模思想去解决数学问题，可以培養学生多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生数学素质的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力和创新能力的培养，是实施素质教育重要的数学思想。
参考文献
[1] 邱廷建《理应追求高效的数学课堂》[J]小学数学教育，2014（7）：46.
[2] 曾秀真《指向执教能力的模块研修-小数学骨干教师培养的实践与思考》南京大学出片社.
[3] 《数学课程标准（2011年版）》北京师范大学出版社.
关键词：植树问题；模型思想；数学核心；小学数学
《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称《标准》）中明确提出了‘初步形成模型思想’，并具体解释为‘模型思想的建立是帮助学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。’人教版小学数学教材分“数与代数”“图型几何”“统计与概率”“综合与实践”四大领域，这四大领域所涉及的算法、算理、概念、关系、定律等都蕴含了建模的思想。这就是要求一线的数学老师在教学时充分运用模型思想，并且还要利用知识建模的过程渗透应用意识、学会用数学方法去分析问题、解决问题，并发展创新能力。根据《标准》中的这些要求，我在设计《植树问题》一课时，注重从现实生活中提取问题，带领学生在真实、新奇、有趣、可操作的情景中进入植树研究的模式；让学生在冲突、猜测、验证、讨论、汇报等环节中逐步完成知识的建模过程中，进而使学生在理解知识的同时，数学思维、情感态度和价值观方面都得到充分的发展。新教材将《植树问题》从四年级移至五年级说明这部分内容本身就有难度，而我认为难度最大莫过于当遇到生活中类似问题时，植树的模型如何让学生在脑海里有效的提取，因此在教学设计的练习环节上，在习题的选择上教师既要注重来源于生活又要有植树问题的典型性，促使学生思维跳出课堂，在现实生活中找到植树问题的原型，
从而培养学生的创新精神、应用能力。
一、来源生活，创情景、促建模
1、贴近生活，创设情景。《标准》中关于数学教学内容，有这样一段话“课程内容的选择贴近学生的生活实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。”。生活是数学学习的源头活水，课堂中数学的学习内容既来源于生活，又要为生活服务；既要用生活中学生所熟悉的事例来吸引学生，又要有利于学生经历思考与探索；
在设计《植树问题》这一课问题情景上，就是由以上理念为指导，并颇费了一番心思。“植树问题”本身就与生活密切联系，对于这部分的学习内容学生有生活的经验，一定也会很感兴趣，学习的热情也会比较高涨，但是新教材把原本4年级学习的内容提到了5年级学习，说明这部分内容是有一定的深度的，再根据以往的教学经验，这部分内容对于学生来说是不容易理解和掌握的，关键是学生对于植树的模型难以运用到生活实践当中。所以教师在教学设计时就要想方设法把植树的原型在学生熟悉的生活情景中选取，再逐渐抽象出来，让学生感受到数学就在身边。由此，这一课在设计时教师根据学校门口正在修建一条新的马路，而这条马路又是学校师生进出学校的唯一通道学生应该非常熟悉，师就抓住这一有利因素设计问题情景：先拍摄相关的道路全景照片作为学习素材，再设计马路工人要在马路一边植树的问题情景‘南汇小学门口有一条全长300米的新路，工人叔叔准备先在路的一边植树，每隔5米栽一棵，一共需要多少棵树苗？’。
从课堂的教学效果来看，这种与学生生活紧密联系的情景，真实、新奇、有趣又可操作性，正好满足学生好奇的心理要求，可以激活学生头脑中已有的生活经验。所以课堂一呈现，学生注意力马上被吸引过来，学习的兴趣高涨，对问题的解決个个都跃跃欲试。
2、回归生活，懂得应用。知识来源于生活，最后应用上还要回到生活，去解决生活中的问题。课堂教学中，学生要研究的问题从生活而来，最终还要回到生活去解决实际的问题。所以在应用环节，练习题的选择也是围绕‘解决现实生活中的问题’为原则。
比如在学生建立了植树的三种模型后，就要将所建立的植树模型迁移应用到生活，那么教师就思考生活中哪些情景既蕴含植树模型的特征、又贴近学生生活，让学生有感同身受特别亲切的。经过多方比较，最终确定用学生乘公交车及车站作为练习题，让学生感受生活中的植树问题。事实证明，学生对于公交车站这样的情景由于非常熟悉，所以在用植树问题解决时，能展开充分的想象力将车站想象为一棵棵树，将每两个车站之是的距离，想象成两棵树之间的间距。将课堂上学到的植树模型，进一步拓展到生活，学以致用。
二、回归生本，抓本质、建模型
《标准》中指出‘建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想。’所以数学建模的过程，也是学生抽象思维发展的过程。
学生是课堂的主体，教师只是参与者、引领者。在学生建模的过程中教师只用做好引领工作，在关键处进行讨论和思维的引导，从而促使学生顺利的建模。《植树问题》一课课堂教学中的关键也是学生需要突破的重难点为：‘掌握间隔数与棵树之间的规律’，并同时让学生的思维经历‘困惑-问题-操作-讨论-明晰-掌握规律’这样的一个由困惑到明晰的过程；整个课堂知识的架构不是由教师传授而是学生自行探究所得。
由以上原因，所以在正式的课堂教学前，教师先设计了一道前测题，此题的目的既是检测学生对植树问题已有知识的掌握情况，所得出的结果又是作为课堂教学中学生讨论交流的原始资料部分，是模型建立、思维明晰的重要一环。
从教学实际情况来看，学会出现以下两种较典型的错例：
以上两种错例正好是作为建立植树问题模型的好材料，课堂教学中教师必须要善加利用。比如第一种情况，这位学生表示为栽6棵树，为了引导学生去思考植树问题中：间隔与路的总长度的关系，此刻教师将评价和分析的权利交由学生，放手让学生讨论：像这样画行不行？学生在讨论中逐渐得出：间隔画得太多了、像这样一个间隔5米，那么5个间隔路的总长就变为25米不符合题目的意思、间隔画多了是因为棵数画多了一棵、一个间隔的距离画太小了等等。学生的思路在分析和讨论中逐渐明晰：种6棵树是不对的，因为路的总长度=每个间隔的长度×间隔数，这位学生把棵树多画了一棵；学生在思辨中建立起了路的总长度与间隔之间的关系，为建立植树的模型打好的基础。
第二个错例除了经历类似以上：路的长度和间隔数之间关系的思辨外，课堂教学时更要深入思考：如果要增加一棵树，那么增加的这一棵树要种在哪里？这一个问题的讨论是本课教学的核心所在，因为这一问题的价值在于：引导学生认识植树问题的‘两端都栽’这一模型中，比间隔数还多出的一棵树是栽在哪个位置，是建立‘两端都栽’这一植树模型的核心问题。
由以上两种错例的引领，学生思维的激荡，学生明白了路的总长等于间隔的长度、棵数和间隔数是一一对应的，而最后一个间隔的另一端还可以栽一棵树。学生对于植树问题中‘两端都栽’这一模型就这样以‘润物细无声’的方式在以上的讨论中已经在脑海中深深建立。这种利用学生的典型错例的引领，实现了课堂中学生学习的材料来源于学生，学生倍感亲切；自然在讨论和交流时学生思维投入得就非常充分，直指课堂中的本质和要害，顺利实现了学生的数学思维经历了一个由模糊到清晰的过程。由‘两端都栽’再引导学生认识植树中的另两种模型‘只栽一端’和‘两端都不栽’就非常自然，这样植树问题中的三种数学模型自然会是在学生脑海中形成深刻的数学架构。
三、留足空间，会出模、去创新
1、创设空间，促进思维发展。培养学生的创新精神，课堂需要有独立的思考的氛围，学生的思维有了独自发散的时间和空间，才有创新的可能。比如：建立了三种植树的模型后，师出示了一正一反两道相关的植树题：（1）南汇小学门口有一条全长300米的新路每隔5米栽一棵，我们准备先在路一边植树两端都栽（两端都不栽）一共需要多少棵树苗？这道题目是在学生建立植树模型后首次偿试去分析问题和解决问题，学生讨论的重点为棵树和间隔数之间的关系，从而实现对于植树模型的初步内化的过程。（2）园林工人沿公路一侧植树，每隔6米种一棵，一共种了36棵（两端都栽）。从第1棵到最后一棵的距离有多远？变式的训练对于学生思维的发散性有更好的促进作用。本道题目不再是求棵数，而是求路的长度即间隔的总长度，需要根据两端都栽的情况下先求出间隔数，最后根据每个间隔的距离求出总长度。这种反向思考变式的训练可以将学生思维的触角延伸到更广阔的范围，为接下来在现实生活中找植树的模型做好准备。
2、分层练习，培养创新思维。在当前我国教育界一个普遍的共识是：我们的学生的基础知识和基本技能方面是非常扎实的，但却非常缺少：问题解决、独立思考和创新精神；缺少发现问题和提出问题的能力。根据这一现状，接下来有层次的设计了第三道题：第一层次：出示温州市区公交地图，问：从地图中你可以发现什么？能不能找出与这节课有关的数学信息来？学生独立思考能力、发现问题能力是一个人创新能力的基础，这些能力的培养都需要一定的情景和空间，尽管此时学生会有点茫然但长此以往自然就会形成思考的习惯。第二层次：标注出其中5路公交车的行车路线，问：这是5路公交车的行车路线图，从这里能找出与这节课有关的数学信息吗？我们可以提出哪些问题？目标缩小了，对象就更明确了，所以学生思路渐渐就有了，围绕路的长度、车站数、两个车站之间的距离等问题展开讨论，逐渐的将植树的模型与生活实际联系起来。第三层次：出示5路公共汽车行驶路线全长22千米，相邻两站的距离是1千米。一共有几个车站？在以上两个层次的基础上，学生已经有了独自的思考、问题意识和模型概念，解决起来也就顺理成章。学生思维的发散有了点，更要有面上的铺开，有了公交车的解决经验那么下一步师要求学生想一想：生活中哪里还有像这样的植树问题？此时学生的思维像是开闸了的水库，思绪一泻千里，脑洞大开。
学生数学素养的培养是一个长期的过程，需要教师们不断的追求和引领。课堂教学时充分利用数学建模思想去解决数学问题，可以培養学生多角度、多层次、多侧面思考问题，培养学生发散思维能力是很有益的，是提高学生数学素质的一条有效途径。同时数学建模的应用也是科学实践，有利于实践能力和创新能力的培养，是实施素质教育重要的数学思想。
参考文献
[1] 邱廷建《理应追求高效的数学课堂》[J]小学数学教育，2014（7）：46.
[2] 曾秀真《指向执教能力的模块研修-小数学骨干教师培养的实践与思考》南京大学出片社.
[3] 《数学课程标准（2011年版）》北京师范大学出版社.