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【中图分类号】G623.5【文献标识码】B【文章编号】1001-4128(2011)04-0087-01
数学课程标准是对各个特定阶段(如初中、高中)学生数学学习目标的规定,它体现着数学教育的目标。这些规定,必须考虑学生达到该学段时已有的数学知识经验、数学认知发展水平、数学思维的发展水平与特点,以及学生在教师的指导下以上方面可达到的水平。在中学教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
1 进一步深入理解函数概念
中学阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知?(x)= 2x2+x+2,求?(x+1)
这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x)
这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6
(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而?(x)= x2-6x+6
2 二次函数的单调性,最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a ]及[-b2a ,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
类型Ⅳ设?(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求:g(t)并画出 y=g(t)的图象
解:?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2
当t>1时,g(t)=?(t)=t2-2t-1
当t<0时,g(t)=?(t+1)=t2-2
t2-2, (t<0)
g(t)= -2,(0≤t≤1)
t2-2t-1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意,一般地,
一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。
3 二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅴ:设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)-x=0的两个根x1,x2满足0 (Ⅰ)当X∈(0,x1)时,证明X<?(x) (Ⅱ)设函数?(x)的图象关于直线x=x0对称,证明x0< x2 .
解题思路:
本题要证明的是x<?(x),?(x) (Ⅰ)先证明x<?(x),令?(x)=?(x)-x,因为x1,x2是方程?(x)-x=0的根,?(x)=ax2+bx+c,所以能?(x)=a(x-x1)(x-x2)
因为00,又a>0,因此?(x) >0,即?(x)-x>0.至此,证得x<?(x)
根据韦达定理,有 x1x2=ca∵ 0<x1<x2<1a ,c=ax1x2?(0),所以当x∈(0,x1)时?(x)<?(x1)=x1,
即x<?(x) (Ⅱ) ∵?(x)=ax2+bx+c=a(x+-b2a )2+(c- ),(a>0)
函数?(x)的图象的对称轴为直线x=- b2a ,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b2a ,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-b-1a ,∵x2-1a <0,
∴x0=-b2a =12 (x1+x2-1a ) 二次函数,它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数,可以以它为代表来研究函数的性质,可以建立起函数、方程、不等式之间的联系,可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题,考查学生的数学基础知识和综合数学素质,特别是能从解答的深入程度中,区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
总之,数学教学必须符合学生数学学习的特点、心理规律,实际上是数学课程的学生适切性问题,它与数学课程的社会适切性共同决定着数学课程改革的成败。从数学学习的角度看,数学课程的内容必须对大多数学校的大多数学生是难易适中,应与学生的认知水平相匹配,与学生的可接受能力相适应。因此,数学教学,应尽可能地让学生感知数学的发展和全貌,增加广泛的背景知识,体现不同的数学思维方式和数学思想方法。这些内容是极有价值的,学生可能会受益终身。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
数学课程标准是对各个特定阶段(如初中、高中)学生数学学习目标的规定,它体现着数学教育的目标。这些规定,必须考虑学生达到该学段时已有的数学知识经验、数学认知发展水平、数学思维的发展水平与特点,以及学生在教师的指导下以上方面可达到的水平。在中学教材中,对二次函数作了较详细的研究,由于学生基础薄弱,又受其接受能力的限制,这部份内容的学习多是机械的,很难从本质上加以理解。进入高中以后,尤其是高三复习阶段,要对他们的基本概念和基本性质(图象以及单调性、奇偶性、有界性)灵活应用,对二次函数还需再深入学习。
1 进一步深入理解函数概念
中学阶段已经讲述了函数的定义,进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射,接着重新学习函数概念,主要是用映射观点来阐明函数,这时就可以用学生已经有一定了解的函数,特别是二次函数为例来加以更深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A(定义域)到集合B(值域)上的映射?:A→B,使得集合B中的元素y=ax2+bx+c(a≠0)与集合A的元素X对应,记为?(x)= ax2+ bx+c(a≠0)这里ax2+bx+c表示对应法则,又表示定义域中的元素X在值域中的象,从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识,在学生掌握函数值的记号后,可以让学生进一步处理如下问题:
类型I:已知?(x)= 2x2+x+2,求?(x+1)
这里不能把?(x+1)理解为x=x+1时的函数值,只能理解为自变量为x+1的函数值。
类型Ⅱ:设?(x+1)=x2-4x+1,求?(x)
这个问题理解为,已知对应法则?下,定义域中的元素x+1的象是x2-4x+1,求定义域中元素X的象,其本质是求对应法则。
一般有两种方法:
(1)把所给表达式表示成x+1的多项式。
?(x+1)=x2-4x+1=(x+1)2-6(x+1)+6,再用x代x+1得?(x)=x2-6x+6
(2) 变量代换:它的适应性强,对一般函数都可适用。
令t=x+1,则x=t-1 ∴(t)=(t-1)2-4(t-1)+1=t2-6t+6从而?(x)= x2-6x+6
2 二次函数的单调性,最值与图象
在高中阶阶段学习单调性时,必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间(-∞,-b2a ]及[-b2a ,+∞) 上的单调性的结论用定义进行严格的论证,使它建立在严密理论的基础上,与此同时,进一步充分利用函数图象的直观性,给学生配以适当的练习,使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
类型Ⅲ:画出下列函数的图象,并通过图象研究其单调性。
(1)y=x2+2|x-1|-1
(2)y=|x2-1|
(3)= x2+2|x|-1
这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示,然后画出其图象。
类型Ⅳ设?(x)=x2-2x-1在区间[t,t+1]上的最小值是g(t)。
求:g(t)并画出 y=g(t)的图象
解:?(x)=x2-2x-1=(x-1)2-2,在x=1时取最小值-2
当1∈[t,t+1]即0≤t≤1,g(t)=-2
当t>1时,g(t)=?(t)=t2-2t-1
当t<0时,g(t)=?(t+1)=t2-2
t2-2, (t<0)
g(t)= -2,(0≤t≤1)
t2-2t-1, (t>1)
首先要使学生弄清楚题意,一般地,
一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值,但当定义域发生变化时,取最大或最小值的情况也随之变化,为了巩固和熟悉这方面知识,可以再给学生补充一些练习。
如:y=3x2-5x+6(-3≤x≤-1),求该函数的值域。
3 二次函数的知识,可以准确反映学生的数学思维
类型Ⅴ:设二次函数?(x)=ax2+bx+c(a>0)方程?(x)-x=0的两个根x1,x2满足0
解题思路:
本题要证明的是x<?(x),?(x)
因为0
根据韦达定理,有 x1x2=ca∵ 0<x1<x2<1a ,c=ax1x2
即x<?(x)
函数?(x)的图象的对称轴为直线x=- b2a ,且是唯一的一条对称轴,因此,依题意,得x0=-b2a ,因为x1,x2是二次方程ax2+(b-1)x+c=0的根,根据违达定理得,x1+x2=-b-1a ,∵x2-1a <0,
∴x0=-b2a =12 (x1+x2-1a )
总之,数学教学必须符合学生数学学习的特点、心理规律,实际上是数学课程的学生适切性问题,它与数学课程的社会适切性共同决定着数学课程改革的成败。从数学学习的角度看,数学课程的内容必须对大多数学校的大多数学生是难易适中,应与学生的认知水平相匹配,与学生的可接受能力相适应。因此,数学教学,应尽可能地让学生感知数学的发展和全貌,增加广泛的背景知识,体现不同的数学思维方式和数学思想方法。这些内容是极有价值的,学生可能会受益终身。
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文